整数問題の3つの方針——積の形にする・余りで分類する・不等式で絞る——は、いずれも候補を減らすための道具でした。ところが整数問題には、もう1つ、性格のまったく違う道具があります。
それが一次不定方程式 です。この方程式だけは、候補を絞るのではなく、解を作ります。しかも「解があるかどうか」も、「解が全部でどう並ぶか」も、完全に分かってしまう。整数問題のなかで唯一、完全に解決している型です。
1．「絞る」と「作る」の違い
| 3つの方針（絞る） | 一次不定方程式（作る） | |
|---|---|---|
| やること | 候補を有限にして、1つずつ調べる | 解を1つ作り、そこから全部を並べる |
| 解の個数 | ふつう有限個 | 解があるなら必ず無限個 |
| 存在の判定 | 調べてみないと分からない | 計算だけで分かる（後述） |
| 使う道具 | 約数・剰余・不等式 | ユークリッドの互除法 |
「解が無限個ある」というのは、3つの方針では起きなかったことです。 の整数解は8組でしたが、 の整数解は無限にあります。だからこの型では、目標が変わります。全部を列挙するのではなく、「全部を表す式」を書くのがゴールです。
2．解があるかどうかは、計算で分かる
解の存在条件
を でない整数、 とする。
が整数解をもつ が を割り切る
「なぜ」は片方向だけ簡単です。 がどちらも の倍数なら、 も必ず の倍数。だから が の倍数でなければ、解はありません。（逆向き—— なら必ず解がある——は、次節の互除法が実際に解を作ってみせることで証明されます。）
| 方程式 | 判定 | |
|---|---|---|
| → 解あり | ||
| → 解あり | ||
| → 解なし | ||
| → 解なし |
【最初にやること】いきなり解こうとせず、まず を計算して を割れるか見る。割れなければ「解なし」で終わりですし、割れるなら両辺を で割ってから始めると計算が軽くなります。 なら、まず に直します。
3．互除法で、解を1つ「作る」
の解を1つ作ります。ユークリッドの互除法を、割り算の式として書き残すのがコツです。
余りが になったので終わり。ここから逆にたどります（余りを主役にして、下から上へ代入する）。
つまり 。 が1つの解です。
【検算】。成立します。
小さい数なら、互除法を使わず目で探しても構いません。 から 、。よって も解です。答案では「 は解の1つである（代入して確認）」と書けば、見つけ方は問われません。
4．一般解 ―― 全部を1本の式で書く
一般解の公式
、 を1つの解とすると、すべての整数解は
ここで はすべての整数を動きます。
なぜこの形になるのか
と がどちらも解なら、辺々引いて
両辺を で割ると 。ここで と は互いに素なので、 は を割り切ります。したがって と書けて、 も決まります。
【ここが要】「互いに素な2数のうち、片方が積を割るなら、もう片方の因子を割る」——この一言が全部を支えています。だから両辺を で割る手順が必須なのです。割らずに進めると、この論法が使えません。
なら 、 なので
（ は整数）
5．図で見る ―― 格子点は等間隔に並ぶ
図1：直線 の上にある格子点。 が 増えるごとに が 減るという、まったく同じ歩幅で並んでいます。一般解の は、この歩幅そのものです。
図から読み取れること
- 解は無限個ある（直線が無限に伸びている）
- 解は等間隔に並ぶ（歩幅は ）
- だから1つ見つければ、あとは全部わかる
3つの方針が「候補という点をふるいにかける」作業だったのに対し、この型は「等間隔に並んだ点列を記述する」作業です。性格がまったく違うことが、図で分かります。
6．自然数解を求める ―― ここで不等式が戻ってくる
入試で問われるのは、たいてい「自然数解を求めよ」です。一般解を出したあと、範囲を絞ることになります。ここで ③ 不等式で絞る が合流します。
【例題】
を満たす自然数の組 をすべて求めよ。
は を割るので解があります。先ほど でしたから、両辺を 倍して 。よって が1つの解で、一般解は
自然数条件 を課すと、
したがって の2通りだけ。
【答】
のとき 、 のとき 。この2組。
【検算】。。全数探索でもこの2組だけでした。
のような大きな数が嫌なら、先に をずらして小さい解に取り替えても構いません。たとえば とすれば となり、これを新しい にできます。一般解の形は、どの解を出発点にしても同じ集合を表します。
7．【発展】表せない数の最大値（フロベニウスの硬貨問題）
円玉と 円玉だけで支払える金額を考えます。つまり （ は 以上の整数）で表せる数です。
| 値 | |
|---|---|
