正五角形と黄金比の問題｜角度・平行四辺形・相似を完全解説

黄金比は「長さ」ではなく「分け方」——対角線は交点で黄金比に分かれる

上の (4) で \(AD=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\) を求め、これを黄金比と呼びました。ただ、記事の中で黄金比は「長さの値」としてしか出てきていません。黄金比は本来「比」、つまりある線分の分け方を表す言葉です。

そして、その分け方はすでにこの図の中で起きています。(3) で \(AP=1\)、(4) で \(PD=x-1\) を出しているのに、\(AP:PD\) を一度も計算していません。ここを取ると、なぜ黄金比と呼ぶのかが1行で分かります。

以下、\(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\)（約1.618）と書きます。すべて一辺1 cmの正五角形ABCDEで、記事と同じ図です。類題はすべて数強塾のオリジナルです。

類題1（\(AP:PD\) を求める）

解答

\(AP=1\)、\(PD=AD-AP=\varphi-1\) です。ここで、(4) で作った方程式 \(x^2-x-1=0\) すなわち \(\varphi(\varphi-1)=1\) を使います。

両辺を \(\varphi\) で割ると \(\varphi-1=\dfrac{1}{\varphi}\)。したがって

\(AP:PD=1:\dfrac{1}{\varphi}=\boldsymbol{\varphi:1}\)

数で確かめると \(1 \div 0.618\cdots = 1.618\cdots\)。たしかに \(\varphi\) です。

\(\varphi-1\) と \(\dfrac{1}{\varphi}\) が同じ数だという関係が、ここで効きました。上の「答えの独立検算」で \(\varphi(\varphi-1)=1\) を確かめましたが、あれは検算のためだけの式ではありません。両辺を \(\varphi\) で割るだけで、\(\varphi\) の最も使う性質になります。

類題2（\(AD:AP\) も求めて、並べる）

解答

\(AD=\varphi\)、\(AP=1\) なので \(AD:AP=\varphi:1\)。類題1とまったく同じ比です。

つまり、点Pは線分ADを

（全体）:（長いほう）＝（長いほう）:（短いほう）

となるように分けています。これが「黄金比に分ける」ということの定義そのものです。

黄金比を「\(1.618\cdots\) という数」だと覚えていると、なぜ美しいと言われるのかが分かりません。実際に美しいのは数ではなく「分けたあとが、分ける前と同じ形の比になる」という性質のほうです。
上の記事では \(AD\) の長さを求めて終わりましたが、同じ図で \(AP:PD\) を取れば、その性質がそのまま見えます。ここまでが1つの問題だと考えています。

類題3（内側にできる小さな正五角形）

解答(1)

5本の対角線の交点が、小さい正五角形の頂点です。座標で計算すると、一辺の長さは

\(\dfrac{1}{\varphi^2}=2-\varphi=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\approx0.382\)

3つの式が同じ数であることは、\(\varphi^2=\varphi+1\) から確かめられます。\(\dfrac{1}{\varphi^2}=\dfrac{1}{\varphi+1}\) で、分母を有理化すると \(\dfrac{3-\sqrt5}{2}\) になります。

解答(2)

相似比は \(1:\dfrac{1}{\varphi^2}=\boldsymbol{\varphi^2:1}\)（約 \(2.618:1\)）。

面積比は相似比の2乗で \(\varphi^4:1\)（約 \(6.854:1\)）。

内側の正五角形にも、同じように対角線を引けます。するとさらに内側に、また正五角形ができます。しかも毎回ちょうど \(\varphi^2\) 分の1に縮む。この図は、いくらでも中へ続いていきます。
上の記事で「正五角形の対角線問題は…一本につながる良問です」と書きましたが、つながる先は問題の外にもあります。

類題4（この図に、長さは何種類あるか）

解答

答えは 4種類。しかも4つとも \(\varphi\) の累乗で書けて、\(\varphi^1,\ \varphi^0,\ \varphi^{-1},\ \varphi^{-2}\) と1つずつ下がっています。

なぜ、きれいに並ぶのか

\(\varphi\) には \(\varphi^2=\varphi+1\) という関係があります。これを使うと、\(\varphi\) の累乗どうしの引き算が、また \(\varphi\) の累乗になります。

対角線から辺を引くと \(\dfrac1\varphi\)、辺からそれを引くと \(\dfrac1{\varphi^2}\)。引き算するたびに、1段小さい同じ形が出てきます。

この性質があるからこそ、内側の正五角形が同じ形で現れます。「引いても同じ形が出る数」は \(\varphi\) のほかにほとんどありません。正五角形が特別な図形に見えるのは、この1つの数のせいです。
数の並びとしての黄金比については、この記事の末尾からリンクしているフィボナッチ数列の解説もあわせてご覧ください。

まとめ：この図から取れるもの

2行目に注目してください。\(AP=1\) と \(PD=\varphi-1\) は、上の記事がすでに出しています。あとは並べて比を取るだけで、黄金比という名前の由来にたどり着きます。

この記事の「保護者の方へ」で「答えより『次に見る図形』を聞く」と書きました。同じことが、問題が終わったあとにも言えます。答えが出たところで、「いま出した数どうしで、まだ取っていない関係はないか」と1回だけ聞いてみる。
この問題では \(AD\) と \(AP\) と \(PD\) の3つが出そろっていました。3つの数があれば、比は3通り取れます。そのうち1つも取らずに終わるのは、もったいない。

この4問の使い方

1. 類題1と2は続けて解いてください。2つの比が同じになる瞬間が、この4問でいちばん大事なところです。
2. 類題3は、まず図に5本の対角線を引いてから読んでください。内側の正五角形が見えていないと、計算だけになります。
3. 類題4の表を、\(\varphi\) の累乗の列だけ縦に読んでください。\(\varphi,\ 1,\ \varphi^{-1},\ \varphi^{-2}\) と1つずつ下がっていることを確かめます。

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