洗足学園中学校 2022年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

洗足学園中学校 2022年度 第1回 算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み）。問題は洗足学園中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算）　答：(1) 66と7/9　(2) 29/32

四則混合の計算と、小数・分数まじりの計算の2問です。(2)は0.875や0.025など、分数に直せる小数の扱いがポイントになります。

【📖大切な考え方】小数と分数がまじった計算は、「分数にそろえる」のが原則です。0.875＝7/8、0.025＝1/40 のような変換は、覚えておくと計算が一気に軽くなります。公式所見でも「仮分数と帯分数の使い分け」が助言されています。

【👀ここに注目】(1)は割り算が連続する「16÷24÷3」の部分だけ分数で処理すれば、残りは整数の足し引きです。

解答：
(1) 16÷24÷3＝16/72＝2/9。3×9＝27。よって 46−2/9＋27−6＝67−2/9＝66と7/9。
(2) かっこの中：2と2/5−1.6＝2.4−1.6＝0.8。0.025÷0.8＝1/40×5/4＝1/32。
1/6÷2と2/3＝1/6×3/8＝1/16。
0.875＝7/8＝28/32 なので、28/32−1/32＋2/32＝29/32。

【✅検算】分数計算ソフトで厳密に計算し、(1)601/9＝66と7/9、(2)29/32を確認。公式解答例とも一致します。

大問2（小問集合・標準）　答：(1) 75分　(2) 1000円　(3) 6440cm²　(4) ア6・イ1

(1) 縮尺と速さ：縮尺2万5千分の1の地図上で20cmの道のりを、時速4kmで歩く時間を求めます。

【📖大切な考え方】縮尺の問題は「実際の長さに直してから単位をそろえる」の一本道です。cm→km の単位換算（10万cm＝1km）を落ち着いて処理します。

解答：実際の道のり＝20cm×25000＝500000cm＝5km。時速4kmで歩くと 5÷4＝1.25時間＝75分。

【✅検算】75分＝1.25時間×時速4km＝5km、5km＝地図上20cmで縮尺と一致。所見では「75分を7.5分と答える誤り」が報告されており、単位換算の最後の一歩が分かれ目です。

(2) お金のやり取り：A・B・Cの3人が順にお金をわたし（AがBに500円、BがCに300円、CがAに450円）、3人の金額が同じになりました。Aがはじめ900円のとき、Cのはじめの金額を求めます。

【👀ここに注目】やり取りをしても3人の合計は変わりません。まず「同じになった金額」を確定させるのが出発点です（所見でも同じ方針が示されています）。

解答：Aの最終額＝900−500＋450＝850円。3人とも850円になったので、Cは最後に850円。
Cのやり取りは「300円もらって450円わたした」ので、はじめは 850＋450−300＝1000円。

【✅検算】C＝1000円から順にたどると、C：1000＋300−450＝850円。B＝650円とすると650＋500−300＝850円。3人とも850円にそろい、合計2550円も一定のままです。

(3) 紙の貼り合わせ：縦15cm・横18cmの紙を同じ向きにのりで貼り合わせ、縦40cm・横200cmの長方形を最少枚数で作るとき、紙が重なっていない部分の面積の合計を求めます。

【📖大切な考え方】まず枚数を確定します。縦は15×3＝45≧40で3枚（重なり合計5cm）、横は18×12＝216≧200で12枚（重なり合計16cm）。「はみ出た分の合計＝重なりの合計」と読みかえるのがコツです。

解答：紙は 3×12＝36枚。重なりは、横に走る帯（高さ合計5cm×幅200cm＝1000cm²）と、縦に走る帯（幅合計16cm×高さ40cm＝640cm²）。ただし帯どうしの交差部分 5×16＝80cm² は2回数えているので、重なりの面積＝1000＋640−80＝1560cm²。
よって重なっていない部分＝40×200−1560＝8000−1560＝6440cm²。

【✅検算】コンピュータで1cm方眼のマス目に36枚の紙を実際に並べるシミュレーションを行い、ちょうど1枚だけでおおわれた面積が6440cm²になることを確認しました（重なりの割りふり方を変えても結果は同じです）。

【💡ポイントコラム】「帯の面積の和から交差部分を引く」のは、ベン図の考え方（重なりの二重カウント除去）そのものです。貼り合わせ・ぬりつぶし系の問題では、縦の帯と横の帯を別々に集計してから交差を引く、という流れを型として持っておくと安定します。

