「図形の性質」は、定理の数がいちばん多い単元です。五心、チェバ、メネラウス、方べき、接弦定理、内接四角形――覚えることが多くて敬遠されがちですが、入試で本当に使われるのは、そのうちのごく一部です。しかも大学入試では初等幾何の定理をそのまま問う問題は少なく、ベクトルや座標と組み合わせて問われるのが普通です。だから必要なのは、定理の暗記量ではなく「この図形の条件を、どの言葉（初等幾何・ベクトル・座標）で書くと短いか」という判断です。このページは、図形の性質の解法を12の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめるための箱ではなく、「この図形は、どの道具で切ればよいか」を決めるための道具として並べています。
このページの12型
- 三角形の五心を見分ける
- 重心の性質（中線を ）
- 内心と角の二等分線
- 外心と垂直二等分線
- チェバの定理
- メネラウスの定理
- 五心の位置ベクトル
- 円周角・接弦定理
- 円に内接する四角形
- 方べきの定理
- 2円の位置関係・共通接線
- 空間図形と多面体
- 北大の良問 029｜余弦定理と外心の垂直二等分線
1. 背骨——五心は「どの線の交点か」で決まる
五心の定義は、たった1行ずつ
| 心 | 何の交点か | いちばん使う性質 |
|---|---|---|
| 重心 G | 3本の中線 | 中線を頂点から に内分 |
| 内心 I | 3本の内角の二等分線 | 3辺から等距離（内接円の中心） |
| 外心 O | 3辺の垂直二等分線 | 3頂点から等距離（外接円の中心） |
| 垂心 H | 3本の垂線 | |
| 傍心 | 1つの内角と2つの外角の二等分線 | 1辺と2辺の延長に接する円の中心 |
「どの線の交点か」が分かれば、条件式が自動的に書けます。外心なら「3頂点から等距離」＝、または「辺の垂直二等分線上」＝。
この2つ目の式は非常に強力です。点 が線分 の垂直二等分線上にあることは、 の 方向への正射影が中点になることと同値だからです。埼玉大学と千葉大学の問題は、どちらもこの式1本で解けます。
2. どの道具で切るかの判断
1比が与えられている → チェバ・メネラウス、または位置ベクトル。
2「等距離」「垂直」が条件 → ベクトルの内積。
3円が絡む → 円周角・方べき・内接四角形。角度を移して考える。
4座標が与えられている、または置きやすい → 座標。とくに対称軸を 軸にとると式が半分になる。
「等距離」は2乗して内積にする
は根号のままでは扱えません。両辺を2乗して とし、内積の計算に持ちこむのが鉄則です。
2乗しても同値です（どちらも0以上だから）。この「距離は2乗して扱う」は、図形問題全般で最初に手が伸びるべき一手です。
3. 解法パターン全12型
型01 五心を見分ける
01条件文を「どの線の交点か」に翻訳する
顔つき 「3辺から等距離にある点」「3頂点から等距離にある点」。
中身 3辺から等距離 → 内心。3頂点から等距離 → 外心。中線の交点 → 重心。
「辺」か「頂点」かを取り違えない 内心と外心の混同がもっとも多い誤りです。内接円は辺に接するから「辺から等距離」＝内心、外接円は頂点を通るから「頂点から等距離」＝外心。円の絵を思い浮かべれば取り違えません。
型02 重心の性質
02中線を頂点から
顔つき 「重心の座標を求めよ」「 を求めよ」。
中身 座標なら3点の平均。ベクトルなら 。
五心のなかで、いちばん計算が軽い 重心は「平均」なので、座標でもベクトルでも一瞬で書けます。だから重心が絡む問題は、迷わず座標かベクトルを選んでよい。奈良女子大学の問題では、重心 が即座に書けたおかげで、外心の計算に集中できました。
型03 内心と角の二等分線
03角の二等分線は、対辺を隣の2辺の比に分ける
顔つき 「 の二等分線と辺 の交点 について 」。
中身 。内心はこの を に内分。
2段階で内心にたどりつく まず二等分線が対辺を に分け、次に内心がその線分を に分ける。この2段階を合成すると型07の位置ベクトルの式になります。公式を丸暗記するより、この導出を1度自分でやっておくと忘れません。
型04 外心と垂直二等分線
04「等距離」を内積の式に直す
顔つき 「外心 の座標」「 を求めよ」。
中身 、。
この2本の式が、外心問題のほぼすべてを解く と置いて上の2式に代入すれば、 についての連立1次方程式になります。「等距離」を直接2乗するより、この形のほうが計算量が少ない。式の意味は「 を 方向に正射影すると中点になる」です。
型05 チェバの定理
053本の線が1点で交わる条件
顔つき 「 が1点で交わるとき」。
中身 。三角形の周を一周する向きに書く。
覚え方は「頂点 → 分点 → 頂点」の繰り返し と一周する順に分数を並べる。逆も成り立つ（積が1なら1点で交わる）ので、共点条件の証明にも使えます。
型06 メネラウスの定理
061本の直線が三角形の3辺（の延長）を切る
顔つき 「交点の比 を求めよ」。
