多角形の内角の和・外角・凹多角形と合同｜中2数学を41問で独学

解説

六角形の1つの頂点から、対角線をひいてみます。

すると六角形は三角形4個に分かれます。

三角形1個の内角の和は 180° ですから、

180° × 4 = 720°

これが六角形の内角の和です。

同じように考えると、n角形は (n−2) 個の三角形に分かれます。だから、

n角形の内角の和 = 180° × (n − 2)

公式を丸暗記するより、「三角形が (n−2) 個できる」と覚えるほうが、忘れたときに自分で作り直せます。

解説

求めたいものを n（角形）とおいて、公式にあてはめます。

180 × (n − 2) = 720

両辺を 180 でわると、

n − 2 = 4

したがって n = 6、つまり六角形です。

180 でわるのがコツです。いきなり展開して 180n − 360 = 720 としても解けますが、先にわったほうが計算が軽くなります。

解説

180 × (n − 2) = 1260n − 2 = 1260 ÷ 180 = 7

したがって n = 9、九角形です。

解説

180 × (n − 2) = 2700n − 2 = 2700 ÷ 180 = 15

したがって n = 17、十七角形です。

2700 ÷ 180 は、両方を 10 でわって 270 ÷ 18 = 15 と考えると暗算できます。

解説

180 × (n − 2) = 4500n − 2 = 4500 ÷ 180 = 25

したがって n = 27、二十七角形です。

ここまでの4問は、すべて同じ1本の式に数を入れただけです。数が大きくなっても、やることは変わりません。

解説

外角の和は、何角形であっても 360° です。

正多角形では外角がすべて同じ大きさなので、外角の個数は、

360 ÷ 15 = 24

外角の個数 = 頂点の個数ですから、正二十四角形です。

なぜ外角の和が 360° なのかは、この下の問10で確かめます。

解説

内角から直接考えると 180(n−2)÷n = 140 という分数の式になり、少し面倒です。

そこでいったん外角に移します。内角と外角は一直線上にならぶので、

外角 = 180 − 140 = 40°

外角の和は 360° なので、

360 ÷ 40 = 9

よって 正九角形です。

「内角で困ったら外角に逃げる」。これは今後ずっと使える発想です。

解説

まず何角形かを求めます。

180 × (n − 2) = 2340 → n − 2 = 13 → n = 15

正十五角形とわかりました。正多角形の内角はすべて等しいので、和を頂点の数でわります。

2340 ÷ 15 = 156

したがって 1つの内角は 156° です。

検算しておきましょう。外角は 180 − 156 = 24°、360 ÷ 24 = 15 で、たしかに十五角形になります。

解説

ここでも外角に移します。

外角 = 180 − 160 = 20°360 ÷ 20 = 18

正十八角形です。内角の和は、

180 × (18 − 2) = 180 × 16 = 2880

よって 2880° です。

「内角 → 外角 → 何角形 → 内角の和」という順に進むと、迷いません。

解説

答えは 360° です。個数が11個であることは関係ありません。

理由は、多角形の辺にそってぐるっと一周歩くと考えるとわかります。

頂点に着くたびに、外角のぶんだけ向きを変えます。そして出発点にもどったとき、体の向きも最初と同じになっています。

つまり、向きの変化を全部たすと、ちょうど1回転です。

外角の和 = 360°

三角形でも、四角形でも、十一角形でも、百角形でも同じです。

解説

外角の和は、何角形でも 360° です。ここが出発点になります。

内角の和はその3倍なので、

360 × 3 = 1080°

あとはいつもの式です。

180 × (n − 2) = 1080 → n − 2 = 6 → n = 8

よって 八角形です。

「外角の和はいつも 360°」という一定の値があるおかげで、3倍という条件がすぐ数字になりました。

解説

外角を x° とおきます。内角は外角より 140° 大きいので (x + 140)° です。

内角と外角は一直線上にならぶので、たすと 180° になります。

x + (x + 140) = 1802x = 40 → x = 20

外角が 20° なので、

360 ÷ 20 = 18

よって 正十八角形です。

内角のほうを x とおいても解けますが、外角を x とおくほうが数が小さくてラクです。

解説

n角形の1つの頂点から対角線をひくとき、結べない頂点が3つあります。自分自身と、両どなりの2つです。

1つの頂点から引ける対角線 = n − 3 本

したがって、

n − 3 = 21 → n = 24

正二十四角形なので、1つの外角は、

360 ÷ 24 = 15

よって 15° です。

解説

n角形の内角の和は 180(n − 2) です。

辺の数が4つ少ない多角形は (n − 4) 角形なので、その内角の和は、

180{(n − 4) − 2} = 180(n − 6)

「2倍である」という条件を式にします。

180(n − 2) = 2 × 180(n − 6)

