漸化式の解法パターン全20型｜型の見抜き方と入試実例（滋賀大・信州大・神戸大・横浜国立大・滋賀医科大）

漸化式は、数列を「答え」ではなく「作り方」で与えたものです。 と書かれても第100項は分かりませんが、第1項から順に作れば必ずたどり着ける——その手順書が漸化式です。だから漸化式を解くとは、「順に作る」を「いきなり出す」に翻訳する作業にほかなりません。そして翻訳できる形はごくわずかで、教科書が一般項を教えてくれるのは等差数列・等比数列・階差数列の三つだけです。残りの型はすべて、置き換えによってこの三つのどれかに化けさせるための技術だと言い切ってしまってかまいません。このページは漸化式だけを20の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめる箱ではなく、試す候補を絞り、そこから先に頭を使うための道具として並べています。

1. 背骨——「毎回まったく同じ操作」に直せた瞬間、漸化式は解ける

先に結論を言い切ります。一般項が閉じた式で書けるのは、「次の項を作る操作」が毎回まったく同じに見えるように、座標のとりかたを直せたときだけです。等比数列 なら、行うのは「 を掛ける」を 回。同じ操作の反復だから、まとめて と書けます。閉じた式が書けるのは、このまとめ書きができるときに限られます。

では はどうでしょう。操作は毎回同じはずなのに だけでは書けない。掛け算と足し算というふるまいの違う二つが混ざっているからです。そこで混ざらない場所を探します。 をみたす ——そこから始めればずっと動かない点です。この不動点を新しい原点に取り直すと、操作は「原点からの距離を 倍する」だけになります。特性方程式は覚える公式ではなく、「どこを原点にすれば毎回同じ倍率になるか」への答えです。 で使えないのも、その原点が無いからです。

ここからが、この単元のいちばん深いところです。 には「線形性」という構造があります。二つの数列がどちらもこの式をみたすなら、引き算で共通の が消え、差 は をみたす。つまり——この式をみたす数列を「なんでもいいから一つ」見つけて引けば、残りは必ず等比数列になるのです。

この一文が型04から型07までを貫きます。特性方程式の は「ずっと のままの数列」といういちばん簡単な一つにすぎません。右辺が の1次式なら の中に、 なら の中に、その一つが住んでいます。探すべき一つは、足されている と同じ顔をしている——これが特殊解の探し方のすべてで、滋賀大学2007年度の (1) はこの作業そのものです。

この見方は例外の理由まで説明します。 で、たまたま だったとしましょう。 はそれ自体が をみたすので、引いても が消えません。この「共鳴」が起きたら候補を一段持ち上げて を試す。3項間で特性方程式が重解をもったとき になるのも同じ事情で、型07と型11が似た顔をしているのは偶然ではありません。

線形でない漸化式には、この議論が使えません。そこで数列ではなく目盛りのほうを取りかえます。分母に がいるなら逆数、掛け算だけで次が決まるなら対数。「式を変形する」のではなく「見る世界を移す」のが型08・型09です。3項間や連立も を一組の状態と見れば同じ話になります。

最後に、私が生徒によく言うことを。型を知っている人が速いのは、頭の回転が速いからではありません。過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。型は考えなくて済ませる道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具です。狭めたあと、初項の扱いや の範囲を考えるのは自分の仕事として残ります。

2. 手順——目の前の漸化式がどの型かを決めるまで

3. 解法パターン全20型

型01　等差型　

型02　等比型　

型03　階差型　

型04　特性方程式　

型05　

型06　

型07　

型08　分数型　

型09　べき型　

型10　3項間　

型11　3項間（重解）

型12　連立漸化式

型13　係数に を含む型

型14　 と

型15　奇偶で形が違う型

型16　漸化式を自分で立てる

型17　数学的帰納法

型18　不等式（はさみうち）

型19　漸化式と極限

型20　誘導つきの置きかえ

4. 実際の入試で確かめる

ここからは実際の入試問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。数値は当塾で独立に解き、別の担当者が解き直し、さらに Python で検算しています。

滋賀大学 2007年度　――　型05・型20

この問題は 群数列とシグマ計算 のページでも扱っています。同じ問題でも、そちらは単元全体の中での位置づけ、ここではこのテーマに絞った読み方をしています。二つを見比べると、同じ問題文から引き出せるものが1つではないことが分かります。

(1)　代入すると 。等比になるのは余分な項が恒等的に0のときで 。(2)　初項の作り直しが要で 。(3)　1次式と等比に分けて をとります（）。

信州大学 2005年度　――　型05・型04・型15

(1)　 を代入すると左辺の が右辺の と相殺して 。置き換えの役目は右辺の を消すことで、残るのは公比 の型04です。(2)　不動点 と から奇数は 、偶数は 。(3)　偶数では によらず成立し、奇数から 。

神戸大学 2013年度　――　型16・型12・型04・型19

この問題は 確率漸化式・条件付き確率・独立・反復試行・確率漸化式 のページでも扱っています。同じ問題でも、そちらは単元全体の中での位置づけ、ここではこのテーマに絞った読み方をしています。二つを見比べると、同じ問題文から引き出せるものが1つではないことが分かります。

(1)　同じ方向を2回で 。(2)　頂点を市松に塗ると1回ごとに色が変わり、偶数回後は A か C。状態が4つから2つに減り、 で実質1つに（型16）。(3)　2回を1組にして 、不動点 。(4)　不動点がそのまま極限です（型19）。

横浜国立大学 2003年度　――　型03・型17

この問題は 群数列とシグマ計算 のページでも扱っています。同じ問題でも、そちらは単元全体の中での位置づけ、ここではこのテーマに絞った読み方をしています。二つを見比べると、同じ問題文から引き出せるものが1つではないことが分かります。

(1)　、、、。(2)　2の累乗の番号だけ拾うと 。 は の階差型で 。(3)　直前が使えず強い帰納法へ。 でも でも だから 。

滋賀医科大学 2019年度　――　型12・型06・型20

この問題は 確率漸化式 のページでも扱っています。同じ問題でも、そちらは単元全体の中での位置づけ、ここではこのテーマに絞った読み方をしています。二つを見比べると、同じ問題文から引き出せるものが1つではないことが分かります。

(1)　、、。(2)　 だけが を同じ係数で含むのが突破口。 を入れると （型12）。(3)　 は「両辺に を掛けよ」と同じで階差型に。(4)　A と C が同値なのは B について対称だからです。

神戸大学 2005年度　――　型16・型08・型01・型19

(1)　傾き の直線が を通るので 。(2)　 として （型16）。なぜ逆数なのかは分母の形が教えます—— と公差 の等差数列に（型08・型01）。(3)　 で書けば 。この は、 が の速さで0へ向かうことから計算前に読めます。

5. よくある質問

6. 次に読むページ

• 数列の解法パターン全16型　――　このページの親。
• 確率の解法パターン全12型　――　状態の分け方。
• 極限の解法パターン　――　型19の土台。
• 指数・対数の解法パターン　――　型09の土台。
• 複素数平面の解法パターン　――　連立を1本にする型。
• 解法パターン事典（ハブ）　――　単元から引くならここ。