洗足学園中学校 2021年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

洗足学園中学校 2021年度 第1回 算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み）。問題は洗足学園中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算）　答：(1) 202.1　(2) 39/40

(1)は43・4.3・0.43が並ぶ小数計算、(2)は帯分数・小数まじりの四則混合です。どちらも「そのまま計算しない」工夫が問われます。

【📖大切な考え方】(1)は3つの項がすべて「43×何か」の形に直せるのが最大のヒントです。4.3×15＝43×1.5、0.43×120＝43×1.2 と読みかえ、分配法則でまとめます。

【👀ここに注目】(2)は 1.75＝7/4、2.7＝27/10 のように小数を分数へそろえるのが原則です。中かっこの中を先に確定させましょう。

解答：
(1) 43×5−4.3×15＋0.43×120＝43×5−43×1.5＋43×1.2＝43×(5−1.5＋1.2)＝43×4.7＝202.1。
(2) かっこの中：2と5/6−1.75＝17/6−7/4＝34/12−21/12＝13/12。
13/12÷9と3/4＝13/12×4/39＝1/9。1/9＋1/4＝4/36＋9/36＝13/36。
13/36×2.7＝13/36×27/10＝39/40。

【✅検算】分数計算ソフトで厳密に計算し、(1)202.1、(2)39/40を確認。公式解答例とも一致します。なお試験年度の「2021」を思わせる202.1が答えになるのは、洗足でときどき見られる遊び心です。

大問2（小問集合・標準）　答：(1) 40枚　(2) 45　(3) 16冊　(4) 5/14倍

(1) 最小公倍数：縦15cm・横24cmの長方形の紙を同じ向きにすき間なく並べ、できるだけ小さい正方形を作るときの枚数を求めます。

【📖大切な考え方】正方形の1辺は「15の倍数かつ24の倍数」なので、最小の1辺は最小公倍数です。

解答：15と24の最小公倍数は120。縦に120÷15＝8枚、横に120÷24＝5枚並ぶので、8×5＝40枚。

【✅検算】120×120の正方形を15×24の紙40枚がすき間なくおおうこと（面積120×120＝14400＝15×24×40）を確認。公式の得点率97.0％で、確実に取りたい1問です。

(2) 連比：整数A・B・Cについて、A：C＝5：2、B：C＝4：3、BとCの差が6のとき、Aを求めます。

【👀ここに注目】2つの比に共通して現れるCを同じ数にそろえるのが出発点です（公式所見でも同じ方針が示されています）。

解答：Cを2と3の最小公倍数6にそろえると、A：C＝15：6、B：C＝8：6。よってA：B：C＝15：8：6。
BとCの差は比で8−6＝2にあたり、これが6なので比の1あたり3。A＝15×3＝45。

【✅検算】A＝45、B＝24、C＝18とすると、45：18＝5：2、24：18＝4：3、差24−18＝6ですべての条件に合います。

(3) 割合（売買と消費税）：花子さんはノートを定価で何冊か買い、消費税10％込みで3168円払いました。園子さんは同じノートを定価の2割引きで買い、同じ金額で花子さんより4冊多く買えました。花子さんの冊数を求めます。

【📖大切な考え方】2人とも支払額は同じ3168円です。同じ金額で買うとき、冊数は1冊あたりの値段に反比例します。消費税は2人に同じようにかかるので、比を取るときは気にしなくてよい、と見抜けると計算が軽くなります。

解答：1冊あたりの値段の比は、定価：2割引き＝5：4。同じ金額で買える冊数の比はその逆比で4：5。
比の差1が4冊にあたるので、花子さんは4×4＝16冊（園子さんは20冊）。

【✅検算】冊数から逆算すると定価は3168÷1.1÷16＝180円。花子さん：180×16×1.1＝3168円、園子さん：180×0.8×20×1.1＝3168円で一致します。コンピュータの全探索でも、条件を満たす冊数は16冊だけでした。

【💡ポイントコラム】「同じ金額→個数は単価の逆比」は売買算の基本装備です。消費税や割引が重なっても、全員に同じ率でかかるものは比に影響しません。「比に効く数字」と「効かない数字」を仕分ける習慣をつけましょう。

(4) 平面図形（相似）：正方形ABCD（Aが左上、Bが左下、Cが右下、Dが右上）で、Eは辺BCの真ん中の点、Fは辺CDをCF：FD＝2：1に分ける点です。AとE、AとF、DとEを結んだとき、線分AFと線分DEの交点をPとして、三角形AEP（色のついた部分）の面積が正方形の何倍かを求めます。

