三平方の定理｜ゼロから東大レベルまでの階段マップと学習順序【中3数学 単元まとめ】

三平方の定理とは何か：まず1行で

たとえば、直角をはさむ2辺が 3cm と 4cm の直角三角形をかいて、いちばん長い辺を測ると 5cm になります。3²＋4²＝9＋16＝25＝5² です。このように、直角三角形の直角をはさむ2辺を a、b、いちばん長い辺（斜辺）を c とすると、どんな直角三角形でも a²＋b²＝c² が成り立ちます。これを三平方の定理といいます。3つの辺の「平方（2乗）」の関係なので、この名前がついています。

では、なぜどんな直角三角形でも成り立つのでしょうか。1辺 a＋b の正方形の中に、同じ直角三角形を4つ並べると、真ん中に1辺 c の正方形ができます。大きい正方形の面積を「(a＋b)²」と「三角形4つ＋c²」の2通りで表して比べると、2ab が消えて a²＋b²＝c² が残ります。つまり、三平方の定理とは「直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺は測らなくても計算で求まる」ということです。証明の図と手順は ゼロから解説の①で確認できます。

この単元でつまずく人が多い理由は、定理そのものではなく「直角三角形がどこにあるか見えない」ことにあります。正三角形にも、円にも、直方体にも、直角三角形は最初からかかれていません。垂線をおろす、中心から弦に垂線を引く、頂点の真下を探す、と自分で直角三角形を「作る」ことが、この単元の中心となります。逆にいえば、直角三角形を作る場所のパターンは限られているので、そのパターンを Lv1 から順に覚えていけば、難関高校の折り返しや立体切断も同じ発想で解けるようになります。

この単元のレベル階段表（Lv1〜Lv7）

数強塾では、すべての単元を Lv1〜Lv7 の共通の階段で整理しています。三平方の定理での各レベルの到達点は次の通りです。自分がどこでつまずいているかを確かめるための「判定問題」も添えました。

判定問題の答えは、順に 5、√40＝2√10、高さ 3√3 と面積 9√3、5、152（AC の垂直二等分線が長方形を横切る長さ）、10√3（B から垂線をおろして高さ 5√32）、そして中心 (1, 1, 1)、半径 √3 です。すべてプログラムで検算済みとなります。1つでも手が止まったら、そのレベルの対応ページに進んでください。

学習の順序：この単元の4本のページ

この単元は、次の4本のページで「ゼロから東大まで」を1本の階段としてつないでいます。読む順番は原則として上から下ですが、すでに定期テストで8割取れている人は、演習の Lv4 から始めても構いません。

1ゼロから解説：三平方の定理の解き方（Lv1〜Lv3）

前提ゼロから、①定理の主張と面積による証明→②45°・30° の特別な直角三角形→③座標平面の2点間の距離→④三角形の高さと面積（高さを2通りに表す）→⑤円の弦と接線→⑥直方体の対角線と錐の高さ、の6つの道具を1つずつ手に入れる本文解説です。最後に「直方体の対角線」と「円錐の高さと体積」という定期テストと公立高校入試で頻出のゴール問題を、6つの道具だけで解きます。オリジナルの図を5枚添え、途中の計算は1行も省いていません。

→ 三平方の定理をゼロから解説（証明・特別な直角三角形・2点間距離・円・空間図形）

2ステップアップ演習：Lv1〜Lv7 全42問（全問オリジナル・検算済み）

各レベル6問、合計42問のオリジナル問題集です。Lv4 は公立高校入試型（正三角形の面積・円錐と正四角錐の体積・座標の三角形・放物線上の2点・2円の共通接線）、Lv5 は難関高校型（長方形と正方形の折り返し・直方体と円柱の最短経路・立方体の切り口・内接円の半径）、Lv6 は数I型（3辺から面積・60° と 120° の三角形・最大角の判定・中線・外接円）、Lv7 は難関大で問われる空間座標の四面体・球の切り口・正四面体の外接球・円錐の内接球まで登ります。解答と途中式はすべて省略なしで示し、つまずき表で「戻る番号」がわかります。

→ 三平方の定理のステップアップ演習 Lv1〜Lv7（全42問）

3入試実戦：入試ではこう出る（型別8型）

公立高校入試で頻出の型（正多角形の面積・錐の高さと体積・放物線上の三角形）、難関高校で頻出の型（折り返し・最短経路・立方体の切断と頂点から平面までの距離）、数Iと難関大で頻出の型（3辺から面積と cos・空間座標の四面体と外接球）を8つに分け、それぞれに類題と「解法の設計図（ゼロから解説の①〜⑥のどれを使うか）」を添えています。

→ 三平方の定理の入試実戦（公立・難関高校・難関大で頻出の8型）

4役割別に読む：既存ページの位置づけ

数強塾には三平方の定理の解説記事がすでに74本あります。それらも、この階段の中に位置づけています。目的に合わせて選んでください。

前提単元と次の単元（階段の上下）

この単元の前提は中3「平方根」と「相似」です。三平方の定理で求めた辺は √45 のような形で出ることが多く、それを 3√5 と簡単にし、10√2 を 5√2 と有理化できることが出発点です。√45 を見て手が止まる場合は、まず 平方根まとめ に戻ってください。相似は、折り返しや立体切断で「相似な直角三角形から比で長さを出す」場面と、正四面体の重心が高さを 2：1 に分ける性質で使います。中2の「二等辺三角形の垂線は底辺を2等分する」と、中3の「円の中心から弦におろした垂線は弦を2等分する」「接線は接点で半径と垂直」も、直角三角形を作るときの根拠として何度も使います。

