正弦定理・余弦定理｜使い分け・証明・面積を解説【数学I】

SSAは、三角形が0個・1個・2個のどれにもなる——余弦定理1本で数える

上の「二つの三角形ができる場合」で、\(a=7,\ b=10,\ A=30^\circ\) の例を挙げ、答えが2個になることを示しました。あわせて「sinの計算結果が1を超えれば、三角形は存在しません」とも書いています。

ただ、SSA（二辺と、そのうち一辺の対角）で起きることはこれで全部ではありません。三角形の個数は 0個・1個・2個 のどれにもなり、上の例題はそのうち1つの場合しか見ていないのです。とくに「鈍角の候補が消えて1個になる」場合は入試で最も多く出ますが、上には出てきません。

そして、この4通りを覚え直す必要はありません。すでに書いてある余弦定理を、\(c\) についての2次方程式とみるだけで、個数がそのまま出ます。ここに自作の類題を4問置きます。実際の入試問題ではありません。

道具は1つです。\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) を \(c\) の2次方程式 \(c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0\) とみて、正の解が何個あるかを数える。正の解の個数が、そのまま三角形の個数です。以下すべて \(b=10\)、\(A=30^\circ\) で、\(a\) だけを変えます。

共通の準備

\(b=10\)、\(A=30^\circ\) なので \(\cos A=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(2b\cos A=10\sqrt3\)。方程式は

\(c^2-10\sqrt3\,c+(100-a^2)=0\)

判別式は \(D=(10\sqrt3)^2-4(100-a^2)=300-400+4a^2=4a^2-100\)。

なお \(b\sin A=10\times\dfrac12=5\) で、これが後で境目になります。

類題1（\(a=4\)：三角形は0個）

解答

\(D=4\times16-100=64-100=-36 \lt 0\)。実数解がないので、0個。

正弦定理で見ると

\(\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{5}{4}=1.25>1\)。上の記事にある「sinが1を超えれば存在しない」と同じ結論です。

\(a=4\) は \(b\sin A=5\) より小さい数です。\(b\sin A\) は、頂点Cから辺ABへ下ろした垂線の長さ——つまりCから直線ABまでの最短距離にあたります。\(a\) がその距離より短ければ、点Bはどこにも取れません。

類題2（\(a=5\)：ちょうど1個）

解答

\(D=4\times25-100=0\)。重解なので 1個。このとき \(c=\dfrac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\)。

\(\sin B=\dfrac{5}{5}=1\) より \(B=90^\circ\)。直角三角形です。

検算：\(a=5\)、\(c=5\sqrt3\)、\(b=10\) で \(5^2+(5\sqrt3)^2=25+75=100=10^2\)。三平方の定理が成り立っています。

\(a=b\sin A\) のとき、ちょうど垂線の長さと一致します。点Bが1か所にしか取れない——それが重解の意味です。判別式が0になる場面が、図では「ぴったり垂線」に対応しているのは、見ておく価値があります。余弦定理と三平方の関係はなぜ余弦定理は三平方の定理の一般化なのかで説明しています。

類題3（\(a=6\)：2個）

解答

\(D=4\times36-100=144-100=44>0\)。2つの実数解があります。

\(c=\dfrac{10\sqrt3\pm\sqrt{44}}{2}=5\sqrt3\pm\sqrt{11}\)

\(5\sqrt3\approx8.66\)、\(\sqrt{11}\approx3.32\) なので \(c\approx11.98\) と \(c\approx5.34\)。どちらも正なので、三角形は 2個。

正弦定理で見ると

\(\sin B=\dfrac{5}{6}\approx0.833\)。\(B\approx56.4^\circ\) と \(B\approx123.6^\circ\) の2つが候補で、\(30^\circ\) を足してもどちらも \(180^\circ\) 未満（\(86.4^\circ\)、\(153.6^\circ\)）。両方とも三角形になります。

ここが上の例題3と同じ形です。2次方程式の2つの解が、鋭角の \(B\) と鈍角の \(B\) にそれぞれ対応しています。\(c\) の大きいほう（約11.98）が \(B\) の鋭角、小さいほう（約5.34）が鈍角に対応します。
「解が2つある」を、角の候補が2つあると考えても、\(c\) が2つあると考えても同じこと——後者のほうが、次の類題4で強みが出ます。

類題4（\(a=12\)：1個。ここが入試で最も多い）

解答（2次方程式で）

\(D=4\times144-100=576-100=476>0\) なので、実数解は2つあります。ところが

\(c=\dfrac{10\sqrt3\pm\sqrt{476}}{2}=5\sqrt3\pm\sqrt{119}\)

\(\sqrt{119}\approx10.91\) なので \(c\approx19.57\) と \(c\approx-2.25\)。負の解は辺の長さになりません。よって 1個。

正弦定理で見ると

\(\sin B=\dfrac{5}{12}\approx0.417\)。\(B\approx24.6^\circ\) と \(B\approx155.4^\circ\) が候補ですが、後者は \(30^\circ+155.4^\circ=185.4^\circ>180^\circ\) となり三角形になりません。よって1個。

2次方程式で見ると、4つの場合が「判別式」と「解の符号」だけで区別できます。正弦定理で見る場合は、\(\sin B\) の大きさに加えて「\(A+B\) が \(180^\circ\) 未満か」を毎回確かめる必要があり、この確認を忘れるのが最も多い失点です。
\(a \ge b\)（ここでは \(12 \ge 10\)）のときは必ず1個になります。理由は簡単で、\(b^2-a^2 \le 0\) なら2次方程式の定数項が0以下になり、2解の積が0以下——つまり正の解は多くても1つだからです。

まとめ：\(a\) の大きさで4通りに分かれる

\(b=10\)、\(A=30^\circ\) なので、境目は \(b\sin A=5\) と \(b=10\) の2つです。

右端の列を見てください。4つとも、2次方程式の言葉だけで言い切れています。左端の不等式を覚えなくても、方程式を立てて解けば同じ結論に着きます。

どちらで解いてもよいのですが、試験中は2次方程式のほうが安全だと考えています。理由は、「\(A+B\lt180^\circ\) か」という別立ての確認が要らないことです。負の解を捨てるのは、辺の長さだから当然の作業で、忘れようがありません。
いっぽう正弦定理のルートは、\(\sin B\) を出したあとに「もう1つの角も候補だ」と思い出し、さらに「和が180°未満か」を確かめる——思い出す作業が2回あります。上の記事で「電卓が最初に返す鋭角だけでなく」と注意したのは、その1回目のことでした。

この4問の使い方

1. 4問とも、2次方程式と正弦定理の両方で解いてください。同じ答えに着くことを確かめるのが目的です。
2. 類題4を、正弦定理だけで解いてみてください。\(B\approx155.4^\circ\) を捨て忘れると2個と答えてしまいます。捨て忘れる感覚を一度味わっておくと、本番で思い出せます。
3. \(a\) を \(3, 5, 7, 9, 10, 15\) と変えて、個数だけ答えてください。境目の \(5\) と \(10\) をまたぐたびに個数が変わります（順に 0, 1, 2, 2, 1, 1 です）。

正弦定理・余弦定理の使い分けを型として整理したものは図形と計量の解法パターン全14型｜正弦定理・余弦定理の使い分けと入試実例（千葉大・金沢大・山口大・奈良女子大・一橋大）にあります。定理そのものの意味はなぜ正弦定理に外接円の直径が現れるのかとなぜ余弦定理は三平方の定理の一般化なのかをどうぞ。

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