中身 。三角形と直線を正しく選ぶのがすべて。
「どの三角形に、どの直線を当てるか」で使いやすさが激変する 求めたい比が含まれる辺を持つ三角形を選び、それを切る直線を探します。迷ったら位置ベクトルで解くほうが確実で、実際の入試ではベクトル解法のほうが主流です。メネラウスは検算や暗算に使うと割り切るのも一つの見識です。
型07 五心の位置ベクトル
07重心は平均、内心は辺の長さで重みづけ
顔つき 「 の を求めよ」。
中身 （）。
係数と辺の対応に注意 にかかるのは 、 にかかるのは ――「向かい合っていない」対応です。原点を任意にとった形 から として導けば、対応を間違えません。導出できる形で覚えるのが安全です。
型08 円周角・接弦定理
08同じ弧を見る角は等しい
顔つき 「 を示せ」「接線と弦のなす角」。
中身 円周角は中心角の半分。接弦定理：接線と弦のなす角＝その弦に対する円周角。
角を「移す」ための道具 円が出てきたら、まず「等しい角はどれとどれか」を図に書きこむ。円周角の定理は「離れた場所の角どうしを等号で結ぶ」働きをします。接弦定理は、その特別な場合（2点が重なった極限）と理解しておくと自然です。
型09 円に内接する四角形
09対角の和が
顔つき 「円に内接する四角形の対角線の長さ・面積・外接円の半径」。
中身 なので 。対角線について余弦定理を2回立てる。
「同じ対角線を2通りに表す」のが定石 対角線 を、 と の両方で余弦定理を使って表す。 なので、2式を連立すると が求まります。島根大学の問題は、この流れがそのまま設問になっています。面積は2つの三角形の和、外接円半径は正弦定理です。
型10 方べきの定理
10点から円へ引いた線の積は一定
顔つき 「2弦の交点」「円外の点から引いた割線と接線」。
中身 円内の点 なら 。円外なら （ は接線）。
2つの相似な三角形が正体 円周角から が言え、対応する辺の比から積が等しくなります。だから方べきを使うときは「相似が背後にある」と意識すると、比の向きを間違えません。神戸大学の問題では、 と方べきから が即座に出ました。
型11 2円の位置関係・共通接線
11中心間距離と半径の和・差を比べる
顔つき 「2円が外接する条件」「共通接線の本数」。
中身 外接 、内接 、交わる 。
共通接線の本数は位置関係で決まる 離れている 本、外接 本、交わる 本、内接 本、内部 本。「中心間距離 を と と比べる」――この一手だけで、5つの場合が判定できます。図形と方程式の型07では、これを座標で扱います。
型12 空間図形と多面体
12オイラーの多面体定理
顔つき 「正十二面体の辺の数」「切頂多面体の頂点の数」。
中身 頂点 、辺 、面 について 。「面の数 × 1面の辺数 ÷ 2 ＝ 辺の数」も併用する。
数え方は「重複度で割る」 各辺は2つの面に共有されるので、（面数）（1面の辺数） が辺の数 に等しくなります。各頂点は複数の面に共有されるので、同じ考え方で も出ます。オイラーの定理は、この2式の検算に使うのが実戦的です。
4. 実際の入試で確かめる
この単元の解法パターンは全12型で、下にある入試の実例6問で確かめているのは6型です。残りの6型は、下にある実例では扱っていません。1問が複数の型にまたがることも、同じ型を複数の実例で扱うこともあるため、実例の数と型の数は必ずしも一致しません。
ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Python（sympy による厳密計算・座標を実際に構成して距離を照合・パラメータの全走査）で検算しています。
埼玉大学 2017年度 ―― 型07・型04。内心は公式、外心は内積2本
【問題】埼玉大学 2017年度 前期日程
三角形 の内心を 、外心を とし、辺 の長さを、それぞれ とする。
(1) となる実数 を、 を用いて表しなさい。
(2) 頂点 に対応する内角の大きさが であるとき、 となる実数 を、 を用いて表しなさい。
【解答】
(1)
(2)
(1) 角の二等分線を2段階でたどります（型03）。
の二等分線と辺 の交点を とすると
次に、 において が の二等分線なので
（ を使いました。）したがって
(2) 外心は「等距離」を内積で書きます（型04）。
外心の条件、2本
が辺 の垂直二等分線上にあることは
同様に辺 について
なので 。 を代入して
第1式を 、第2式を で割ると、きれいな形になります。
とおくのが要領です。
これを解いて 。したがって
検算：正三角形（）なら 。外心＝重心となり、正しい結果です。
内心は「公式」、外心は「連立方程式」。この非対称性には理由があります。内心は辺の長さの比だけで決まる（角の二等分線の性質）ので、位置ベクトルが閉じた式で書けます。一方外心は「距離が等しい」という2次の条件なので、内積が必要になり、角の情報（ここでは ）まで要ります。
だから内心が出たら公式、外心が出たら内積2本――この使い分けを固定しておくと迷いません。そして と置く工夫で、分数だらけの連立が という美しい形になります。「係数が分数になったら、文字ごとまとめて置きかえる」は計算量削減の常套手段です。