| 表せない正の整数 | |
| そのうち最大 | |
| 以上 | すべて表せる |
フロベニウス数
が互いに素な 以上の整数のとき、（）で表せない最大の整数は
なら 。上の表と一致します。
【入試での顔】この公式そのものを覚える必要はありませんが、「〇円玉と△円玉で支払えない最大の金額は？」という設定は難関大でときどき出ます。設定を見たら「一次不定方程式で、 に限定した話だ」と読み替えられれば十分です。
8．答案の書き方
【答案例（骨格）： の自然数解】
であり だから、整数解は存在する。
は を満たすので、1つの解である。
与式との差をとると 、すなわち 。 と は互いに素だから （ は整数）と書け、このとき 。
逆にこれらは与式を満たすから、整数解は （ は整数）。
自然数条件より かつ 、すなわち 。よって 。
したがって 。
答案で落としてはいけない3点
- 1つの解は「代入して確かめた」と書く。見つけ方（互除法か、目で探したか）は問われません。
- 「互いに素だから」を必ず書く。一般解の導出は、この一言が要です。
- 逆の確認を書く。「逆にこれらは与式を満たす」で必要十分になります。
9．よくあるミス
1 で割らずに一般解を作る
をそのまま扱い、 としてしまう。正しくは で割った から 。刻み幅が6倍ずれて、解を大量に取りこぼします。
2符号を逆にする
が なら は 。片方は必ずマイナスです。図1で「 が増えると は減る」ことを一度見ておくと、間違えません。
3存在条件を確認しない
をいくら変形しても解は出ません。先に を見るだけで、無駄な時間がゼロになります。
4自然数と整数を読み違える
「整数解」なら はすべての整数、「自然数解」なら不等式で の範囲が出ます。設問の1語で答えの個数が有限にも無限にもなります。
10．練習問題
【練習1】
の整数解をすべて求めよ。
【練習2】
の整数解をすべて求めよ。
【練習3】
を満たす自然数の組 の個数を求めよ。
【答】
練習1 で より解あり。両辺を で割って 。 は を満たす。 と は互いに素だから、一般解は （ は整数）。検算： で 、。
練習2 、、。逆にたどると 。よって が1つの解で、一般解は 。検算：。
練習3 より解あり。 は を満たすので、一般解は 。自然数条件から より 、 より 。よって の 4個。（）
11．まとめ
この記事の要点
- 一次不定方程式は、整数問題のなかで唯一「解を作る」型。解があるなら必ず無限個。
- 存在条件は 。最初にこれを見る。割れるなら両辺を で割ってから始める。
- 1つの解は互除法を逆にたどって作る（小さければ目で探してもよい）。
- 一般解は 。図で見れば、等間隔に並ぶ格子点。
- 自然数解を問われたら、不等式で の範囲を絞る（③との合流点）。
12．よくある質問
Q. 1つの解は、互除法で作らないといけませんか？
A. いいえ。代入して成り立つことを示せば、見つけ方は問われません。係数が小さければ目で探すほうが速いです。互除法が必要になるのは、係数が3桁になって目では見つからないときです。
Q. 合同式で解いてもよいですか？
A. できます。 なら 、すなわち から 。ここから が出て、同じ一般解になります。法を小さいほうの係数に取るのがコツです。
Q. 3文字の はどうなりますか？
A. 考え方は同じで、解の存在条件は です。ただし自由度が2つになるので、一般解にパラメータが2つ現れます。高校範囲では、まず2文字にまとめてから処理するのが現実的です。
Q. なぜこの型だけ「完全に解決している」のですか？
A. 一次だからです。次数が2に上がった途端、話は一気に難しくなります。たとえば （ペル方程式）にも無限に解がありますが、一般解の形は一次のようには書けません。 のような3次に至っては、 ごとに個別に調べるしかありません。一次が例外的にきれいなのだと思ってください。
13．関連ページ
- 整数問題の3つの方針｜総論・判断基準（まずはこちら）
- ① 積の形に持ち込む整数問題
- ② 余りで分類する整数問題
- ③ 不等式で絞る整数問題
- 実戦例：a³−b³=65【2005年 京都大学 文系 第4問】
- 整数の性質｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】
- 解法テクニック一覧
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一次不定方程式は、手順を知っていれば必ず解ける代わりに、手順のどこか一箇所を落とすと全部ずれます。数強塾では、答案を1行ずつ見て、どこで論理が飛んだかをプロ講師が完全1対1で指摘します。
