図形と方程式の解法パターン全19型｜軌跡・通過範囲・逆手流と入試実例（山口大・神戸大・一橋大・旭川医大・関西大・横国大）

01傾きの差ではなく、正接の加法定理

顔つき　「2直線のなす角が \(45^{\circ}\) となる条件」。

中身　傾き \(m_1,m_2\) のとき \(\tan\theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\)。

公式の出どころ　各直線の傾角を \(\alpha,\beta\) とすると \(m=\tan\alpha\) で、なす角は \(|\alpha-\beta|\)。正接の加法定理 \(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\) をそのまま書いただけです。分母が0のとき（\(m_1m_2=-1\)）は垂直で、公式が使えないのではなく「\(\tan 90^{\circ}\) が定義されない」ことに対応しています。

022直線から等距離の点の集まり

顔つき　「2直線のなす角の二等分線の方程式」。

中身　\(\dfrac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\dfrac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)。絶対値を外すと \(\pm\) で2本出る。

2本出るのが正しい　交わる2直線がつくる角は4つあり、その二等分線は互いに直交する2本です。だから \(\pm\) の両方が意味をもつ。どちらが問題の求める角の二等分線かは、通る点を代入して判定します。「答えが2本出たら困る」のではなく、2本出るのが構造上正しいのです。

03文字について整理して、恒等式にする

顔つき　「\(k\) の値によらず通る定点を求めよ」。

中身　\(k\) について整理して \(k(\ \cdots\ )+(\ \cdots\ )=0\) の形にし、両方の括弧が0となる点を求める。

「すべての \(k\) で成り立つ」＝恒等式　\(k\) についての1次式が、すべての \(k\) で0になる条件は「\(k\) の係数＝0」かつ「定数項＝0」。これは型18（すべての \(x\) で）と同じ発想を \(k\) について使っているだけです。文字定数が入った式を見たら、「どの文字について整理すると得か」を一度考える習慣をつけてください。

04垂直と中点、条件は2本

顔つき　「直線 \(\ell\) に関して点 A と対称な点 A′」「折れ線の長さの最小」。

中身　\(\mathrm{AA}\) と「\(\mathrm{AA}\) の中点が \(\ell\) 上」の2本を立てる。

折れ線の最小は、折り返してまっすぐにする　\(\mathrm{AP}+\mathrm{PB}\)（P は \(\ell\) 上）を最小にするには、A を折り返して \(\mathrm{A}\) とすれば \(\mathrm{AP}=\mathrm{A}\) なので \(\mathrm{A}\)。「まっすぐが最短」に持ちこむための道具が折り返しです。空間の最短経路でも同じ手を使います。

051つの頂点を原点に移す

顔つき　「3点を頂点とする三角形の面積」。

中身　\(\mathrm{O},\ (x_1,y_1),\ (x_2,y_2)\) なら \(S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\)。一般の3点は平行移動で1点を原点へ。

平行移動しても面積は変わらない　だから遠慮なく1点を原点に移してよい。公式の \(|x_1y_2-x_2y_1|\) は2つのベクトルが張る平行四辺形の面積で、\(\dfrac12\sqrt{|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}}\) を展開したものと一致します。ベクトルの型12と同じ量です。

06「接する」は重解条件

顔つき　「放物線と直線が接する条件」「2本の接線」。

中身　連立して \(x\) の2次方程式にし、\(D=0\)。接点の \(x\) 座標は重解 \(-\dfrac{b}{2a}\)。

判別式と微分、どちらでもよい　放物線なら判別式が速く、3次以上なら微分（接点をパラメータに置く）が確実です。「接する」＝「共有点で接線が一致」＝「重解をもつ」――この3つが同じことだと分かっていれば、状況に応じて選べます。

07中心から弦への距離で三平方

顔つき　「円と直線が切り取る弦の長さ」。

中身　半径 \(r\)、中心と直線の距離 \(d\) のとき、弦の長さは \(2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)。

交点を求めてはいけない　交点の座標を出して距離を計算すると、根号だらけになります。中心から弦に垂線を下ろすと、弦は二等分される――この一手で三平方の定理1回に落ちます。円の問題で「交点を求めたくなったら、まず中心からの距離で済まないか考える」のが鉄則です。

