中２数学｜連立方程式の文章題 個数・割合・速さ・食塩水を解説【中2数学】（無料問題PDF）

連立方程式の文章題では、二つの未知数を単位付きで置き、同じ場面から互いに異なる二つの数量関係を見つけます。「何を文字にしたか」「各式が何を表すか」を日本語で確認すれば、個数・割合・速さの問題も整理して解けます。

連立方程式の文章題を解く7つの手順

1. 求める数量を確認する。何を、どの単位で答えるかを明確にする。
2. 二つの数量を文字で置く。「大人を x 人、子どもを y 人とする」のように、意味と単位を書く。
3. 数量を表や図に整理する。個数・単価・代金、速さ・時間・道のりなど、同じ種類の数量をそろえる。
4. 一つ目の数量関係を式にする。例えば「人数の合計」を表す。
5. 異なる二つ目の数量関係を式にする。例えば「代金の合計」を表す。
6. 連立方程式を解く。加減法または代入法を選び、一文字ずつ求める。
7. 元の場面で確かめる。二本の式だけでなく、整数・正の数・桁など文章固有の条件も確認する。

二本の式に必要な条件

二つの未知数を一組に決めるには、通常、互いに異なる二つの数量関係が必要です。同じ関係を言い換えただけの式を二本作っても、未知数は一組に決まりません。

個数と代金の問題

2桁の数の問題

十の位を x、一の位を y とすると、2桁の数は10x＋yです。数字を逆にした数は10y＋xです。

速さの問題

速さの問題では、道のり＝速さ×時間を使います。時間を求めるときは、時間＝道のり÷速さです。分と時間が混在する場合は、先に単位をそろえます。

食塩水の濃度の問題

食塩水では、全体の重さと食塩の重さを別々に考えます。

5％は0.05、12％は0.12のように小数へ直します。食塩水を混ぜても、こぼしたり蒸発させたりしない限り、混ぜる前後で食塩水全体の重さと食塩の重さはそれぞれ保存されます。

図形の問題

連立方程式を使わない方がよい場合

文章題だから必ず連立方程式を使うわけではありません。一方の数量が「全体－もう一方」のように簡単に表せる場合は、未知数を一つだけ置く一次方程式でも解けます。例1なら、子ども券を（32－x）枚として、800x＋500（32－x）＝22000と立式できます。

一方で、二つの数量を対等に整理したいときや、二本の関係が自然に見つかるときは連立方程式が便利です。問題の条件を最も分かりやすく表せる方法を選びます。

よくある誤りと直し方

確認問題

二つの未知数を単位付きで置き、二本の式が表す関係を日本語でも説明してみましょう。

1. 1本120円の鉛筆と1本200円のペンを合わせて18本買い、代金は2640円でした。それぞれ何本買いましたか。
2. 2桁の自然数があります。十の位と一の位の数の和は13で、元の数は数字を逆にした数より27大きくなります。元の数を求めましょう。
3. 8％の食塩水と15％の食塩水を混ぜて、11.5％の食塩水を400 g作ります。それぞれ何g必要ですか。
4. 川を進む船の下りの速さは時速15 km、上りの速さは時速9 kmでした。船の静水時の速さと川の流れの速さを求めましょう。
5. 周の長さが44 cmで、縦が横より4 cm長い長方形があります。縦、横、面積を求めましょう。
6. 大人の入場料は500円、生徒の入場料は300円です。合わせて42人が入場し、入場料の合計は1万6200円でした。大人と生徒はそれぞれ何人ですか。

まとめ

• 二つの未知数は、意味と単位を明記して置く。
• 同じ場面から、互いに異なる二つの数量関係を見つける。
• 等号の左右では、数量の意味と単位をそろえる。
• 加減法・代入法で求めた後、二本の式と文章固有の条件で検算する。
• 未知数を一つにした方が簡単なら、一次方程式を選んでもよい。

学習範囲の根拠

この記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」の第2学年「連立二元一次方程式を具体的な場面で活用すること」を基準に構成しています。学年配当と内容の根拠は、文部科学省の解説PDFで確認できます。

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