千葉大学 2008年度 ―― 型04・型07。交点の位置ベクトルから外心条件へ
【問題】千葉大学 2008年度 前期日程
平面上の において、辺 AB を に内分する点を D、辺 BC を に内分する点を E とし、線分 AE と CD の交点を O とする。
(1) とするとき、ベクトル を で表せ。
(2) 点 O が の外接円の中心になるとき、3辺 AB、BC、CA の長さの2乗の比を求めよ。
【解答】
(1)
(2)
(1) 2通りに表して係数を比較します。
は を に内分するので 。
は を に内分するので 。
は 上なので 。
また は 上なので、。
は1次独立なので係数を比較して
第2式より 。第1式に代入して
(2) 外心の条件を内積2本で書きます（型04）。 とおきます。
両辺を18倍して 、すなわち
両辺を18倍して 、すなわち
2つの を等しいとおく
そして から
したがって
必ず具体的な三角形で検算する
とすると 、。
なので とすると 。これで を計算すると、 となり、たしかに外心です。
この形の問題は、係数の整理で符号や数値を1つ間違えるだけで結論が変わります。必ず数値で検算してください。
2本の内積が、2つの「 の表示」を与える。この問題の構造は明快です。外心という条件が2本の式を生み、その2本がともに を決める。だから2つの表示が一致する、という等式から辺の比が出ます。
未知数は の3つ（比だけ問われているので実質2つ）、式は2本――だから比が決まると分かって進められます。「未知数の個数と式の本数を数えてから計算に入る」のは、図形問題でも有効な習慣です。
島根大学 2011年度 ―― 型09。同じ対角線を2通りに表す
【問題】島根大学 2011年度 前期日程
円に内接する四角形 の辺の長さを
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 対角線 の長さ と、内角 の大きさ を求めよ。
(2) 四角形 の面積 を求めよ。
(3) 四角形 が内接する円の半径 を求めよ。
【解答】
(1) 、 (2) (3)
(1) 対角線 を、2つの三角形から別々に表します。
で余弦定理：
で余弦定理。円に内接するので 、したがって 。
2つを等しいとおいて
より 。代入して
(2) 2つの三角形の面積を足します。 なので
(3) の外接円が、そのまま四角形の外接円です。正弦定理から
「対角の和が 」が、 の符号の反転として効いている。この問題で本質的なのは、 という1行だけです。これによって未知数が 1つになり、2つの余弦定理を連立できるようになります。
もしこれが円に内接していなければ、 と は独立で、四角形の形は決まりません。「円に内接する」という条件が、四角形の自由度を1つ奪っているのです。条件が何を固定しているかを意識すると、なぜ解けるのかが見えます。
神戸大学 2011年度 ―― 型10。方べきから が出る
【問題】神戸大学 2011年度 前期日程 文科系
平面上に相異なる4点 A、B、C、D があり、線分 AC と BD は原点 O で交わっている。点 A の座標は で、線分 OA と OD の長さは等しく、四角形 ABCD は円に内接している。 とおき、点 C の 座標を 、四角形 ABCD の面積を とする。以下の問に答えよ。
(1) 線分 OC の長さを を用いた式で表せ。また、線分 OB と OC の長さは等しいことを示せ。
(2) を と を用いた式で表せ。
(3) とし、 とするとき、 のとりうる値の最大値を求めよ。
【解答】
(1) （）。方べきの定理と から
(2) (3) の最大値は
(1) は線分 上にあるので、 は原点に関して と反対側。したがって で です。
方べきの定理（円内の交点）
2弦 が円内の点 で交わるので
仮定 を代入すると、両辺の と が消えて
(2) 対角線が角 で交わる四角形の面積公式を使います。
（4つの三角形の面積を足すと、この形にまとまります。）ここで
(1) のおかげで となりました。したがって
(3) なので
より なので
したがって の最大値は 。（このとき で、たしかに範囲内です。）
方べきの定理が、 という強い結論を生んだ。この問題の (2) が簡単になるのは、2本の対角線の長さが等しいからです。それを保証しているのが (1) で、根拠は方べきの定理と という仮定でした。
「積が等しい」＋「片方が等しい」＝「もう片方も等しい」――方べきの定理はこういう使われ方をよくします。座標が与えられていても、円の性質を初等幾何で使ったほうが速いことがある――この問題は、その良い例です。
奈良女子大学 2016年度 ―― 型02・型04。重心と外心を座標で追う
【問題】奈良女子大学 2016年度 前期日程
座標平面上に3点 、、 がある。ここで、 は実数全体を動くものとする。三角形 ABC の重心を D、外心を E とする。次の問いに答えよ。