082円の位置関係は、中心間距離と半径の和・差

顔つき　「2円が外接する」「円が \(x\) 軸に接する」。

中身　外接 \(\iff d=r_1+r_2\)、内接 \(\iff d=|r_1-r_2|\)、交わる \(\iff |r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2\)。\(x\) 軸に接する \(\iff\)（半径）\(=\)（中心の \(y\) 座標の絶対値）。

「接する」条件が未知数を1つ減らす　\(x\) 軸に接する円は中心 \((p,q)\) に対して半径が \(|q|\) と決まるので、未知数が3つ（中心2つ＋半径）から2つに減ります。接するという条件は、方程式1本ぶんの情報。これを最初に使ってしまうのが計算を軽くするこつです（関西大学の実例）。

09\(f+kg=0\) は交点を必ず通る

顔つき　「2円の交点と点 P を通る円」「2円の交点を通る直線」。

中身　\(f=0,\ g=0\) の交点を通る図形は \(f+kg=0\)。2円なら \(k=-1\) で2次の項が消えて交点を通る直線になる。

なぜ必ず通るのか　交点では \(f=0\) かつ \(g=0\) なので、\(f+kg\) も0。つまり\(k\) が何であっても交点を通る。あとは通ってほしい点を代入して \(k\) を決めるだけです。この「束（そく）」の考え方は、直線でも円でも同じように使えます。

10円上の点なら公式、外の点なら距離＝半径

顔つき　「円 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) 上の点 \((x_1,y_1)\) における接線」「点 A から引いた接線」。

中身　円上の点なら \(x_1x+y_1y=r^{2}\)。外の点からなら、傾きを \(m\) とおいて中心との距離＝半径。

公式が使えるのは「接点が分かっているとき」だけ　外の点から引く接線では接点が未知なので、公式をそのまま使えません。傾き \(m\) を1文字にして距離の条件を立てるのが標準です。ただし \(y\) 軸に平行な接線は傾きで表せないので、それを別に調べる必要があります。これは落としやすい場合分けです。

11\(y\) を消して \(x^{2}\) の2次方程式にする

顔つき　「円と放物線の共有点の個数」。

中身　\(y=x^{2}\) などを円に代入すると \(x\) の4次式になるが、\(t=x^{2}\) と置けば \(t\) の2次方程式。\(t\geqq 0\) の条件を忘れない。

1つの \(t\) から \(x\) は何個出るか　\(t\gt 0\) なら \(x=\pm\sqrt{t}\) で2個、\(t=0\) なら1個、\(t\lt 0\) なら0個。共有点の個数を数えるには、\(t\) の解の個数だけでなく、各 \(t\) から出る \(x\) の個数まで数える必要があります。置き換えの範囲を追う（型09の考え方）が、ここでは個数の勘定に効いてきます。

12消したら、逆を確かめる

顔つき　「\(m\) が動くとき、中点の軌跡を求めよ」。

中身　動点の座標を \((X,Y)\) とおき、パラメータで表してから消去。最後に \(X,Y\) の動ける範囲を必ず調べる。

「方程式」と「軌跡」は違う　消去して \(X^{2}+Y^{2}=aX\) が出ても、それは円全体ではなく、その一部であることがほとんどです。パラメータの動く範囲が、そのまま \(X\) の範囲に翻訳される。答案に「ただし \(0\leqq X\lt \dfrac1a\)」と書けるかどうかが得点を決めます（旭川医科大学の実例）。

手順　① 動点を \((X,Y)\) とおく → ② パラメータで表す → ③ 消去 → ④ パラメータの範囲を \(X,Y\) の範囲に翻訳

13「存在する」を判別式に翻訳する

顔つき　消去が汚くなる、あるいはパラメータの条件が複雑なとき。

中身　\((X,Y)\) を固定して、条件式をパラメータについての方程式と見る。実数解が存在する条件を書けば、それが軌跡の方程式。

必要十分がその場で保証される　消去は必要条件しか出しませんが、「存在する条件」は定義そのものなので必要十分です。「逆に」の確認が要らなくなるのが逆手流の最大の利点。パラメータの範囲に制限があるときは、判別式ではなく解の配置（型15の3点セット）を使うことになります（神戸大学の実例）。

14\(\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}=\) 一定

顔つき　「半直線 OP 上に \(\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}=k\) となる点 Q をとる」。