両辺を 180 でわると、

n − 2 = 2(n − 6) = 2n − 12n = 10

確かめます。十角形の内角の和は 180×8 = 1440°、六角形は 180×4 = 720°。たしかに2倍です。

ここでのポイントは、(n − 4) 角形の内角の和を 180(n − 4 − 2) と、公式の n の場所に (n − 4) をそのまま入れることです。

解説

まず何角形かを数えます。五角形なので内角の和は、

180 × (5 − 2) = 540°

図の5つの数字はすべて内角です。そのまま全部たして 540° になります。

110 + 126 + 107 + 99 + x = 540442 + x = 540x = 98

よって x = 98° です。

解説

この問題のわなは、図の数字の4つが外角、1つだけが内角という点です。

そろえないと足せないので、外角をすべて内角に直します。

180 − 75 = 105 ／ 180 − 84 = 96 ／ 180 − 63 = 117

x の頂点の内角は (180 − x)° です。内角の和は 540° なので、

105 + 96 + 117 + 120 + (180 − x) = 540618 − x = 540x = 78

よって x = 78° です。

別の解き方もあります。内角 120° を外角 60° に直して、外角の和 360° を使う方法です。

75 + 84 + 63 + 60 + x = 360 → x = 78

どちらでも構いません。「内角にそろえる」か「外角にそろえる」か、そろえることが大事です。

解説

六角形なので内角の和は、

180 × (6 − 2) = 720°

外角を内角に直します。

180 − 53 = 127 ／ 180 − 66 = 114 ／ 180 − 57 = 123

内角を全部たすと 720° です。

127 + 114 + 123 + 108 + 116 + x = 720588 + x = 720x = 132

よって x = 132° です。

解説

まず、図の x が内角ではないことを確認してください。

へこんだ頂点では、多角形の内側の角が 180° より大きくなっています。x はその外側に残った角です。1点のまわりは 360° なので、

この頂点の内角 = 360° − x

ここさえ押さえれば、あとはいつもどおりです。五角形の内角の和は 540° なので、

90 + 120 + 40 + 70 + (360 − x) = 540680 − x = 540x = 140

よって x = 140° です。

確かめます。内角は 360 − 140 = 220°。90 + 120 + 40 + 70 + 220 = 540 で、ぴったり合います。

解説

やることは前の問題とまったく同じです。

95 + 115 + 40 + 60 + (360 − x) = 540670 − x = 540x = 130

よって x = 130° です。

同じ形の式が続いています。凹多角形は「1か所だけ 360° − x に置きかえる」というルールを1つ足しただけで、公式そのものは何も変わりません。

解説

72 + 63 + 77 + 80 + (360 − x) = 540652 − x = 540x = 112

よって x = 112° です。

3問続けて解けたなら、この形はもう身についています。

解説

六角形なので内角の和は 720° です。

105° は外側の角なので、その頂点の内角は、

360 − 105 = 255°

これで6つの内角がそろいました。

63 + 111 + x + 126 + 50 + 255 = 720605 + x = 720x = 115

よって x = 115° です。

解説

へこみが2か所あっても、考え方は増えません。それぞれを内角に直すだけです。

360 − 124 = 236° ／ 360 − 118 = 242°

六角形の内角の和 720° を使います。

x + 103 + 71 + 236 + 30 + 242 = 720x + 682 = 720x = 38

よって x = 38° です。

解説

ここは1つずつ書かれ方がちがうので、よく読む必要があります。

123° は外側の角なので、内角に直します。

360 − 123 = 237°

230° のほうははじめから内角なので、そのまま使います。ここで 360 − 230 としてしまうのがいちばん多い失敗です。

84 + x + 237 + 77 + 50 + 230 = 720678 + x = 720x = 42

よって x = 42° です。

180° より大きい数字が書いてあったら、それはもう内角です。180° より小さければ、外側の角を疑ってください。

解説

234° はそのまま内角。110° は外側の角なので直します。

360 − 110 = 250°51 + 83 + 65 + 234 + x + 250 = 720683 + x = 720x = 37

よって x = 37° です。

凹多角形はここまでの7問で完成です。「180° より大きいか小さいか」を毎回確認する、それだけです。

解説

下の左の角を 2a、右の角を 2b とおきます（二等分するので2でわりやすい形にします）。

四角形の内角の和は 360° なので、

95 + 115 + 2a + 2b = 3602a + 2b = 150

両辺を2でわると、

a + b = 75

ここが山場です。a と b をそれぞれ求める必要はありません。実際、下の2つの角が 70° と 80° でも、60° と 90° でも、答えは変わりません。