(4) 動く2つの長方形：垂直に交わる2直線に沿って、長方形B（横50cm）が右へ、長方形A（縦50cm・横20cm）が上へ同時に動き出します。Bの先頭は交差点の手前50cm、Aの先頭は交差点の手前40cmの位置から出発し、Aの速さは毎秒2cm。AとBが重ならないためのBの速さの範囲（毎秒アcmより速いか、毎秒イcmよりおそい）を求めます。

【📖大切な考え方】「重なる可能性があるのは、2つの通り道が交差する長方形の部分だけ」です。それぞれが交差ゾーンに「いる時間帯」を求め、時間帯がぶつからない条件に読みかえます。

解答：Aが交差ゾーン（Bの通り道の幅10cmの帯）に入るのは、先頭が40cm進んだ 40÷2＝20秒後。抜け切るのは、しんがりが 40＋50＋10＝100cm進んだ 100÷2＝50秒後。つまりAは20秒後から50秒後までゾーンにいます。
Bの速さを毎秒□cmとすると、Bがゾーン（Aの通り道の幅20cmの部分）に入るのは 50÷□秒後、抜け切るのは（50＋50＋20）÷□＝120÷□秒後。
・BがAより先に抜け切る場合：120÷□≦20 → □≧6。
・BがAが抜けてから入る場合：50÷□≧50 → □≦1。
よってア＝6、イ＝1。

【✅検算】速さを0.5〜20cm/秒まで細かく変えて2つの長方形の位置を計算するシミュレーションでも、重ならないのは「毎秒6cm以上または毎秒1cm以下」のときだけでした。所見の「Bが速い場合と遅い場合ですれ違い方を想像する」という方針とも一致します。

大問3（小問集合・応用）　答：(1) 前からD→C→A→B　(2) 182.5cm²　(3) A4個・B5個・C7個　(4) 12歳

(1) 条件整理（帽子と発言）：4人のうち1人だけ赤い帽子で、縦1列に並んだA〜Dの発言（Aのすぐ後ろは赤／DはBより前／Cは自分が白で自分より前は全員白／Dのすぐ後ろは白）がすべて正しいときの並び順を求めます。

【👀ここに注目】Aの発言から「Aのすぐ後ろの人」が赤。Cの発言は「Cより前に人がいる」ことも含んでいます（所見でも強調されているポイントです）。ここからCは先頭ではなく、かつCより前は全員白と分かります。

解答：Aの発言から、赤はAのすぐ後ろの人（Aは最後尾ではない）。Cの発言から、Cは白で、Cより前も全員白。もし赤の人がCより前にいると矛盾するので、赤はCより後ろにいます。
Dの発言から、Dのすぐ後ろは白。BはDより後ろ（Bの発言）です。
赤の候補をしぼると、赤＝B（最後尾）とし、並びを前から D→C→A→B とすると、①Aのすぐ後ろ＝B（赤）○ ②DはBより前○ ③Cより前はDだけで白○ ④Dのすぐ後ろ＝C（白）○ とすべて成立します。
よって前からD、C、A、B。

【✅検算】4人の並び24通り×赤の人4通り＝96通りをコンピュータで全探索し、「Cより前に人がいる」条件のもとで成立するのはこの1通りだけであることを確認しました。

(2) 八角形と四角形の面積：正方形から合同な直角三角形4つを切り取った八角形（面積265cm²、もとの正方形の辺の残り4辺はいずれも10cm）について、10cmでない4辺それぞれの真ん中の点を結んだ四角形の面積を求めます。

【📖大切な考え方】切り口の辺の「真ん中の点」を結んでいるのがすべての鍵です。四角形からはみ出した八角形の4つの部分を、四角形の辺を折り目にして内側へ折り返すと、真ん中の点を中心に対称なので八角形の中へぴったり収まります（所見が示す方針です）。

【👀ここに注目】折り返した4つの部分は、四角形の内部を重なりなくおおい、中央に「1辺10cmの正方形」のすき間だけが残ります。折り返しで10cmの辺どうしが中央に集まってくるイメージです。

解答：四角形の面積を□cm²とすると、はみ出し部分の面積＝265−□。
折り返すと、はみ出し部分は四角形の内部から中央の10×10＝100cm²を除いた部分をちょうどおおうので、265−□＝□−100。
よって □×2＝365、□＝182.5cm²。