(1) 点 D と点 E の座標を を用いて表せ。
(2) 線分 DE の長さの2乗を を用いて表し、それを とおく。関数 の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。
【解答】
(1) 、
(2) 。極大 （）、極小 （）、変曲点
(1) 重心は平均（型02）。
外心は「3頂点から等距離」（型04）。 は 軸に関して対称なので、 の垂直二等分線は 軸。よって と置けます。
等しいとおいて
対称性を使うと、未知数が1つ減る
外心を と2文字で置くと、連立方程式が2本必要になります。
しかし が 軸上で原点対称なので、外心は 軸上と即断できる。これで未知数が1つになり、式も1本で済みます。
(2)
展開します。
の係数は です。微分すると
| 負 | 正 | 負 | 正 | ||||
| 減 | 極小 | 増 | 極大 | 減 | 極小 | 増 |
（。）
凹凸は
この前後で符号が変わるので変曲点。値は です。
グラフは 軸対称のW字形（ が谷ではなく山、両側に極小）になります。
が極大というのが面白いところ。 のとき で三角形は二等辺。このとき重心 と外心 の距離は で 。
ところが を少し動かすと、重心はゆっくり動くのに外心は で下から近づいてくるので、いったん距離が縮まります。さらに を大きくすると外心が急速に上昇して離れていく。この「いったん近づいてから離れる」動きが、W字形のグラフの正体です。図形の問題が関数の問題に変わったあとも、図形的な意味を追い続けると、結果の妥当性が判断できます。
横浜国立大学 2010年度 ―― 型07・型06。内心を通る直線が切る三角形
【問題】横浜国立大学 2010年度 前期日程
があり、 を満たしている。 の内心を I、 とおく。次の問いに答えよ。
(1) を と を用いて表せ。
(2) の面積を求めよ。
(3) 辺 AB 上に点 P、辺 AC 上に点 Q を、3点 P, I, Q が一直線上にあるようにとるとき、 の面積 のとりうる値の範囲を求めよ。
【解答】
(1) (2)
(3)
(1) なので（型07）
係数の和は ですから、 は直線 上にありません（当然です）。
(2) 余弦定理から
(3) 、 とおきます。
「3点が一直線上」を係数の和で書く
が線分 上にあるので、 と書いたとき。
なので
面積比は なので、 の範囲を求めればよい。
とおくと 、、そして
制約は から 、 から すなわち 。
| （最大） | （最小） | ||
| （最小） | （最大） |
（ は上に凸なので で最大、区間の端で最小。端は で 、 で なので、最小は 。）
したがって で
「1点を通る直線」の条件は、係数の和が1。これが (3) の入口です。 を で書き直すと係数が となり、和が1という1本の関係式が得られます。
そこから先は、制約つきの最大最小という代数の問題。 の下で を考えるのは和が一定なら積は真ん中で最大という基本（数と式で扱った千葉大学の不等式と同じ構造）。図形の条件を1本の等式に落としてしまえば、あとは代数の型が使えます。
5. よくある質問
Q1. 内心と外心を取り違えます。
A. 内接円は辺に接する（辺から等距離）＝内心、外接円は頂点を通る（頂点から等距離）＝外心。円の絵を1つ描けば取り違えません。
Q2. 外心の問題で計算が長くなります。
A. 「等距離」を2乗して展開するより、 の形を使ってください。連立1次方程式になり、計算量が半分以下になります。
Q3. チェバ・メネラウスとベクトル、どちらを使うべきですか。
A. 比だけを求めるならチェバ・メネラウスが速いですが、そのあと内積や面積を使うなら最初からベクトルのほうが一貫します。入試ではベクトル解法が主流です。
Q4. 円に内接する四角形の問題で手が止まります。
A. 対角線を1本引いて、2つの三角形で余弦定理を立ててください。対角の和が なので の符号が反転し、2式が連立できます。
Q5. 型を覚えれば初見の図形問題も解けますか。
A. 型は考えなくて済ませる道具ではなく、どの道具（初等幾何・ベクトル・座標）で切るかを決めるための道具です。決めたあとは自分で考える必要があります。実際、本ページの横浜国立大学の問題は「係数の和が1」に気づく必要がありました。型を持っている人は、白紙のまま全部を考えずに済むという差が出ます。
北大の良問 029
余弦定理と外心の垂直二等分線｜北大2018年文系第1問
辺の長さに文字 が入っていますが、角は余弦定理で定数に決まります。後半の核心は、外心を座標計算することではありません。外心を通って辺に垂直な直線は、その辺の垂直二等分線であると翻訳し、点 が辺 の垂直二等分線上にある条件へ戻します。
問題
とする。 において
とし、点 を の外心とする。
- の大きさを求めよ。
- 直線 と直線 が垂直に交わるときの の値を求めよ。
出典：北海道大学2018年度一般入試（前期日程）数学（文系）第1問。問題文の表記はウェブ表示用に一部調整しています。
