整数問題の第二の方針が「余りで分類する」です。整数は無限にありますが、 で割った余りで分ければたった 通り。無限が有限に潰れます。
ところが多くの受験生は、ここで をいくつにするかで止まります。 を試し、ダメなら 、次は ……と当てずっぽうに探す。これは時間の浪費です。この記事では、数強塾の独自研究として、法（割る数）は式の形が指定しているという考え方を、剰余表つきで体系化します。
この記事は 整数問題の3つの方針 の②にあたります。①は 積の形に持ち込む、③は 不等式で絞る です。
1．原理 ―― 無限が有限に潰れる
図1： で割った余りで分けると、無限個あった整数が3通りに潰れる。「すべての整数について調べる」が「3通りだけ調べる」に化ける。
余りで分類する原理
整数を で割った余りは の 種類しかない。だから「すべての整数 について」の議論は、 通りの場合分けで完了する。
この方針が特に強いのは、次の2つの場面です。
- 「解が存在しないことを示せ」——存在しないことは、候補をいくら調べても示せません。しかし余りが合わないと言えれば1行で終わります。
- 「 の倍数であることを示せ」——余りが であることを言えばよいので、これも余りの話です。
2．合同式を最小限だけ
合同式は数学Aの教科書に載っている記法で、記述式でそのまま使えます。使わなくても解けますが、答案の長さが半分になります。
⟺ が の倍数
| 操作 | できるか | 内容 |
|---|---|---|
| 足す・引く | できる | なら |
| 掛ける | できる | |
| 累乗する | できる | |
| 割る | できないことがある | と互いに素な数でしか割れない |
【割り算の反例】 ですが、両辺を で割ると となり成り立ちません。合同式で割ってよいのは、法と互いに素な数だけ。ここが唯一の落とし穴です。
3．【核心】法は、式の形が指定している
ここがこの記事の中心です。法を選ぶのは勘ではありません。式の中に何が入っているかで、ほぼ機械的に決まります。
| 式に含まれるもの | 試すべき法 | 根拠 |
|---|---|---|
| 平方数 | 、次に 、それでも駄目なら | の2通りで場合分けすると が出る |
| 立方数 | 、次に | の3通りで場合分けすると が出る |
| 4乗 | 、次に | は で割ると か しかない |
| 底が固定の累乗 | と相性のよい小さい数 | のように に化ける法を探す |
| 問題文に「 で割った余り」 | その | 問題が指定している |
| 「差が の倍数」の恒等式 | その | 恒等式が法を教えている |
なぜ平方数は なのか
を で割った余りで場合分けします。これが「平方数の分類の最小単位」です。
どちらも で括れる形になりました。2通りに分けた結果が を生む——だから平方数を扱うときの第一候補は なのです。
なぜ立方数は なのか
同じ発想です。 を で割った余りで場合分けします。
3通りに分けた結果、 の倍数と の倍数 に分かれます。立方数を で割った余りは の3つだけ。この事実は非常に強力です。
4．剰余表 ―― 手元に置いておく
次の表はすべてプログラムで全数確認しました。試験中に思い出せなくても、上の要領で1分あれば復元できます。
| 形 | 法 | 現れる余り | 現れない余り |
|---|---|---|---|
| それ以外 | |||
| それ以外 |
【表の読み方】大事なのは右端の列です。「現れない余り」が答えの否定に直結します。 を で割ると余り 、平方数2つの和では余り が作れない——この一致を見つけるゲームだと思ってください。
5．例題4問
例題1（法 ）
【例題1】
を満たす整数の組 は存在しないことを示せ。
平方数があるので法は 。表より はそれぞれ で割って か 。したがって和は のいずれか。ところが で余りは 。一致しないので解は存在しません。
【一般化】同じ議論で、 で割って 余る数は2つの平方数の和で表せないことが分かります。 はすべて不可能。逆に で割って 余る素数は必ず2つの平方数の和になる（）というのが有名な定理ですが、こちらは高校範囲を超えます。
例題2（法 ）
【例題2】
が の倍数になる整数 は存在しないことを示せ。
問題文が を指定しているので、法は 。 を で割った余りで5通りに分けます。
が一度も現れません。よって は の倍数になりません。
検算： なら 、 なら 、 なら 、 なら 。確かに の倍数が出てきません。
例題3（法 ）
【例題3】
を満たす整数の組 は存在しないことを示せ。
立方数が3つ。法は です。表より各立方数は で割って 。 と見ると、各項は のいずれか。3つ足しても 以上 以下、すなわち で割った余りとしては
すなわち
と は絶対に作れません。 はまさにこれなので、解は存在しません。
【この問題の背景】 は、 を で割った余りが か のときだけ「不可能」が証明できます。それ以外の は非常に難しく、 の解が発見されたのは2019年でした（9桁を超える巨大な整数の組）。高校生でも1行で証明できる部分と、数十年かかる部分が隣り合っているのが整数論の面白さです。
例題4（累乗の周期）
