中１数学｜立体の表面積と体積角柱・円柱・角錐・円錐・球【中1数学】（無料問題PDF）

中1｜空間図形解き方がわからないときは中１数学｜空間図形とは？直線と平面・展開図・投影図を解説【中1数学】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

縦5cm、横4cm、高さ3cmの直方体の表面積と体積を求めてください。
底面が辺6cm、8cm、10cmの直角三角形で、高さ12cmの三角柱の表面積と体積を求めてください。
底面の半径4cm、高さ6cmの円柱の表面積と体積を求めてください。
底面が一辺10cmの正方形、高さ12cm、各側面の高さ13cmの正四角錐の表面積と体積を求めてください。
底面の半径5cm、高さ12cm、母線13cmの円錐の表面積と体積を求めてください。
半径3cmの球の表面積と体積を求めてください。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

立体の表面積は、外側を覆うすべての面の面積の合計です。体積は、立体が空間を占める大きさです。公式を暗記する前に、底面・側面・高さを図や展開図で特定すると、足し忘れや「3分の1」の付け忘れを防げます。

最初に用語を整理する

用語	意味
底面	柱体では合同で平行な二面、錐体では一つの多角形または円
底面積	一つの底面の面積。この記事では`B`と表す
側面	底面以外の面。円柱・円錐では曲面を含む
側面積	すべての側面の面積の合計
表面積	底面と側面を含む、外側すべての面積の合計
高さ	柱体では二底面間の垂直距離、錐体では頂点から底面を含む平面までの垂直距離
母線	円錐の頂点と底面の円周上の点を結ぶ線分。この記事では`l`と表す

円錐の高さと母線は異なります。高さは底面へ垂直ですが、母線は側面上の斜めの線分です。表面積には母線、体積には高さを使います。

公式の全体像

立体	表面積	体積
角柱	二つの底面積＋側面積	`Bh`
円柱	2π`r`²＋2π`rh`	π`r`²`h`
角錐	一つの底面積＋三角形の側面積の合計	1/3`Bh`
円錐	π`r`²＋π`rl`	1/3π`r`²`h`
球	4π`r`²	4/3π`r`³