段階別ヒント
ヒント1｜点Cの角の向かい側を見る
の向かい側は辺 です。3辺がすべて分かっているので、余弦定理で を作れます。
ヒント2｜t>1は割り算にも使う
です。余弦定理の分子は まで整理でき、分母の と安全に約分できます。
ヒント3｜外心を「等距離」から「直線」へ翻訳する
外心 は を満たすので、辺 の垂直二等分線上にあります。
ヒント4｜点Oを通るABへの垂線は1本だけ
もし なら、直線 は、 を通る辺 の垂線です。外心を通る垂直二等分線と同じ直線になります。
ヒント5｜必要条件だけで終わらせない
なら は辺 の垂直二等分線上にあります。この条件から本当に が戻ることも確認します。
解答・解説
準備｜3辺は実際に三角形を作る
では です。最も確認が必要な三角不等式について、両辺は正であり、
したがって です。他の2つは と から直ちに成り立ち、どの でも非退化な三角形ができます。
(1) 余弦定理で角Cを求める
とおきます。角 の向かい側は辺 なので、余弦定理より
ここで だから であり、約分できます。三角形の内角は なので、該当する角は1つだけです。
(1)の答：
(2) 外心の垂直二等分線を使う
辺 の垂直二等分線を とします。外心 は を満たすので であり、定義から です。
必要性： とします。直線 と は、ともに点 を通り、直線 に垂直です。1点を通り、ある直線に垂直な直線は1本だけなので、
よって、与えられた辺の長さから
十分性：逆に なら です。したがって です。また で、非退化三角形の外心 は頂点 と一致しないため、直線 は そのものです。よって が確かに成り立ちます。
(2)の答：
別解｜座標と内積で垂直条件を検算する
とし、座標を , と置きます。必要なら に関して反転して、 の第2座標を正に選べます。2つの距離条件から
外心は辺 の垂直二等分線上にあるので、その第1座標は です。 を用いると第2座標は となり、
したがって、 と の内積は
垂直条件は内積が0であることと同値です。よって
条件 を満たすのは だけで、主解法と一致します。主解法は理由を最短で示し、座標解は内積の値まで独立に再計算できるという役割の違いがあります。
解法を思いつくための再現手順
- 求める角の向かい側を確認する。 の対辺は なので、余弦定理の左辺を にする。
- 条件 の役割を先に書く。 辺 が正であり、 を約分できることを確認する。
- 外心を等距離へ戻す。 から、 は の垂直二等分線上と読む。
- 与えられた垂線と重ねる。 も点 を通って に垂直なら、2本は同じ直線。
- 垂直二等分線を距離へ戻す。 がその上にあるので と書く。
- 文字条件を解く。 を解き、もとの を確認する。
- 逆向きも示す。 から が垂直二等分線上へ戻り、垂直条件が成立することを書く。
- 別手段で数値を照合する。 座標を置いて を計算し、同じ2次方程式になることを確かめる。
よくある誤り
- 余弦定理で辺を取り違える： の対辺は です。分子は になります。
- を無条件に約分する： 本問では があるため です。この確認を書いてから約分します。
- から角を複数残す： は三角形の内角なので です。
- 外心を内心と混同する： 外心は3頂点から等距離で、各辺の垂直二等分線の交点です。辺から等距離なのは内心です。
- だけで中点を断定する： 点 が外心だから垂直二等分線上にある、という情報と組み合わせて初めて直線が一致します。
- を得て終了する： それは必要条件です。逆にその条件から が成立する十分性も示します。
- 2次方程式の2解を両方残す： なので、条件 に反します。
- 直線と線分を混同する： 原問題は直線 と直線 の垂直を問うています。交点が線分の内部にある必要はありません。
独立検算
| 確認 | |||
|---|---|---|---|
| 二等辺条件と垂直条件が同時に成立 | |||
| 垂直ではない | |||
| 垂直ではない |
この問題で押さえること：「外心を通り辺に垂直な直線」は、その辺の垂直二等分線そのもの。外心は3辺の垂直二等分線の交点、という定義に戻って条件を言い換える発想を押さえよう。
前提単元と次に解く問題
教材について：解答・解説・ヒント・図は数強塾が独自に作成した非公式教材で、北海道大学が公表した公式解答・公式見解ではありません。問題の著作権は北海道大学に帰属し、出典を明示して掲載しています。
6. 次に読むページ
- 【深掘り】図形の証明（高校）の解法パターン全14型 ―― 方べき・チェバメネラウス・五心・座標やベクトルに落とす型を横断して整理。
- 平面ベクトルの解法パターン全13型 ―― 位置ベクトルと交点の求め方。
- 図形と計量の解法パターン全14型 ―― 正弦定理・余弦定理・面積。
- 図形と方程式の解法パターン全19型 ―― 円と直線を座標で扱う。
- 空間ベクトルの解法パターン全12型 ―― 四面体と外接球。
- 数と式の解法パターン全12型 ―― 和が一定なら積は端で最小。