中身　\(\mathrm{Q}=\dfrac{k}{|\mathrm{OP}|^{2}}\mathrm{P}\)。反転は2回で元に戻るので、逆向きの式も同じ形。

対合性が最強の道具　\(\mathrm{P}\to\mathrm{Q}\) の式と \(\mathrm{Q}\to\mathrm{P}\) の式が同じ形（\(x=\dfrac{kX}{X^{2}+Y^{2}}\)）なので、P の条件をそのまま \(X,Y\) の条件に代入で翻訳できます。消去も存在条件も要りません。反転で「原点を通らない円」は円に、「原点を通る円」は直線に移る、という性質も覚えておくと図が予測できます（横浜国立大学の実例）。

15点を固定して、パラメータの存在条件を書く

顔つき　「\(t\) が動くとき、直線 \(\ell_t\) が通る点全体を図示せよ」。

中身　\((x,y)\) を固定し、式を \(t\) についての方程式と見て「解が存在する（指定範囲に）」条件を求める。

通過範囲は軌跡の親戚　「点 \((x,y)\) を通る \(\ell_t\) があるか」を問うているので、やることは型13とまったく同じです。\(t\) の範囲に制限があるとき（\(|t|\geqq 1\) など）は、判別式だけでは足りず解の配置になります。ただし、\(y\) について解いて「\(t\) の関数の値域」と読むほうが軽いこともある――どちらが速いかを一度両方試すと、判断がつきます（神戸大学の実例）。

16\(x\) を固定して、\(y\) の動く範囲を調べる

顔つき　通過範囲で、逆手流の存在条件が複雑になるとき。

中身　\(x=c\) という縦線で切り、その線上で \(y\) がどこまで動くかを求める。それを \(c\) を動かして重ねる。

2次元の問題を1次元の値域問題に落とす　縦線で切ると、\(y\) は \(t\) の1変数関数の値域になります。ファクシミリが1行ずつ走査するように、\(x\) を1つずつ固定して縦方向の範囲を決めていく――だからこの名前が付いています。逆手流と本質は同じで、「\(t\) の存在条件」を「\(t\) の関数の値域」として見ているだけです。

17\(ax+by=k\) を平行移動して、最後に触れる頂点

顔つき　「領域 \(D\) 内で \(2x+3y\) の最大値」。

中身　\(k\) を切片と結びつけて、直線 \(ax+by=k\) を平行移動する。凸多角形なら最大・最小は必ず頂点でとる。

なぜ頂点なのか　\(ax+by=k\) は傾きが固定された直線の族で、\(k\) が大きいほど（\(b\gt 0\) なら）上にあります。この直線を上へずらしていくと、領域から離れる直前に触れるのは必ず角――辺に平行なときだけ辺全体で最大になりますが、そのときも端の頂点は含まれます。だから頂点だけ調べれば必ず答えが出る。これが線形計画法の全部です。

18直線の傾きと、境界の傾きを比べる

顔つき　「\(a\gt 0\) のとき \(ax+y\) の最大値を \(a\) で表せ」。

中身　直線 \(ax+y=k\) の傾きは \(-a\)。これが境界の傾きのどれとどれの間にあるかで、最適な頂点が切りかわる。

場合分けの基準は「傾きの大小」　境界の傾きが \(-1,-2\) なら、\(-a\) が \(-1\) より緩いか、\(-1\) と \(-2\) の間か、\(-2\) より急かで3通り。頂点の値を全部計算してから大小比較しても同じ答えになりますが、傾きで判断するほうが速く、境界の \(a\) で値が一致することが検算にもなります（山口大学の実例）。

19式を「傾き」「距離」「円の半径」と読む

顔つき　「\(\dfrac{y}{x}\) の最大値」「\(x^{2}+y^{2}\) の最大値」「\((x-a)^{2}+y\) の範囲」。

中身　\(\dfrac{y}{x}\) は原点と結ぶ直線の傾き、\(x^{2}+y^{2}\) は原点からの距離の2乗、\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}\) は点 \((a,b)\) からの距離の2乗。

「\(=k\) とおいて共有点をもつ条件」は逆手流　\(\dfrac{y}{x}=k\) とおいて「領域と共有点をもつ \(k\) の範囲」を求める、というのはまさに存在条件の問題です。この単元の後半（軌跡・通過範囲・最大最小）が全部同じ考え方でつながっていることに気づくと、見通しが一気によくなります（一橋大学の実例）。