通過領域と逆手流の解法パターン全12型｜逆手流・包絡線・ファクシミリの原理と入試実例（神戸大・筑波大・東北大・横国大・静岡大）

通過領域は、多くの受験生が「何をしたらいいのか分からない」と感じる代表格です。直線や放物線が無限に動き、その全部が塗りつぶした跡を求めよと言われる。動くものを目で追いかけようとすると、無限個の図形を全部把握しなければならず、そこで手が止まります。ところがたった一行の言い換えで、この問題は1変数の方程式の問題に化けます。それが逆手流です。動く図形を追うのをやめ、平面の点をひとつ固定して「この点を通してくれる値が存在するか」だけを問う。存在すればその点は塗られ、しなければ塗られない。このページは、その逆手流を軸に通過領域の解法を12の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめるための箱ではなく、どの言い換えを選ぶかを決めるための道具として並べています。

1. 背骨——「動く図形を追う」のをやめ、「点ごとに存在を問う」

通過領域の問題文は必ず「 が動くとき」で始まります。素直に読めば1本ずつ描く作業になりますが、 は実数全体を動くので永遠に終わらず、境界がどの曲線なのかを厳密に決めることはできない。詰まる原因は計算力ではなく主語の選び方にあります。

そこで発想を裏返します。問われているのは「どの図形がどこを通るか」ではなく「平面のどの点が塗られたか」。だったら点を主役にすればいい。点をひとつ釘で留め、「この点を通る図形が族の中に1本でもあるか」を問う。点を固定するとは と を定数だと思うことなので、族の式に残る文字は だけになり、族の式は の方程式に変わります。

ふつうの向きは「 を決める 図形 通る点」。逆手流は「点を決める 通すには がいくつであるべきか そんな があるか」と逆にたどり、主役と脇役を入れ替えます。大事なのは、この入れ替えが言い換えではなく同一の命題だということ。だから軌跡で必要な「逆の確認」が要りません。処理はこの先、実質3通り——①判別式、②値域（ファクシミリの原理）、③解の配置。このどれを選ぶかが、通過領域の問題のほとんどすべてです。

以下で判別式Dと本数を対応させるのは、tについて真の二次方程式になり、異なるtが異なる図形を表す場合です。例えば直線 \(y=2tx-t^2\) では傾き2tがtを一意に決めます。パラメータの範囲を制限したときは、その範囲内の解だけを数えます。

もうひとつ背骨に絡む骨が包絡線です。 の点は「通す が2つある」点、 は「ちょうど1つ」、 は「1つもない」点。つまり境界とは、通る図形の本数が2本から0本へ切り替わる場所で、その瞬間に本数がちょうど1本になる。この点を集めた曲線が包絡線で、族の図形はすべてこれに接します。神戸大学の問題の(1)が問うているのはこの曲線で、(1)で包絡線、(2)で通過領域という並びは偶然ではありません。

ここまでを読むと、通過領域は「一行の言い換え＋既習の道具」で片づくように見えます。実際そのとおりですが、その一行を思いつけるかどうかがすべてで、白紙から初見で思いつく人はほとんどいません。逆手流は天才のひらめきではありません。数学が得意な人は、過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。「 が動く」と見た瞬間に、考える範囲を「点を固定して、存在条件を3通りのどれで処理するか」に狭めている。しかし狭めただけでは答えは出ません。場合分けの境目をどこに置くか、境界のどこが包絡線でどこが端の図形かは、自分の手で決める作業が必ず残ります。型は考えなくて済ませる道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具だ、というのはそういう意味です。

2. 手順——問題を見てから型を選ぶまで

3. 解法パターン全12型

型01　逆手流の考え方（点を固定して、パラメータの存在条件に）

型02　実数条件（判別式）

型03　パラメータが1次のとき

型04　パラメータが2次のとき（解の配置）

型05　パラメータに範囲があるとき

型06　包絡線が見える型

型07　直線族の通過領域

型08　放物線族の通過領域

型09　円族の通過領域

型10　線分の通過領域（端点の制限）

型11　2変数の存在条件

型12　領域の図示と境界の扱い

4. 実際の入試で確かめる

ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。数値はすべて当塾で独立に解き、Python（sympy の厳密計算、NumPy の数十万点走査、乱数照合）で検算したうえ、別の担当者が独立に解き直して照合しています。