- 大学入試 過去問の全問解説
図形問題で手が止まる人へ
図形でつまずく生徒のほとんどは、定理を知らないのではなく「どの道具で切るかを決める前に、図を眺めているだけ」になっています。数強塾では、図形問題を見たらまず「比が与えられているか」「等距離・垂直があるか」「円があるか」を確認させ、道具を決めてから手を動かす訓練をしています。オンラインの完全1対1で、プロ講師のみが担当します。
数強塾オリジナル演習｜12の型を1問ずつ
上の12型を、数値と設定だけ変えた自作問題で1問ずつ確認します。図形の性質は覚える定理が多く見えて、実は「どの線の交点か」「どの図形を切るか」の2軸で整理できます。解答を開く前に、まず図をかいて、与えられた長さを書き込んでください。
型01 五心を見分ける
次の説明に対応する「心」の名前を答えよ。
(1) 3本の中線の交点 (2) 3つの内角の二等分線の交点
(3) 3辺の垂直二等分線の交点 (4) 各頂点から対辺に下ろした垂線の交点
(5) 1つの内角と他の2つの外角の二等分線の交点
解答・解説を見る
(1) 重心 (2) 内心 (3) 外心 (4) 垂心 (5) 傍心（3つある）
「どの線の交点か」で一意に決まる。覚えるべきはこの表だけ。
ついでに：内心は3辺から等距離（内接円の中心）、外心は3頂点から等距離（外接円の中心）。「辺か頂点か」で内外を取り違えない。
型02 重心の性質
とする。
(1) 重心 の座標を求めよ。(2) 辺 の中点 をとり、 を求めよ。(3) の面積を求めよ。
解答・解説を見る
(1)
(2) 。、
よって
(3) の面積は 。重心は3つの三角形に3等分するので
重心は中線を 2:1 に内分する。座標は3頂点の平均という一行で出る。
型03 内心と角の二等分線
の について答えよ。
(1) 面積 と内接円の半径 (2) の二等分線と の交点 について (3) 内心 について
解答・解説を見る
(1) 。ヘロンの公式で
、
(2) なので 、
(3)
角の二等分線は対辺を「隣の2辺の比」に内分する。内心は 上にあり、 に内分。
型04 外心と垂直二等分線
とする。
(1) 外心 の座標と外接円の半径 (2) (1) が「直角三角形の外心は斜辺の中点」と一致することを確かめよ (3) でも検算せよ
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(1) の垂直二等分線は 、 の垂直二等分線は 。
、
(2) で斜辺は 。中点は ✓
（円周角の定理の逆：斜辺が直径になる）
(3) 、。
✓
型05 チェバの定理
の辺 上にそれぞれ をとる。 が1点で交わり、 のとき を求めよ。
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チェバの定理：
より
頂点 → 分点 → 頂点 → …と一周する順に書くと、比の向きを間違えない。。
型06 メネラウスの定理
で、辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、 を求めよ。
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と直線 にメネラウス：
、 なので
（ は辺 の外分点）
（検算： とすると 。直線 と直線 の交点は 。 ✓）
メネラウスは「三角形を直線が切る」とき。必ず外分点が1つ出る。
型07 五心の位置ベクトル
とする。
(1) 重心 (2) 内心 （公式 を使う） (3) 内接円の半径
解答・解説を見る
。
(1)
(2)
(3) から 軸までの距離が なので
（検算：直角三角形では ✓）
重心は係数が全部1、内心は「向かい合う辺の長さ」が係数。この対比で覚える。
型08 円周角・接弦定理
円 の周上の点 における接線を 、弦を とし、 とする。
(1) 弧 （ 側でないほう）に対する円周角 (2) 中心角 (3)
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(1) 接弦定理より、接線と弦のなす角＝その弧に対する円周角。
(2) 円周角の2倍。
(3) は の二等辺三角形なので
（検算： なので ✓）
接弦定理は「接線を、限りなく近い弦だと思う」と円周角の定理の極限として理解できる。
型09 円に内接する四角形
円に内接する四角形 で とする。
(1) (2) (3) 円の半径 (4)
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(1) 対角の和は なので
(2) で三平方より
(3) より は直径（円周角の定理の逆）。半径
(4) なので も直角三角形。（≒8.66）
「対角の和180°」と「直径に立つ円周角は90°」はセット。片方が直角なら、もう片方も直角で、対角線が直径。
型10 方べきの定理
円外の点 から引いた直線が円と で交わり、 とする。
(1) からこの円に引いた接線の長さ (2) を通る別の直線が円と で交わり のとき と