【✅検算】切り取る直角三角形の形をいろいろ変えて（面積265cm²・残り4辺10cmを満たす複数のパターンで）座標計算を行ったところ、四角形の面積はどの形でも182.5cm²になりました。折り返した部分が重なりなく収まり、すき間がちょうど100cm²になることも数値的に確認しています。得点率5.0％の難問ですが、答えが形によらず一定という美しい問題です。

【💡ポイントコラム】「真ん中の点で折り返す（点対称に移す）」は、面積の等しい部分を作り出す受験算数の強力な道具です。中点が出てきたら、点対称・折り返しで図形を組みかえられないかを疑ってみましょう。この問題は（八角形＋中央の正方形）÷2という一つの式に集約されます。

(3) 整数条件のある仕事算：500個作る仕事を、AとBの2人だと56日目に、AとCだと46日目に、BとCだと42日目に終えます。1日に作る個数がそれぞれ一定の整数のとき、A・B・Cの1日あたりの個数を求めます（記述式）。

【📖大切な考え方】「56日目に終了」は「55日では終わらず、56日あれば終わる」という意味です。2人の合計個数を□とすると、55×□＜500≦56×□ のはさみうちで□の範囲がしぼれます。所見にある通り、個数が「整数」であることを使うのが核心です。

解答：A＋B：55×□＜500≦56×□ から 500÷56＝8.9…、500÷55＝9.09… なので □＝9個。
A＋C：45×□＜500≦46×□ から 500÷46＝10.8…、500÷45＝11.1… なので □＝11個。
B＋C：41×□＜500≦42×□ から 500÷42＝11.9…、500÷41＝12.1… なので □＝12個。
3つを合計すると（A＋B＋C）×2＝9＋11＋12＝32 → A＋B＋C＝16個。
よって C＝16−9＝7個、B＝16−11＝5個、A＝16−12＝4個。

【✅検算】A4・B5・C7とすると、A＋B＝9個：55日で495個→56日目に終了○。A＋C＝11個：45日で495個→46日目に終了○。B＋C＝12個：41日で492個→42日目に終了○。コンピュータの全探索でも、条件を満たす整数の組はこの1組だけでした。

(4) 年齢算：祖母・母・娘の年齢の合計は現在120歳。3年後に母と娘の年齢の比は3：1、30年前は祖母と母の比が3：1でした。現在の娘の年齢を求めます（記述式）。

【👀ここに注目】比が2つの「別の時点」で与えられているので、どちらかの時点の比を①とおいて、全員の年齢を同じ「①」で表すのが定石です。所見では「30年前を30年後と読み違える」誤りが報告されており、時点の整理が第一関門です。

解答：3年後の娘を①とすると、3年後の母は③。
現在：娘＝①−3歳、母＝③−3歳。30年前の母＝③−33歳。
30年前の祖母は母の3倍なので ⑨−99歳。現在の祖母＝⑨−99＋30＝⑨−69歳。
現在の合計：（①−3）＋（③−3）＋（⑨−69）＝⑬−75＝120歳 → ⑬＝195歳 → ①＝15歳。
よって現在の娘＝15−3＝12歳。

【✅検算】娘12歳・母42歳・祖母66歳とすると、合計120歳○。3年後は母45歳・娘15歳で3：1○。30年前は祖母36歳・母12歳で3：1○。全探索でも条件を満たす組はこの1組だけです。

【💡ポイントコラム】年齢算は「差が一定・比は時点ごと」が原則です。複数時点の比が出たら、1つの時点の比を①とおき、他の時点へは「＋◯歳・−◯歳」の平行移動でつなぐ——この流れを記述式の答案にそのまま書けば、考え方の得点も狙えます。

大問4（場合の数）　答：(1) 30通り　(2) 50通り　(3) 10通り

箱A（1〜5のカード）・箱B（1・3・5）・箱C（0〜9）から1枚ずつ取り出し、百の位・十の位・一の位として3桁の整数Xを作ります。倍数になる取り出し方を数えます。

【📖大切な考え方】4の倍数は「下2桁が4の倍数」、3の倍数は「各位の和が3の倍数」。桁ごとの独立な選び方に判定条件を割り当てて、積の法則で数えます（所見でも「100は4の倍数なので下2桁で判定」と示されています）。