【📖大切な考え方】公式所見の助言どおり「補助線を引いて相似な三角形を作る」のが本筋です。直線AFを延長して、辺BCの延長との交点Gを作ります。

【👀ここに注目】AD（上の辺）とBC（下の辺）は平行なので、平行線にはさまれた相似がそのまま使えます。

解答：正方形の1辺を1とします。直線AFと直線BCの交点をGとすると、AD平行CGより三角形ADFと三角形GCFは相似で、相似比はDF：FC＝1：2。よってCG＝AD×2＝2、BG＝1＋2＝3。
EはBCの真ん中なので、EG＝3−0.5＝2.5。
次に、AD平行EGより三角形PADと三角形PGEは相似で、相似比はAD：EG＝1：2.5＝2：5。よってDP：PE＝2：5。
三角形ADEは、底辺AD＝1・高さ1なので面積は正方形の1/2。三角形AEPは、辺DEをPで分けたうちEP側なので、
三角形AEP＝三角形ADE×EP／ED＝1/2×5/7＝5/14倍。

【✅検算】座標計算による別解でも確認しました。A(0,1)・E(0.5,0)・F(1,2/3)とすると、直線AFと直線DEの交点はP(6/7,5/7)で、三角形AEPの面積はちょうど5/14になります。得点率42.0％と大問2では差がついた設問です。

【💡ポイントコラム】正方形や平行四辺形の中の交点問題は、「平行な辺の延長と直線の交点」を作ると相似のちょうつがいが生まれます。相似比→線分比→面積比の順に翻訳する流れは、洗足に限らず頻出の型です。

大問3（小問集合・応用）　答：(1) 12　(2) 8.25cm　(3) 930個　(4) 2916m

(1) 比例・反比例：ボタンAは入力と出力が比例の関係で8を入れると2が出ます。ボタンBは反比例の関係で12を入れると3が出ます。ある数Xを入れてAを押し、出た数をBに入れると、最初のXに戻りました。Xを求めます。

【📖大切な考え方】比例は「出力＝入力×決まった数」、反比例は「入力×出力＝決まった数」です。まず2つのボタンのきまりを式にしてしまいましょう。

解答：ボタンAは8→2なので、出力＝入力÷4。ボタンBは12→3なので、入力×出力＝36。
XをAに入れるとX÷4。これをBに入れると出力は36÷(X÷4)＝144÷X。これがXと等しいので、X×X＝144。
12×12＝144だから、X＝12。

【✅検算】12→A→3、3→B→36÷3＝12で、たしかに元に戻ります。同じ数を2回かけて144になる整数を探す形に持ちこめれば、計算自体は一瞬です。

(2) 水量と体積：底面の半径8cmの円柱の容器Bに、容器A満水分の水を移すと水面の高さは1.5cmでした。さらにA3杯分の水を加え、底面の半径6cm・高さ4cmの円柱のおもりCを全部沈めたときの水面の高さを求めます。

【👀ここに注目】公式所見のとおり「水面が上がった分の体積＝おもりCの体積」です。円周率は最後まで登場させず、底面積の比だけで処理できます。

解答：A1杯分でBの水面が1.5cm上がるので、A4杯分では1.5×4＝6cm。
おもりCを沈めた分の上昇は、（Cの体積）÷（Bの底面積）。底面積の比は半径の比の2乗で、C：B＝(6×6)：(8×8)＝36：64。
上昇分＝4cm×36/64＝2.25cm。水面が2.25＋4cmより高くなるのでおもりは完全に水中にあり、この計算で問題ありません。
よって水面の高さ＝6＋2.25＝8.25cm。

【✅検算】体積で直接計算しても、水の体積＝64×6（円周率倍は省略）、おもり＝36×4＝144で、(384＋144)÷64＝8.25cmと一致します。8.25cmはおもりの高さ4cmを超えているので「全体を沈めた」という設定とも合っています。

(3) 規則性（記述式）：黒と白のボールを交互に使って正三角形を作っていきます。1番目は黒3個の三角形、2番目はその外側を白1周で囲んだもの、3番目はさらに黒1周で囲んだもの…と続きます。最も外側の正三角形に使われたボールが174個のとき、白のボールの合計を求めます。

【📖大切な考え方】公式所見のいう「外周に追加するボールの数の規則性」が核心です。n番目の図形の1辺のボールは3n−1個（2個、5個、8個…）で、n番目に追加する外周1周分は、1辺(3n−1)個の三角形のふちなので (3n−1)×3−3＝9n−6個になります。

解答：最も外側の1周が174個なので、9n−6＝174より n＝20。つまり20番目の図形で、外周は偶数番目に追加された白です。
白は2番目・4番目・…・20番目に追加された周で、その個数は 9×2−6＝12個、30個、48個、…、174個と、18個ずつ増える等差数列（10項）。
合計＝(12＋174)×10÷2＝930個。