【例題4】
が の倍数になる自然数 をすべて求めよ。
底が で固定された累乗。 を に化けさせられる法を探すと、 が見つかります。すると
が偶数なら で 。 が奇数なら で 。
【答】
が奇数のとき、すなわち
【累乗のコツ】累乗を見たら「 に化ける法」を探すのが最短です。 なら 、 なら （）、 なら （、これが「各位の和が9の倍数なら9の倍数」の正体）。化けなければ、余りの周期を調べます。たとえば は の周期6で循環します。
6．応用 ―― ピタゴラス数の「隠れた性質」
【応用】
を満たす自然数について、 のどちらかは必ず の倍数であることを示せ。
平方数があり、 の倍数を問われているので法は 。表より平方数は で割って か 。
もし がどちらも の倍数でないとすると、 なので 。しかし平方数を で割った余りに は現れません。矛盾です。よって の少なくとも一方は の倍数。■
同様に「 のどちらかは の倍数」「 のどれかは の倍数」も成り立ちます。 がすべての性質を最小の形で兼ね備えているのは偶然ではありません。実際、 以下のピタゴラス数をすべて調べたところ、例外は一つもありませんでした。
7．答案の書き方
合同式を使う場合と使わない場合、どちらでも構いません。両方の書き方を並べます。
【合同式を使わない書き方】
整数 は または （ は整数）と書ける。
のとき 、 のとき 。
よって を で割った余りは または である。
【合同式を使う書き方】
のそれぞれについて 。
よって または 。
答案で落としてはいけない2点
- 場合分けが尽くされていることを示す。「 を で割った余りは から のいずれかである」と一言。
- 矛盾の形をはっきり書く。「左辺の余りは のいずれか、右辺の余りは 。よって等号は成立しない」と、集合が交わらないことを明示する。
8．よくあるミス
1合同式で割ってしまう
法と互いに素でない数では割れません。 から は導けない（ が反例）。
2法を当てずっぽうで選ぶ
を順に試して時間を溶かす。平方数なら と 、立方数なら と から始めてください。
3「余りが一致した」で終わる
余りが一致しても、解が存在するとは限りません。余りの議論は必要条件を出すだけ。存在を示すには実例が要ります。
4負の整数を忘れる
を で割った余りは です（）。余りは常に 以上 未満に取ります。
9．練習問題
【練習1】
を満たす整数の組 は存在しないことを示せ。
【練習2】
で割ると 余る数は、2つの立方数の和で表せないことを示せ。
【練習3】
が の倍数になる自然数 をすべて求めよ。
【答】
練習1 法は 。 で、平方数を で割った余りは か 。右辺は なので矛盾。よって解は存在しない。
練習2 法は 。立方数を で割った余りは 。2つの和は から のいずれか。 は現れないので表せない。
練習3 法は 。 より 。 が偶数のとき で 。よって は偶数すべて。検算：、、いずれも の倍数。 は の倍数でない。
10．まとめ
この記事の要点
- 余りで分類すると、無限個の整数が 通りに潰れる。
- 法は式が指定する。平方数なら （次に 、）、立方数なら （次に ）、累乗なら に化ける法。
- 剰余表で見るべきは「現れない余り」。そこが「解が存在しない」の証明に直結する。
- 合同式は足す・引く・掛ける・累乗はできるが、割り算は法と互いに素なときだけ。
- 余りの議論は必要条件。存在を示したいなら実例を挙げる。
11．よくある質問
Q. 剰余表は暗記すべきですか？
A. 暗記より復元できることが大事です。「平方数を で割った余り」は を2乗するだけで1分で作れます。ただし と の2つは頻度が高いので、覚えていて損はありません。
Q. 法を変えても矛盾が出ないときは？
A. その問題は余りで分類する問題ではない可能性が高いです。解が実際に存在するなら、どんな法を取っても矛盾は出ません。2〜3個の法を試して出なければ、積の形や不等式で絞るに方針を切り替えてください。
Q. 合同式は記述式で使ってよいのですか？
A. 数学Aの教科書に載っている記法なので使えます。ただし法を毎回明記すること、割り算をしないことの2点だけは守ってください。不安なら「」の書き方に翻訳しても、内容はまったく同じです。
Q. はいつ使いますか？
A. では足りないときです。たとえば「 で割って 余る数は3つの平方数の和で表せない」は でないと示せません（平方数は で しか取らず、3つ足しても は作れない）。実際 はいずれも3つの平方数の和で表せません。
12．関連ページ
- 整数問題の3つの方針｜総論・判断基準（まずはこちら）
- ① 積の形に持ち込む整数問題｜変形の3つの型と約数の数え方
- ③ 不等式で絞る整数問題｜対称性と大小の仮定
- 実戦例：a³−b³=65 の整数解【2005年 京都大学 文系 第4問】（法 が効く問題）
- 整数の性質｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】
- 解法テクニック一覧
「なぜその法を選んだのか」を、言葉にできますか
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