rは半径、hは立体の高さ、lは円錐の母線、Bは一つの底面積です。

柱体と錐体の違い：同じ底面積B、同じ高さhなら、錐体の体積は柱体の1/3です。

角柱の表面積と体積

角柱の表面積は、展開図にして「合同な二つの底面」と「すべての側面」に分けます。側面が長方形になる直角柱では、側面積を次のようにまとめられます。

側面積＝底面の周の長さ×高さ
表面積＝底面積×2＋側面積
体積＝底面積×高さ

例1：三角柱

問題：底面が辺3cm、4cm、5cmの直角三角形で、高さ10cmの三角柱があります。表面積と体積を求めましょう。

一つの底面積は、3×4÷2＝6cm²です。

底面の周の長さは3＋4＋5＝12cmなので、側面積は12×10＝120cm²です。

表面積＝6×2＋120＝132 cm²
体積＝6×10＝60 cm³

答え：表面積132cm²、体積60cm³。

円柱の表面積と体積

円柱の展開図は、合同な二つの円と一つの長方形です。長方形の横は底面の円周2πr、縦は円柱の高さhです。

側面積＝2πr×h＝2πrh
表面積＝2πr²＋2πrh
体積＝πr²h

例2：円柱

問題：底面の半径3cm、高さ8cmの円柱の表面積と体積を求めましょう。

一つの底面積はπ×3²＝9πcm²です。

側面積は2π×3×8＝48πcm²です。

表面積＝9π×2＋48π＝66π cm²
体積＝9π×8＝72π cm³

答え：表面積66πcm²、体積72πcm³。

角錐の表面積と体積

角錐の側面は三角形です。表面積では、それぞれの三角形の底辺と高さを確認して合計します。体積には錐体共通の1/3を付けます。

表面積＝一つの底面積＋三角形の側面積の合計
体積＝1/3×底面積×高さ

例3：正四角錐

問題：底面が一辺6cmの正方形、高さ4cmで、各側面の高さが5cmの正四角錐があります。表面積と体積を求めましょう。

底面積は6×6＝36cm²です。

一つの側面は底辺6cm、高さ5cmの三角形なので、面積は6×5÷2＝15cm²。4面で60cm²です。

表面積＝36＋60＝96 cm²
体積＝1/3×36×4＝48 cm³

答え：表面積96cm²、体積48cm³。

側面の三角形の高さ5cmと、角錐全体の高さ4cmを混同しないでください。表面積では側面の高さ、体積では底面へ垂直な立体の高さを使います。

円錐の表面積と体積

円錐の展開図は、底面の円と、側面のおうぎ形です。側面のおうぎ形の半径は母線l、弧の長さは底面の円周2πrです。

円錐の側面積がπ`rl`になる理由

おうぎ形の面積は、「弧の長さ×半径÷2」と表せます。弧の長さが2πr、半径が母線lなので、

側面積＝2πr×l÷2＝πrl

表面積＝πr²＋πrl
体積＝1/3πr²h

例4：円錐

問題：底面の半径3cm、高さ4cm、母線5cmの円錐の表面積と体積を求めましょう。

底面積はπ×3²＝9πcm²、側面積はπ×3×5＝15πcm²です。

表面積＝9π＋15π＝24π cm²
体積＝1/3×9π×4＝12π cm³

答え：表面積24πcm²、体積12πcm³。

球の表面積と体積

半径rの球では、次の公式を使います。

表面積＝4πr²
体積＝4/3πr³

例5：球

問題：半径6cmの球の表面積と体積を求めましょう。

表面積＝4π×6²＝144π cm²
体積＝4/3π×6³＝4/3π×216＝288π cm³

答え：表面積144πcm²、体積288πcm³。

単位を正しく付ける

量	代表的な単位	換算例
長さ	mm、cm、m	1m＝100cm
面積	mm²、cm²、m²	1m²＝10,000cm²
体積	mm³、cm³、m³	1m³＝1,000,000cm³
容積	mL、L	1cm³＝1mL、1,000cm³＝1L、1m³＝1,000L

長さの換算を二乗・三乗します。1m＝100cmなので、面積は100²＝10,000倍、体積は100³＝1,000,000倍です。

計算の順序と検算

立体を分類する。柱体か錐体か、底面は多角形か円かを確認する。
底面を決める。置き方ではなく、合同で平行な二面や錐体の一面を確認する。
必要な長さを分類する。高さ・母線・側面の高さを区別する。
底面積を先に求める。Bとして式へ入れる。
表面積と体積を別々に計算する。表面積は面の合計、体積はBhまたは1/3Bh。
単位と大きさを確かめる。表面積は平方、体積は立方の単位。

よくある間違い

1. 表面積で底面を一つしか足さない

角柱・円柱には底面が二つ、角錐・円錐には底面が一つあります。展開図で数えます。

2. 錐体の体積で1/3を忘れる

角錐・円錐は1/3×底面積×高さです。同じ底面積・高さの柱体と比べて検算します。

3. 円錐の高さと母線を逆に使う

表面積の側面には母線l、体積には底面へ垂直な高さhを使います。

4. πを途中で3.14に直して丸め誤差を出す

「小数で求めよ」と指定されない限り、πを残したまま整理すると正確で簡潔です。

5. 表面積へcm³を付ける

表面積は面積なのでcm²、体積はcm³です。

確認問題

縦5cm、横4cm、高さ3cmの直方体の表面積と体積を求めてください。
底面が辺6cm、8cm、10cmの直角三角形で、高さ12cmの三角柱の表面積と体積を求めてください。
底面の半径4cm、高さ6cmの円柱の表面積と体積を求めてください。
底面が一辺10cmの正方形、高さ12cm、各側面の高さ13cmの正四角錐の表面積と体積を求めてください。
底面の半径5cm、高さ12cm、母線13cmの円錐の表面積と体積を求めてください。
半径3cmの球の表面積と体積を求めてください。

解答と解説を開く

表面積＝2（5×4＋5×3＋4×3）＝2（20＋15＋12）＝94cm²。体積＝5×4×3＝60cm³。
底面積＝6×8÷2＝24cm²。側面積＝（6＋8＋10）×12＝288cm²。表面積＝24×2＋288＝336cm²。体積＝24×12＝288cm³。
表面積＝2π×4²＋2π×4×6＝32π＋48π＝80πcm²。体積＝π×4²×6＝96πcm³。
底面積＝100cm²。側面積＝（10×13÷2）×4＝260cm²。表面積＝360cm²。体積＝1/3×100×12＝400cm³。
表面積＝π×5²＋π×5×13＝25π＋65π＝90πcm²。体積＝1/3×25π×12＝100πcm³。
表面積＝4π×3²＝36πcm²。体積＝4/3π×3³＝36πcm³。数値部分は同じでも単位が異なります。

まとめ

表面積は外側のすべての面を合計し、展開図で数える。
柱体の体積はBh、錐体の体積は1/3Bh。
円錐の表面積には母線、体積には垂直な高さを使う。
球の表面積は4πr²、体積は4/3πr³。
表面積は平方単位、体積は立方単位を付ける。

学習範囲の根拠

この記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」の第1学年「基本的な柱体や錐体、球の表面積と体積」を基準に構成しています。正式な内容は、文部科学省の解説PDFで確認できます。

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