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(1) 。方べきの定理より
（≒4.90）
(2) なので 、
方べきの値は点 だけで決まる（どの直線を引いても同じ）。これが定理の本質で、値 は の「円に対する力」。
（ が円の内側なら の形で、符号を付けると外側と統一的に書ける。）
型11 2円の位置関係・共通接線
半径 と の2円の中心間距離を とする。
(1) 外接する (2) 内接する (3) 2点で交わる の範囲 (4) のとき共通接線の本数と、共通外接線・共通内接線の長さ
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(1) (2) (3)
(4) なので離れている。共通接線は
共通外接線の長さ （≒7.42）
共通内接線の長さ （≒3.87）
接線の長さは三平方1回。外接線は半径の差、内接線は半径の和を引く。
型12 空間図形と多面体
オイラーの多面体定理 について答えよ。
(1) 正十二面体の面・辺・頂点の数 (2) 正二十面体の面・辺・頂点の数 (3) それぞれ を確かめよ
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(1) 面は正五角形が 。
各面に5辺、2面で共有するので
各頂点に3面が集まるので
(2) 面は正三角形が 。、各頂点に5面が集まるので
(3) 正十二面体： ✓ 正二十面体： ✓
「面の数×1面の辺数 ÷ 2 ＝ 辺の数」が数え上げの型。頂点は「÷（1頂点に集まる面の数）」。
（正十二面体と正二十面体は と が入れかわる双対の関係。）
道具の選び方
① 三角形の中の点（五心・交点） ── 「どの線の交点か」で心が決まる（型01〜04）。比が絡めばチェバ（1点で交わる）かメネラウス（直線が切る）（型05・型06）。座標やベクトルが使えるなら位置ベクトルの公式が最短（型07）
② 円がある ── 角なら円周角・接弦定理（型08）、四角形なら対角の和（型09）、長さの積なら方べき（型10）
③ 2円・空間 ── 中心間距離と半径の和差で場合分け（型11）、多面体は数え上げとオイラーの式（型12）
迷ったら「与えられているのは角か、長さか、比か」を見てください。角なら円周角系、長さの積なら方べき、比ならチェバ・メネラウス。この対応がつけば、道具は自動的に決まります。
「なぜそうなるのか」へ
定理を覚えるだけだと、図が少し変わると手が止まります。どれも土台は「相似」と「円周角」の2つです。
- なぜ角が等しければ相似になるのか ── チェバもメネラウスも方べきも、証明の中身は相似の連鎖です。
- なぜ円周角は中心角の半分になるのか ── 型08・型09の全部がここから出ます。「直径に立つ円周角が90°」もこの特別な場合。
- なぜ相似比を2乗すると面積比、3乗すると体積比になるのか ── 型02で重心が面積を3等分すること、型12の双対を考えるときの土台。
- なぜ三平方の定理は相似だけでも証明できるのか ── 型04・型09・型11で使う三平方が、相似1本から出ることの確認。
- なぜ三角形の面積は底辺×高さ÷2なのか ── 型03のヘロンの公式や の出発点。
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大学受験数学｜図形の性質
比・円・長さの定理を使い分ける4つの独自演習
角の二等分線、円に内接する四角形、方べき、中線と重心を題材に、どの条件からどの定理を選ぶかを言葉にして練習します。
大学受験の図形の性質で使う、角の二等分線定理・プトレマイオスの定理・方べきの定理・中線公式を、誤用しやすい条件とともに整理します。
図は左右にスクロールして全体を確認できます。
問1｜角の二等分線の比と長さ
三角形ABCでAB＝8、AC＝12、BC＝15とする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、BD、DC、ADを求めよ。
問1「角の二等分線の比と長さ」の解答・詳しい考え方を開く
答え：BD＝6、DC＝9、AD＝√42
- 角の二等分線定理からBD：DC＝AB：AC＝8：12＝2：3です。
- BD＋DC＝15なので、BD＝15×2/5＝6、DC＝15×3/5＝9です。
- 角の二等分線の長さの関係AD²＝AB・AC－BD・DCを用います。
- AD²＝8×12－6×9＝96－54＝42なので、AD＝√42です。
誤りやすい点：比をAC：ABと逆にしないようにします。またAD²の式ではBD・DCを引き、平方根を取って長さを答えます。
問2｜内接四角形の対角線の積
円に内接する四角形ABCDの辺の長さが順にAB＝3、BC＝4、CD＝5、DA＝6である。対角線ACとBDの積AC・BDを求めよ。
問2「内接四角形の対角線の積」の解答・詳しい考え方を開く
答え：AC・BD＝39
