ベクトルの図形への応用の解法パターン全14型｜型の見抜き方と入試実例（信州大・静岡大・神戸大・農工大・横国大・滋賀医大）

01同じ値を、長さと角からも、成分からも出せる

顔つき　「内積を求めよ」。長さと角が与えられている問題、あるいは座標が与えられている問題。

中身　。成分なら （空間は ）。どちらも同じ値です。

なぜ効くか　この型の値打ちは「2つの式がある」ことではなく、片方から入れて、もう片方から出せることにあります。長さと角しか分からない問題では左の式で内積を作り、そこから先は展開の規則だけで計算を進める。座標が与えられている問題では右の式で内積を作り、そこから角を復元する。内積は、図形の情報を数に変える両替所です。ちなみに は余弦定理そのもの。内積の定義は余弦定理の翻訳だと分かると、覚えるものが1つ減ります。

02垂直は等式1本、平行はベクトル1本ぶん

顔つき　「垂直になるようにとる」「 のとき」「平行であることを示せ」。

中身　どちらも零ベクトルでないとして、垂直 、平行 となる実数 が存在する。

なぜ効くか　注目したいのは「1つの条件から何本の式が出るか」です。垂直はスカラーの等式なので1本。未知の文字を1つ消してくれます。平行はベクトルどうしの等式なので、平面なら2本、空間なら3本の式が出ます（ただし という未知数が1つ増えるので、実質は平面で1本、空間で2本の情報）。未知数の個数と、条件から出る式の本数を数える——この習慣がつくと、条件を読み落としているのか解ける状態なのかが、計算を始める前に判断できます。

03角の条件は、すべて に直して内積へ

顔つき　「なす角を求めよ」「 のとき」「角が最大になるのは」。

中身　。ベクトルのなす角は の範囲で考えます。

なぜ効くか　角を扱うのに ではなく を使うのは、この範囲で が単調に減るからです。 の値が決まれば がただ1つに決まる。 だと鋭角と鈍角の2つが残ってしまい、場合分けが増えます。だから「角が最大」は「 が最小」にそのまま置き換わり、角の最大最小問題が分数式の最小値問題に化けます。角度を求めよと言われても、最後まで角度を求めないで済ませられる——それが内積の効き目です。

04長さは、必ず2乗してから式にする

顔つき　「 を求めよ」「 の最小値」「 のとき」。

中身　 として展開する。 なら 。

なぜ効くか　絶対値は足し算と相性が悪く、 を分解する等式は存在しません。ところが2乗した途端、ただの多項式の展開になります。しかも展開後に現れるのは基本量だけ。最小値問題なら、2乗した式が文字の2次関数になるので、平方完成でそのまま処理できます（ルートは単調増加なので、2乗の最小と長さの最小は一致します）。「長さが等しい」という条件も、2乗して差を取れば内積の1次式に落ちます（滋賀医科大学の問題がその実例です）。

05内分・外分は「係数の和が1」の重みつき平均

顔つき　「辺 を に内分する点」「線分 を に外分する点」。

中身　線分 を に内分する点は 、外分する点は （内分の を に替えるだけ）。

なぜ効くか　分点公式を丸暗記している人ほど、 と をどちらに掛けるかで迷います。覚えるべきは「遠いほうに小さい重み」ではなく、「係数の和が1になる重みつき平均だ」という構造です。 と書けば係数の和は必ず1。そして係数の和が1であることが、この点が直線 上にあることの正体です（型06）。外分は、この重みの片方を負にしただけ。だから外分点も同じ直線上に居続けます。公式を3つ覚えるのではなく、1つの構造の3つの姿だと見ること——信州大学の問題は、内分2つと外分1つを並べて、まさにこの見方を試しています。

06一直線上にあることは、3通りの言い方ができる

顔つき　「3点 が一直線上にあることを証明せよ」「直線 上の点」。

中身　① となる実数 が存在する　② かつ 　③媒介変数表示 。

なぜ効くか　この3つは同じことの言い換えですが、使う場面がはっきり分かれます。証明問題なら①——2本のベクトルを作って実数倍の関係を示すだけで終わります。交点を求める問題なら②——「係数の和が1」という等式が1本、そのまま方程式として使えます。動く点を追うなら③——文字1つで直線上をくまなく動かせます。「和が1」がどこから来るのかも押さえておきたいところ。 と展開すれば、係数の和は 。始点 をどこに動かしても式の形が変わらないための条件が、和が1という等式なのです。

07共線条件を、そのまま1次元上げる

顔つき　「4点が同一平面上にある」「平面 上の点 」「 が成り立つとき」。

中身　① と書ける　② かつ 。

なぜ効くか　共線が「1文字で書ける」なら、共面は「2文字で書ける」。自由度が1つ上がっただけで、構造は完全に同じです。ここで効いてくるのが、空間では基準3本が1次独立だという事実です。1次独立なら成分の比較ができるので、 のような式は3本の連立方程式になります。未知数が の2つなら、式が3本で1本余る——その余りが、問題文に残っている別の文字を決めてくれます。共面条件は、条件であると同時に、未知数を決める装置でもあるのです。