【✅検算】コンピュータで20番目までの図形を実際に組み立てるシミュレーションを行い、白930個・黒840個・合計1770個を確認。合計は1辺59個の三角数 59×60÷2＝1770とも一致します。所見には「白と黒の合計を答えた誤り」が報告されており、問われているのが白だけである点も最後に見直したいところです。

【💡ポイントコラム】「1辺m個の三角形のふちは3m−3個」（角の3個を二重に数えない）は、方陣算の三角形版として覚えておく価値があります。周ごとの個数が等差数列になるので、和は（初項＋末項）×項数÷2で一気に求まります。

(4) 池の周りの旅人算（記述式）：池の周りを、恵子さんが分速72mでA地点から、花子さんが逆回りにB地点から同時に歩き出します。5分後に初めて出会い、その4分後に花子さんはA地点を通過。2回目の出会いから9分24秒後に、花子さんは初めてB地点に戻りました。1周の道のりを求めます。

【📖大切な考え方】出会ってから花子さんがA地点まで歩いた道のりは、恵子さんが最初の5分で歩いた道のりと同じです。ここから花子さんの速さが決まります。

【👀ここに注目】「花子さんが初めてBに戻る」＝「花子さんがちょうど1周した」瞬間です。所見でも、この9分24秒の使い方が差になったと指摘されています。

解答：恵子さんが5分で歩いた道のりは72×5＝360m。花子さんはこれを出会いから4分で歩いたので、花子さんの速さは360÷4＝分速90m。
2人合わせて分速72＋90＝162m。出会いから次の出会いまでに2人合わせて1周進むので、出会いの間かくは（1周）÷162分。
花子さんが1周する時間は（1周）÷90分。9分24秒＝9.4分だから、
（1周）÷90＝5＋（1周）÷162＋9.4、つまり（1周）÷90−（1周）÷162＝14.4分。
両辺を90と162の公倍数810倍すると、9×（1周）−5×（1周）＝14.4×810＝11664。
4×（1周）＝11664 より、1周＝2916m。

【✅検算】2916mとすると、出会いの間かくは2916÷162＝18分で2回目の出会いは5＋18＝23分後。花子さんの1周は2916÷90＝32.4分＝23分＋9.4分（9分24秒）となり、すべての条件に合います。分数計算ソフトによる方程式の別解でも2916mで一致しました。

【💡ポイントコラム】池の周りの出会いは「2人合わせて1周ごとに1回」。この言いかえを固定すると、複雑そうな円周上の問題が「合計の道のり」の一次元の問題に変わります。秒を分に直すときは、24秒＝0.4分のような小数変換をていねいに。

大問4（速さの総合）　答：(1) 5：1　(2) 10時50分　(3) 11時50分

家から図書館までの一本道に、ポストと花屋がこの順にあります。妹は10時に徒歩で家を出発し、途中の花屋で10分間買い物をして図書館へ。姉は10時20分に自転車で家を出発し、10時25分にちょうどポストの前で妹を追い越します。姉は図書館で10分過ごして家へ引き返し、買い物を終えた妹と11時ちょうどに花屋の前ですれ違いました。

【📖大切な考え方】(1)は公式所見のとおり「妹が25分かけて歩いた道のりを、姉は5分で進んだ」ことがすべてです。同じ道のりなら、速さの比はかかった時間の逆比になります。

解答(1)：10時25分の時点で、妹は25分、姉は5分歩いて同じポストにいます。速さの比は時間の逆比で、姉：妹＝25：5＝5：1。

【👀ここに注目】(2)は「11時に花屋ですれ違った」の読み取りが鍵です。妹は花屋で10分買い物をして、終えた直後の11時に姉と会っているので、妹が花屋に着いたのは10時50分。つまり妹の歩きで、家から花屋まで50分・家からポストまで25分です。

解答(2)（記述式）：妹が1分で歩く道のりを①とすると、ポストは家から㉕、花屋は家から㊿の位置、姉の速さは1分あたり⑤です。
10時25分から11時までの35分間で、姉はポスト→図書館→花屋と動き、途中で10分止まっているので、走った時間は25分。走った道のりは⑤×25＝125にあたります。
図書館を家から□とすると、（□−㉕）＋（□−㊿）＝125 なので、□×2＝200、□＝100。
姉はポストから図書館まで（100−25）÷5＝15分かかるので、図書館に着くのは10時40分。10分過ごして、出発は10時50分。

【✅検算】姉は10時50分に図書館を出て、花屋まで（100−50）÷5＝10分、ちょうど11時に花屋に着き、妹とのすれ違いと一致します。所見には「図書館の10分を加え忘れた誤り」が報告されており、この検算で防げるミスです。