- 四角形が円に内接しているので、プトレマイオスの定理を使えます。
- 定理はAC・BD＝AB・CD＋BC・DAです。対角線の積と、向かい合う辺の積二組を対応させます。
- 数値を代入するとAC・BD＝3×5＋4×6です。
- 15＋24＝39なので、求める積は39です。
誤りやすい点：円に内接する条件がない一般の四角形には使えません。またAB・BC＋CD・DAのように隣り合う辺を組にしないようにします。
問3｜二本の割線と接線の方べき
円の外部の点Pから割線PABを引き、点の並びがP－A－B、PA＝4、AB＝5である。別の割線PCDではP－C－D、PC＝3である。CDと、Pから円へ引いた接線PTの長さを求めよ。
問3「二本の割線と接線の方べき」の解答・詳しい考え方を開く
答え：CD＝9、PT＝6
- 最初の割線でPB＝PA＋AB＝4＋5＝9です。
- 点Pの方べきはPA・PB＝4×9＝36です。
- 別の割線ではPC・PD＝36なので、3・PD＝36からPD＝12です。よってCD＝PD－PC＝12－3＝9です。
- 接線についてPT²＝方べき＝36なので、長さPT＝6です。
誤りやすい点：方べきで掛けるのは外側の長さPAと、Pから遠い交点までの全長PBです。PA・ABではありません。
問4｜中線から重心までの長さ
三角形ABCでAB＝7、AC＝9、BC＝10とする。辺BCの中点をM、重心をGとするとき、中線AMと長さAGを求めよ。
問4「中線から重心までの長さ」の解答・詳しい考え方を開く
答え：AM＝2√10、AG＝4√10/3
- 中線公式よりAM²＝(2AB²＋2AC²－BC²)/4です。
- AM²＝(2×49＋2×81－100)/4＝160/4＝40です。
- 長さは正なのでAM＝√40＝2√10です。
- 重心Gは中線AMを頂点側から2：1に分けるため、AG＝(2/3)AM＝4√10/3です。
誤りやすい点：重心は中線を1：1ではなく頂点側から2：1に分けます。中線公式のBC²だけ係数が1で引かれる点にも注意します。
📝 この型が実際に出た入試問題（17問）
「図形の性質」の型が実際の入試でどう出たかを、数強塾が全問解説を公開している年度から拾いました。各行の「解説を読む」から、その問題の解説へ直接移動できます。型を読んだあとに実出題で当てると、どこまで通用する判断なのかがはっきりします。
| 大学・年度 | 出題テーマ | 難易度 | 解説 |
|---|---|---|---|
| 明治大学 2025年度 | 〔Ⅱ〕 角の二等分線と内接円（記述式） | やや難 | 解説を読む |
| 立命館大学 2025年度 | 方べきの定理とチェバの定理 | やや難 | 解説を読む |
| 関西大学 2025年度 | 〔Ⅲ〕方べきの定理と接弦角（円の外部の点からの接線と割線） | やや難 | 解説を読む |
| 立命館大学 2020年度 | 〔Ⅲ〕【記述】円の決定・対称点・方べきの定理 | 標準 | 解説を読む |
| 久留米大学（数学） 2023年度 | 第4問（平面図形：同心円・接線と方べきの定理） | — | 解説を読む |
| 東邦大学（数学） 2019年度 | 第4問（平面幾何：垂線と方べきの定理） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2018年度 | 問12（方べきの定理） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2016年度 | 問15（チェバの定理） | — | 解説を読む |
| 茨城大学 2015年度 | 垂心と方べきの定理 | — | 解説を読む |
| 東邦大学（数学） 2013年度 | 第4問（円・方べきの定理・最大角） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2013年度 | 問16（円と直線・方べきと相似） | — | 解説を読む |
| 千葉大学 2012年度 | 長方形の回転と重なりの面積 | — | 解説を読む |
| 神戸大学 2011年度 | 文科系【2】円に内接する四角形と方べきの定理 | — | 解説を読む |
| 東北大学 2009年度 | 理系【2】紙を貼り合わせてつくる長方形の面積 | — | 解説を読む |
| 千葉大学 2008年度 | 正六角形の辺上に3頂点をもつ正三角形 | — | 解説を読む |
| 帝京大学（数学） 2008年度 | 大問5（選択） 長方形の中の直角 | — | 解説を読む |
| 一橋大学 2004年度 | 正六角形に内接する正方形・長方形 | — | 解説を読む |
難易度は数強塾の見立てです（「—」は難易度を掲載していない年度）。大学別の年度一覧と出題傾向は過去問解説の総索引から、この型の全体像は解法パターン事典のハブから確認できます。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学I・Aの要点辞典：図形の性質 にまとめてあります。