真ん中にできる三角形に注目します。この三角形の3つの角は a、b、x なので、

a + b + x = 18075 + x = 180x = 105

よって x = 105° です。

解説

残り2つの内角を A、B とおきます。五角形の内角の和は 540° なので、

A + B + 116 + 121 + 113 = 540A + B = 190

この2頂点の外角は、それぞれ (180 − A)° と (180 − B)° です。二等分するので、下にできる三角形の2つの角は、

(180 − A) ÷ 2 と (180 − B) ÷ 2

この2つをたします。

(180 − A)/2 + (180 − B)/2 = 180 − (A + B)/2 = 180 − 95 = 85°

三角形の内角の和は 180° なので、

x = 180 − 85 = 95

よって x = 95° です。

ここでも A と B を別々に求めていません。(A + B)/2 = 95 という形で、和のまま半分にしています。

解説

∠ABC = B、∠ADC = D とおきます。四角形の内角の和は 360° なので、

68 + B + 82 + D = 360B + D = 210

ここでも B と D は別々に決まりません。決まらなくても解けます。

つぎにどの図形を見るかを決めます。ここが核心です。見るのは四角形 BCDE です。

二等分線なので ∠EBC = B/2、∠CDE = D/2 です。四角形 BCDE の内角の和は 360° なので、

B/2 + 82 + D/2 + ∠BED = 360

B/2 + D/2 = (B + D)/2 = 105 なので、

105 + 82 + ∠BED = 360∠BED = 173°

点 B、E、F は一直線上にあるので、

∠DEF = 180 − 173 = 7

よって ∠DEF = 7° です。

式そのものはやさしいのに難しく感じるのは、「四角形 BCDE を見る」と気づくまでに時間がかかるからです。複雑な図では、まだ名前のついていない図形を自分で見つけにいきましょう。

解説

1つ1つの角の大きさは、この図だけでは決まりません。決めなくても和は決まります。

印のついた6つの角をよく見ると、3つは一方の三角形の内角、残り3つはもう一方の三角形の内角です。

三角形1個の内角の和は 180° ですから、

180 + 180 = 360

よって 360° です。

「角を1つずつ求める」のではなく「180°のかたまりを見つける」。これが角の和の問題の共通したコツです。

似た形の図では、対頂角が等しいことを使って離れた角を三角形の内角として組み直すこともあります。どちらにしても、ゴールは 180° のかたまりを作ることです。

解説

［証明］

六角形の内角の和は、

180° × (6 − 2) = 720°

内角はすべて等しいから、1つの内角は、

720° ÷ 6 = 120°

したがって、各頂点における外角は、

180° − 120° = 60°

辺 AB から辺 DE まで、辺にそって進むことを考える。途中の頂点 B、C、D の3か所で、それぞれ 60° ずつ向きが変わるから、向きの変化の合計は、

60° + 60° + 60° = 180°

向きが 180° 変わるということは、進む向きがちょうど逆向きになるということである。逆向きの直線どうしは同じ方向をもつから、

AB ∥ DE

同様にして、BC ∥ EF、CD ∥ FA も成り立つ。［証明終わり］

証明問題では、答えを出すことより「なぜそう言えるのか」を順番に書くことが採点の対象です。ここでは「内角の和 → 1つの内角 → 外角 → 向きの変化」という順に並べました。

解説

いちばん大事な確認からです。a、b、c は内角ではなく外角です。点線は辺を延長した線ですね。

外角の和は、何角形でも 360° です。75° の頂点の外角は 180 − 75 = 105° なので、

105 + a + b + c = 360a + b + c = 255

つぎに、条件を a だけの式にそろえます。

b = 2ac = b + 15 = 2a + 15

代入します。

a + 2a + (2a + 15) = 2555a + 15 = 255 → 5a = 240 → a = 48

したがって、

b = 2 × 48 = 96 ／ c = 96 + 15 = 111

確かめます。105 + 48 + 96 + 111 = 360 で合っています。

内角の側から解くこともできます。内角は 75°、180−a、180−b、180−c なので、

75 + (180−a) + (180−b) + (180−c) = 360 → a + b + c = 255

同じ式にたどり着きました。どちらから入っても構いません。

解説

外角の 70° を内角に直します。

180 − 70 = 110°

これで4つの内角がそろいました。四角形の内角の和は 360° なので、

96 + 111 + 110 + x = 360317 + x = 360x = 43

よって x = 43° です。

この2問で伝えたいことは1つだけです。

図に書かれた角と、多角形の内角は、同じとはかぎらない。

解説

合同とは、一方を移動・回転・裏返しすると、ぴったり重ねられるという意味です。

だから「向きがちがうから別の図形」とは判断できません。見るべきなのは向きではなく、辺の長さと角の大きさです。

方眼の上では、ななめの辺の長さを「横に何マス・縦に何マス」で比べられます。横 a マス・縦 b マス進む辺どうしは、a と b の組み合わせが同じなら同じ長さです。