解答：
(1) 百の位は4の倍数判定に関係しないので5通り。十の位が1・3・5のどの場合も、下2桁が4の倍数になる一の位は2通りずつ（12・16、32・36、52・56）。よって 5×3×2＝30通り。
(2) 3の倍数は「百＋十＋一の和」が3の倍数になるとき。百と十の組（5×3＝15通り）それぞれについて、一の位0〜9のうち条件に合うのは、和の余りが0なら4通り（0・3・6・9）、余りが1か2なら3通り。和が3の倍数になる百・十の組は（2,1）（5,1）（3,3）（1,5）（4,5）の5組なので、5×4＋10×3＝50通り。
(3) 12の倍数＝4の倍数かつ3の倍数。(1)より一の位は2か6。一の位が2のとき百＋十の和は「3で割って1余る」5組、一の位が6のとき「3で割り切れる」5組。よって 5＋5＝10通り。

【✅検算】5×3×10＝150通りすべてをコンピュータで全数チェックし、4の倍数30個・3の倍数50個・12の倍数10個を確認しました。所見にある「一の位の0の数え忘れ」「十の位に2を使ってしまう誤り」も、箱Bのカードが1・3・5だけである点に注意すれば防げます。

【💡ポイントコラム】倍数の場合の数は「位ごとに独立化」できると計算が激減します。3の倍数系は「余り（0・1・2）で分類して個数を数える」、4の倍数系は「下2桁だけ調べる」。この2つの型で、洗足の数え上げはかなりの範囲をカバーできます。

大問5（流水算）　答：(1) 2：7　(2) 21：16　(3) 38と22/31分

川下のA地点から川上のB地点へボートで向かいます。メインエンジンのみの予定で出発し、30分後に故障して25分間停止（その間は川に流されます）、修理後に再びメインエンジンで進むと予定より35分おくれました。故障時にすぐサブエンジンに切りかえていれば25分おくれ、はじめからサブエンジンのみなら40分おくれです。

【📖大切な考え方】(1)の核心は「35分のおくれの内訳」です。おくれ＝止まっていた25分＋流された分を取り返す時間。所見の言う通り、停止中もボートは川下へ流され続けている、という設定の読み取りがすべての出発点になります。

【👀ここに注目】(2)は「おくれの時間は、サブエンジンで進んだ道のりに比例する」ことに気づくと一気に開けます。途中切りかえのおくれ25分と全区間サブのおくれ40分の比が、道のりの比そのものです。

解答：
(1) 35分のおくれのうち、停止していた25分を除いた10分が「流された距離を上りの速さで取り返した時間」です。25分間に流される距離＝上りの速さで10分で進む距離なので、（流れの速さ）：（メインの上りの速さ）＝10：25＝2：5。
静水時の速さ＝上りの速さ＋流れの速さ＝5＋2＝7。よって（流れ）：（メイン静水時）＝2：7。
(2) おくれはサブで走った道のりに比例するので、（故障地点からBまで）：（AからBまで）＝25：40＝5：8。つまり最初の30分でメインは全体の 3/8 を進み、予定の所要時間は 30×8/3＝80分。
流れ2・メイン静水7とすると上りは5。全体の道のり＝5×80＝400。全区間サブなら 80＋40＝120分かかるので、サブの上りの速さ＝400÷120＝10/3。サブの静水時の速さ＝10/3＋2＝16/3。
よって（メイン静水時）：（サブ静水時）＝7：16/3＝21：16。
(3) 両エンジン使用時の静水時の速さは 7＋16/3＝37/3。上りの速さ＝37/3−2＝31/3。
所要時間＝400÷31/3＝1200/31＝38と22/31分。

【✅検算】流れ2・メイン静水7・サブ静水16/3を最初の設定に戻して分数計算ソフトで検証すると、①メイン30分→25分停止（流され）→メイン再開の合計が予定80分＋35分、②故障時サブ切りかえが予定＋25分、③全区間サブが予定＋40分と、3つの条件がすべて成立します。所見が注意する「(1)の静水時の比をそのまま上りの比として使う」誤りもこの検算で防げます。

【💡ポイントコラム】流水算の合成では、足してよいのは「静水時の速さ（エンジンの力）」で、上りの速さどうしを足すと流れを二重に引いたことになり誤りです（所見でも名指しで注意されています）。「静水時で合成→最後に流れを1回だけ引く」を合言葉にしましょう。得点率0.9％の(3)も、(2)までの整理ができていれば計算は数行です。

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