神戸大学 2006年度　――　型01・型02・型05。逆手流の全工程が2問に

この問題は 図形と方程式（座標） のページでも扱っています。同じ問題でも、そちらは単元全体の中での位置づけ、ここではこのテーマに絞った読み方をしています。二つを見比べると、同じ問題文から引き出せるものが1つではないことが分かります。

(1)　 が 上にあることは 。ここが逆手流の渡り所で、傾き が を一意に決めるから「直線がただ1つ」は「 がただ1つ」。重解条件から 、これが包絡線です。(2)　制限つきなので判別式は不可。 は上に凸で両端 だから最大値だけが問題で、頂点 が使えれば 、使えなければ端の値 。つなぎ目 と の交点 の角は必ず図示します。

筑波大学 2011年度　――　型05・型06・型07。凸の向きが逆になる対比

(1)　中点を通り に垂直、で作れます。「2点から等距離」として整理しても同じ式で、2通りで一致したら確定。(2)　 で の値域を見ます。 は下に凸なので神戸大学とは逆に最小値——包絡線の上側か下側かは の係数の符号だけで決まるので最初に確認を。頂点が使えれば 、使えなければ 。接続点 、角 。原点まわりの帯が掃かれないのは が原点に近づけないからです。

東北大学 2011年度　――　型01・型05・型06。「すべて」と「いずれか」を並べて出す

この問題は 集合と論理 のページでも扱っています。同じ問題でも、そちらは単元全体の中での位置づけ、ここではこのテーマに絞った読み方をしています。二つを見比べると、同じ問題文から引き出せるものが1つではないことが分かります。

とおくと、 が の点であることと は同値。平方完成すれば上に凸で軸は 。(1)「すべての 」は最小値で、上に凸なら最小は必ず区間の端だから2本の条件で十分——答えは と の共通部分です。(2)「いずれかの 」は最大値で、軸が区間に入るかで3通り。放物線 が包絡線で、接続点 、 では傾きが一致しなめらかにつながります。なお「接線の族」と呼ぶとき接点の 座標は ではなく です。

横浜国立大学 2015年度　――　型05・型06・型08。放物線が動くとき

準備。 について整理すると （型08）。放物線が動く問題が、 の2次関数の値域の問題に変わりました。 とおきます。(1)　 は全実数なので 。動くのは開き方1の放物線なのに境界は開き方2の放物線——これが包絡線で、接点 が滑った跡です。(2)　 の範囲は 。 の最小が の最大を、最大が の最小を決めます。区間が を含めば最大は包絡線のまま、含まなければ 、最小はどちらも 。この2本は2つの放物線 の低いほうと高いほうで、境界は包絡線と端の放物線だけ。接続点 、最低点 、角 です。

横浜国立大学 2019年度　――　型05・型06・型10。動くのは直線ではなく線分

(1)　 とおくと より 。2点が線分上にある条件から 。(2)　線分を含む直線は で 。ここで「線分である」ことが効きます——線分上の点は にしかないので の範囲は 。 より で最大値 、この が包絡線。 が区間に入るか（）、端 のどちらが最小を与えるか（）、区間の左端が から に変わるか（）で4通りに割れ、境目が3つ出るのは上下の境界が別々の理由で乗り換わるから。下側にも境界があるのは、直線ではなく線分だからです（型10）。(3)　積分の有理数部分が 、対数部分が となり 。対数の中身が 以外なら区間を取り違えた合図です。

静岡大学 2018年度　――　型04・型11・型12。文字が2つあるとき

(1)　共有点は の解のうち にあるもの。 がこの区間に限られているので「相異なる2解がともに区間内」という解の配置です（型04）。判別式 、両端 、、軸 の4条件。軸だけは等号を付けてはいけません——2解は軸について対称なので、軸が端に一致すると片方が必ず外に出るからです。(2)　頂点 は と逆に解けます。2つの世界が1対1で対応しているので4条件をそのまま代入でき、、、、 に化ける。上の境界は なので含まず破線、下の2本は含んで実線、角は 、端点 、 は除きます。(3)　、。

5. よくある質問

6. 次に読むページ

• 図形と方程式の解法パターン全19型　――　親にあたる第1層。単元の概観。
• 2次関数の解法パターン全20型　――　解の配置と「すべて」「ある」。
• 集合と論理の解法パターン全12型　――　全称と存在の言い換え。
• 面積（数III）の解法パターン全12型　――　面積を出す段階で必要。
• 解法パターン事典（全49単元618型の総索引）　――　単元・型・大学で引ける。
• 大学入試 過去問の全問解説