ア と ウ は、辺のならび方も、進むマス数の組み合わせもすべて同じです。実際、ウ は ア を 90° 回転させた図形になっています。

イ は向かい合う辺が平行な形（平行四辺形）で、辺の長さの組み合わせがちがいます。エ もマス数の組み合わせが合いません。

よって、合同なのは ア と ウ です。

解説

合同を表す記号 ≡ を使うときは、文字を書く順番そのものが対応表になっています。

上下にならべて書いてみましょう。

(1) A の下は P なので、頂点 P です。

(2) 辺 CD は C と D の2文字。その下は R と S なので、辺 RS です。

(3) E の下は T なので、∠T です。

「図を見て、形が似ているほうを選ぶ」のではありません。記号の書き方だけで決まります。これは三角形の合同の証明でずっと使うので、ここで確実にしておきましょう。

解説

まず対応を書き出します。A↔E、B↔F、C↔G、D↔H です。

合同な図形では、対応する辺の長さは等しく、対応する角の大きさも等しいので、

a（辺 GH）= 辺 CD = 12 cmb（辺 EF）= 辺 AB = 10 cmc（∠G）= ∠C = 53°

d だけは、対応する ∠D が図に書かれていません。そこで四角形の内角の和 360° を使います。

∠D = 360 − (106 + 74 + 53) = 360 − 233 = 127

したがって d = 127° です。

前半の「内角の和」がここで効いてきます。合同の問題は、対応を書くところまでが半分、残り半分は多角形の角の知識で埋める、という作りになっています。

解説

対応は A↔P、B↔Q、C↔R、D↔S、E↔T です。

a（辺 RS）= 辺 CD = 10 cmb（辺 PQ）= 辺 AB = 12 cmc（∠P）= ∠A = 90°

d は ∠Q、つまり ∠B に対応します。∠B は図に書かれていないので、五角形の内角の和 540° から求めます。

∠B = 540 − (90 + 106 + 127 + 90) = 540 − 413 = 127

したがって d = 127° です。

四角形なら 360°、五角形なら 540°。何角形かを数えるところから始める、という手順は最後まで変わりません。

解説

三角形の合同条件は3つあります。

この問題では、2 cm と 4 cm の2辺が等しく、そのあいだにはさまれた角が直角（90°）で等しくなっています。

よって ②「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」で合同です。

②で必ず確認したいのが「その間の角」という言葉です。2辺と、そのどちらにも接していない角がわかっても、合同とはかぎりません。

解説

3つの辺の長さがすべて決まると、三角形の形は1通りに決まります。

実際、コンパスで 2.8 cm の線分をひき、両端から半径 2.6 cm と 3.0 cm の円をかくと、交点は決まった場所にしかできません。

よって ①「3組の辺がそれぞれ等しい」で合同です。

向きがちがっていても、裏返っていても構いません。長さの組み合わせが同じなら合同です。

解説

1つの辺の長さと、その両端の角が決まると、2本の辺の向きが決まり、交わる点も1つに決まります。

よって ③「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」で合同です。

残りの角は 180 − (100 + 50) = 30° と自動的に決まります。つまり、角が2つ決まれば3つ目も決まる、ということです。

解説

前問と同じく ③ です。角の数字が変わっただけです。

ここで確認しておきたいのは、「角・角・角」だけでは合同にならないということです。

たとえば 76°・74°・30° の三角形は、大きさを自由に変えられます。形は同じでも大きさがちがうので、重ねることはできません。

合同条件には必ず辺が1つ以上入っています。ここが「相似」との分かれ道になります。

解説

すでに2組の辺が等しいとわかっています。ここで使いたいのは合同条件②です。

②が使える条件は「2組の辺とその間の角」でした。

AB と AC のあいだの角は ∠A、DE と DF のあいだの角は ∠D です。

したがって ∠A = ∠D がわかれば、②で合同といえます。

注意してほしいのは、ここで ∠B = ∠E がわかっても足りない、ということです。∠B は AB と AC のあいだの角ではないので、②の形になりません。

もちろん BC = EF がわかれば①（3組の辺）で合同になります。答えは1つではありません。

解説

いま等しいとわかっているのは、辺が1組と角が1組です。

∠C は、辺 CB と辺 CA のあいだの角です。同じように ∠F は、辺 FE と辺 FD のあいだの角です。

すでに CB = FE がわかっているので、もう1辺 AC = DF がわかれば、

BC = FE ／ AC = DF ／ その間の角 ∠C = ∠F

となり、②「2組の辺とその間の角」で合同といえます。

別解として、∠B = ∠E がわかれば、辺 BC とその両端の角 ∠B・∠C がそろうので③でも合同です。