次の単元は数Iの「図形と計量」です。三平方の定理は直角三角形専用ですが、余弦定理 a²＝b²＋c²−2bc cosA は「直角でない三角形でも使える三平方の定理」で、∠A＝90° のとき cosA＝0 となって元の定理に戻ります。この単元の演習Lv6（3辺から面積、60° と 120° の三角形）は、余弦定理を使わずに「高さを2通りに表す」で解く練習で、高1で余弦定理を学ぶと同じ答えが1行で出ることを体感できる設計にしています。数Aの「図形の性質」では、内接円・外接円・重心と三平方の定理を組み合わせる問題（演習Lv5 問5-6、Lv6 問6-6）が再登場します。

入試での位置づけ：この単元はここまで届きます

三平方の定理が入試でどう問われるかは、高校入試と大学入試で顔つきが変わります。ここでは出典を「頻出の型」として整理します（学校名・年度・大問番号は記載しない方針としています）。

公立高校入試では、三平方の定理は「図形の大問の最後の設問」に置かれるのが標準です。前半の設問で合同や相似を証明し、最後の設問で「線分の長さ」「面積」「体積」を求める、という流れの中で、答えを出すための最後の1手として使われます。とくに円錐・正四角錐の体積、正三角形や正六角形の面積、放物線上の2点を結ぶ線分の長さは、ほぼ毎年どこかの都道府県で出題されている型です。配点は大問の最後なので 4〜6点程度ですが、直角三角形を1つ見つければ1分で解ける型がほとんどなので、取りこぼしが許されない位置にあります。

難関高校では、直角三角形が「かくれている」問題が中心です。長方形を折り返したときの折り目の長さ、円柱や円錐の側面をひもで1周するときの最短の長さ、立方体を3点を通る平面で切った切り口の面積、頂点から向かい合う面までの距離。どれも図に直角三角形はかかれておらず、「折り返しで等しい辺を x とおく」「展開図で直線にする」「体積を2通りに表す」という翻訳を経て、はじめて三平方の定理が使える形になります。この翻訳の型は入試実戦の型4〜6で3つに整理しています。

大学入試では、三平方の定理そのものが問われることはなく、余弦定理・ベクトル・空間座標の「計算の中の1行」として毎回使われます。とくに「空間座標の4点でできる四面体の体積と、頂点から平面までの距離」「四面体の外接球の中心と半径」は、難関大の記述問題として繰り返し出題されている型で、その類題を中3の道具だけで解けるようにしたのが Lv7 の到達点です。つまり、中3で学ぶ「頂点の真下を探して直角三角形を作る」という1つの習慣が、そのまま難関大の空間図形の出発点になるということです。

これは入試で何度も出るので覚えておいてください。「長さを求めよ」「面積を求めよ」「体積を求めよ」と聞かれて図に直角三角形が見えないときは、垂線をおろす・展開する・体積を2通りに表す、の3つを順に疑う。この習慣が Lv4 以上への入口となります。

直角三角形を「作る」6つの場所を1枚の図で

三平方の定理の6つの道具は、「直角三角形をどこに作るか」で選びます。次の図を1枚持っておくと、どの図を見ても手が止まりません。

どの場所でも「斜辺はどれか」を最初に決めます。斜辺を求めるなら足す、斜辺でない辺を求めるならひく。√(9²＋6²) と √(9²−6²) を取り違えるミスは、この1手を固定するだけで消えます。詳しい理由と手順は ゼロから解説 の①〜⑥を参照してください。

この単元の用語ミニ辞典

学習計画の目安：何日で登るか

定期テスト対策なら、ゼロから解説（2日）→演習Lv1〜Lv4（3日）の合計5日程度で Lv4 まで届きます。新しい道具は①②（定理と辺の比）、③④（座標と高さ）、⑤⑥（円と空間）の3組なので、「1日に1組」の配分がもっとも無理がありません。空間図形は覚えた翌日に必ず5問以上こなして、「底面で1回、縦の面で1回」の2段階が手に馴染むことを確かめてください。カテゴリ一覧の78本の中には、円錐・正四角錐・直方体をそれぞれ1本ずつ扱った記事があるので、苦手な立体だけを集中して読むことができます。

難関高校を目指す場合は、そこに演習Lv5と入試実戦の型4〜6を加えて、さらに4日を見込んでください。折り返しと最短経路と立体切断は初見で解けないのがふつうなので、設計図を読んでから類題を解き、翌日に演習の同じ番号を白紙で解き直す、という2周が定着の目安となります。図形の難問をまとめて解きたい場合は 中3数学：図形（難問） に、相似・円と三平方の定理を融合した問題が並んでいます。

Lv6・Lv7 は中3の段階で無理に登る必要はありません。ただし、「3辺だけの三角形は高さを2通りに表せば面積が出る」と「四面体の体積を2通りに表せば頂点から平面までの距離が出る」の2つだけは中3のうちに目を通しておくと、数Iの「図形と計量」と数Cのベクトルで新しいことがほとんどなくなります。高1でその単元に入ったら、このハブに戻って演習Lv6・Lv7と入試実戦型7〜8を解いてください。

つまずきやすい4か所と戻る番号

この単元で相談が多いつまずきを、戻るべきゼロから解説の番号とあわせて示します。

よくある質問