解答(3)：妹は11時に花屋を出発し、残り100−50＝50を1分あたり①で歩くので50分。図書館到着は11時50分。

【✅検算】妹の行程は、歩き50分＋買い物10分＋歩き50分で合計110分＝1時間50分。10時出発なので11時50分着と一致します。方程式による別解（妹の分速を1とおいた座標計算）でも全設問一致を確認しました。

【💡ポイントコラム】登場人物が止まる問題では、「動いていた時間」と「止まっていた時間」を分けて数直線に書き出すのが定石です。この問題は妹の速さを①、道のりを丸数字でそろえると、方程式を使わずに図書館までの距離が求まります。

大問5（数の性質・既約分数）　答：(1) 5番目 1/2・差 1/20　(2) 31個　(3) 5/12

1より小さく分母が4以下の既約分数を小さい順に並べた列 1/4、1/3、1/2、2/3、3/4 を「分母4のグループ」と呼びます。このようなグループでは、隣り合う2つの分数の差は必ず分子が1になる、という性質が問題文で与えられています。

(1)：分母5のグループを書き出します。

解答：1/5、1/4、1/3、2/5、1/2、3/5、2/3、3/4、4/5 の9個。5番目は1/2。
隣り合う差は分子が1なので、差＝1÷（隣り合う分母の積）。最小の差は分母の積が最大のところで生まれ、4×5＝20が最大だから、最小の差は1/20（1/4−1/5と4/5−3/4）。

【✅検算】8か所の差をすべて計算すると 1/20、1/12、1/15、1/10、1/10、1/15、1/12、1/20 で、確かに分子はすべて1、最小は1/20です。左右対称に同じ差が並ぶのも見直しに使えます。

(2)：分母10のグループの分数の個数を求めます。

【📖大切な考え方】公式所見のとおり、書き出すのではなく「分母を1つ増やすごとに何個追加されるか」を数えます。分母Nで新しく加わるのは、分子がNと1以外に公約数を持たない分数だけです。

解答：分母2で1個（1/2）、分母3で2個、分母4で2個（1/4、3/4）、分母5で4個、分母6で2個（1/6、5/6）、分母7で6個、分母8で4個、分母9で6個、分母10で4個（1/10、3/10、7/10、9/10）。
合計 1＋2＋2＋4＋2＋6＋4＋6＋4＝31個。

【✅検算】コンピュータで分母10以下の既約分数をすべて列挙して数え、31個を確認しました。「約分できる分数を二重に数えない」ことがすべてです。

(3)（記述式）：あるグループでは、2/5と3/7の間に1つだけ分数が入ります。この分数を求めます。

【👀ここに注目】問題文で与えられた「隣り合う差は分子が1」という性質を、逆向きに使う設問です。入る分数を◯/□とすると、2/5とも3/7とも隣り合うことになります。

解答：3/7−2/5＝15/35−14/35＝1/35。
間に入る分数を◯/□とすると、隣り合う差の性質から、◯/□−2/5＝1/(5×□)、3/7−◯/□＝1/(7×□) と、どちらも分子1の分数になります。
2つを足すと 1/35＝1/(5×□)＋1/(7×□)＝（7＋5）÷(35×□)＝12/(35×□)。
よって35×□＝35×12 となり、□＝12。
◯/12−2/5＝1/60 より ◯/12＝24/60＋1/60＝25/60＝5/12。答えは5/12。

【✅検算】小数に直すと 2/5＝0.4、5/12＝0.41666…、3/7＝0.42857…の順で、5/12は確かに2つの間にあり、既約分数です。さらにコンピュータで分母12までの既約分数を全列挙し、2/5と3/7の間にあるのが5/12ただ1つであることも確認しました。分母11以下では間に入る分数が存在しないため、「1つだけ入る」最初のグループは分母12のグループです。公式所見には、0.41＝41/100や通分した29/70を答えるなど「最小性を確認していない誤答」が紹介されており、得点率5.2％の難しさはこの詰めの部分にあったと考えられます。

【💡ポイントコラム】実は、隣り合う2つの分数の間に最初に割りこんでくるのは「分子どうし・分母どうしを足した分数」（2/5と3/7なら(2＋3)/(5＋7)＝5/12）であることが知られています。この列はフェアリー数列と呼ばれる有名な題材で、問題文の「差の分子は必ず1」もその性質の一つです。誘導の性質を素直に式にすれば、知識がなくても答えにたどり着けるように作られています。

▶ 関連：2022年度｜洗足学園 算数過去問一覧｜過去問解説・数学問題集