08公式で覚えるのは重心だけ。残りは定義を式に直す

顔つき　「重心 」「外接円の中心 」「垂心 」「」。

中身　重心 （四面体なら ）。外心は等距離、垂心は直交 など。内心は角の二等分線の性質から辺の長さを重みにした平均。

なぜ効くか　五心の公式をすべて暗記しようとすると破綻します。覚える価値があるのは重心だけ——係数がすべて等しく、和が1という、いちばん素直な形だからです。残りの3つは、公式ではなく「条件を型04・型02・型05に流し込む入口」と考えてください。外心は「長さが等しい」なので型04（2乗して内積へ）。垂心は「垂直」なので型02（内積＝0）。内心は角の二等分なので型05（重みつき平均）。この4つの心を別々の知識としてではなく、すでに持っている3つの型の入口として整理し直す——これができると、外心と垂心が同時に出てくる問題でも慌てません。

09直線上で1文字に落とし、垂直条件で決める

顔つき　「 から直線 に下ろした垂線の足」「 が と垂直になるように点 をとる」。

中身　 と置き、 から 。

なぜ効くか　自由度と方程式の本数が、きれいに釣り合っているのがこの型の急所です。「直線上にある」で自由度が1に落ち、「垂直」で方程式が1本立つ。だから未知数1つ・式1本で必ず解けます。そして出てきた係数 には意味があります。これが正射影—— の影が 方向にどれだけ伸びるかを表す量です。分母が ではなく なのは、答えがベクトル の実数倍として出るからで、長さだけを知りたいなら になります。この2つの取り違えが典型的な失点です。

10垂線の足を出すか、三平方で引き算するか

顔つき　「点 と直線 の距離を求めよ」「三角形の高さ」。

中身　方法①：型09で垂線の足 を出し、 を計算する。方法②： を直線の方向ベクトルとして 。

なぜ効くか　方法②の正体は三平方の定理です。 を「直線方向の成分」と「直線に垂直な成分」に分けると、この2つは直交するので、長さの2乗が足し算になります。斜辺の2乗から、直線方向の成分の2乗を引けば、残るのが距離の2乗——それだけの話です。方法①より速いのは、垂線の足そのものが答えに要らないとき。「聞かれていないものを求めない」というのが、計算量を減らす最大のコツです。なお を通分すると、分子は型12の面積公式の中身と同じ式になります。距離と面積が同じ量から出てくるのは偶然ではありません。

11平面に沿う成分と、平面に垂直な成分に分ける

顔つき　「点 と平面 の距離」「平面とただ1つの共有点をもつ球の半径」「四面体の高さ」。

中身　（ は の両方に垂直）と分解する。 の2本から を決め、。

なぜ効くか　「球が平面に接する」「共有点がただ1つ」という条件は、そのままでは扱えません。それを「中心と平面の距離が半径に等しい」に翻訳した瞬間、この型の入口に立てます。そして分解の計算がうまくいく理由は、 が と直交していることにあります。 と の内積をとると の項が消え、 だけの式が残る——邪魔なものを内積で消すという発想です。同じく も、 との内積をとって整理しただけ。座標も法線ベクトルも使わずに、内積だけで高さが出せるのがこの型の強みです。

12角を求めずに、内積だけで面積が出る

顔つき　「 の面積を求めよ」「面積の最小値」「四面体の体積」。

中身　 として 。四面体は （底面積）（高さ）で、高さは型11。

なぜ効くか　もとの面積の式は です。ここで を使い、 を代入して整理すると、上の式になります。つまりこの公式は、角を消すための書き換えそのもの。角が から の範囲では なので、ルートを外すときの符号の心配もありません。「角度が分からないから面積が出せない」という発想が消えるのが、この型の効き目です。しかも中身は基本量だけの多項式なので、面積の最大最小が、そのまま2次関数の問題になります。

13同じ点を2通りに表して、係数を比べる

顔つき　「直線 と直線 の交点」「線分 と線分 の交点を とする」「2直線が交わることを示せ」。

中身　交点を、一方の直線上の点として文字 で、他方の直線上の点として文字 で表し、1次独立性から係数を比較して連立する。あるいは「係数の和が1」を2本立てる。

なぜ効くか　この型が成立している根拠は、背骨で述べた表し方の一意性です。1次独立な基準で書いた表し方は一通りしかないので、同じ点を表す2つの式は、係数まで一致していなければなりません。だから係数比較が等式として使えます。逆に言えば、1次独立でない基準を使ったら、この操作は一切正当化されません。そして未知数と式の本数を数えると、平面では未知数2つ・式2本、空間では未知数2つ・式3本。空間では式が1本余るので、これが「2直線が本当に交わるか」の判定になります。「交点を求めよ」と「交わることを示せ」が、同じ計算の表と裏になっていると気づくと、証明問題の書き出しで止まらなくなります。

14「生成する式」と「制限する式」の2種類がある

顔つき　「点 の描く図形を求めよ」「 を満たす点全体」「」。

中身　直線 、円 、平面 または 。

なぜ効くか　図形を式で書く方法は2つあります。①媒介変数で「作り出す」書き方と、②内積で「条件をみたすものだけ残す」書き方です。①は点を動かしたいとき、②は「その図形上にあるかどうか」を判定したいときに向きます。同じ平面が2通りに書けるのは、この違いによるものです。円の場合、 は2乗すると となり、②の仲間だと分かります。さらに を直径とする円が と書けるのは、「直径に対する円周角は直角」を内積の言葉に直しただけです。ベクトル方程式を読むときは、いつもこの対応を探してください。