洗足学園中学校 2023年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

洗足学園中学校 2023年度 第1回 算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み）。問題は洗足学園中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算）　答：(1) 7　(2) 14/25（0.56）

かっこが重なった整数の四則計算と、空らんを求める逆算の2問です。(2)は帯分数・小数まじりで、□を含むかっこ全体から順にほどきます。

【📖大切な考え方】逆算は「外側の計算から1枚ずつかわをむく」のが定石です。□に触るのは最後の最後。先に□のまわりだけ動かそうとすると符号や順序を崩しがちです。

【👀ここに注目】(2)は「÷3.6×1/2」で全体が1になるので、大きいかっこの中身は 1×2×3.6＝7.2 と一発で確定します。

解答：
(1) 内側から：50−2＝48、48×13＝624。4×6＋2＝26、3×26＝78。624−78＝546、546÷39＝14。最後に 14−7＝7。
(2) 大きいかっこ＝7.2。一方、2と2/5＝2.4、1.2×4と2/3＝1.2×14/3＝5.6 なので、2.4＋5.6−（□÷0.7）＝7.2。
よって □÷0.7＝0.8、□＝0.8×0.7＝0.56（14/25）。

【✅検算】□＝0.56を戻すと 0.56÷0.7＝0.8、(2.4＋5.6−0.8)÷3.6×1/2＝7.2÷7.2＝1 で一致します。(1)も分配せず電卓式に順算して7を再確認しました。

大問2（小問集合・標準）　答：(1) 7　(2) 2：7　(3) 65円　(4) 11歳

(1) 一の位の規則性：2023を2023回かけたときの一の位を求めます。

【📖大切な考え方】一の位だけを追うときは、一の位どうしのかけ算だけで決まります。3をかけ続けると 3→9→7→1→3→… と4個の周期になります。

解答：2023÷4＝505あまり3。周期の3番目なので一の位は7。

【✅検算】コンピュータの剰余計算でも2023の2023乗の一の位は7でした。所見では「確実に得点してほしいが正答率は想定より低かった」とされており、あまりの処理まで丁寧に行いたい問題です。

(2) 折り返しの相似：正方形ABCD（Bが左下、Cが右下、Dが右上）の折り紙を、辺が点Aに重なるように折った図で、辺AB上の折り目の端をG、辺DC上の折り目の端をFとすると、AG＝10cm、折り返された角（もとの頂点B）をB’として AB’＝6cm、GB’＝8cmが与えられています。DF：FCを求めます。

【👀ここに注目】6：8：10＝3：4：5。折り返しでは長さと角度が変わらないので、GB’＝GB＝8cm。これだけで正方形の1辺が 10＋8＝18cm と決まります。

解答：もとの頂点Bの直角は折っても直角のまま（角GB’＝90°）で、折り返された辺B’C’がちょうどAを通ります。
・三角形AGB’は6・8・10の直角三角形（直角はB’）。1辺＝AG＋GB＝18cm。
・A上の角に注目すると、直線B’C’上で「角GAB’＋90°＋角EAC’＝180°」（Eは辺AD上で折り返した辺C’Fと交わる点）となり、角EAC’＝角AGB’。よって三角形AC’Eは三角形GB’Aと相似（直角はC’、もとの頂点Cの直角）。
・AC’＝B’C’−AB’＝18−6＝12cm。相似比から C’E＝12×3/4＝9cm、AE＝12×5/4＝15cm。したがって ED＝18−15＝3cm。
・三角形EDFも同じ角を持つ3：4：5の直角三角形（対頂角と直角D）なので、DF＝3×4/3＝4cm。
FC＝18−4＝14cm だから DF：FC＝4：14＝2：7。

【✅検算】座標計算（A原点、1辺18）でB'(−4.8, 3.6)、C'(9.6, −7.2)、F(18, 4)となり、FC’＝FC＝14cmで折り返しの条件をすべて満たします。公式解答例の2：7と一致します。

【💡ポイントコラム】折り返し問題は「等しい長さ」「等しい角」「3：4：5などの直角三角形の連鎖」の3点セットで解けることがほとんどです。洗足では相似が2つ3つと連なる形で出るので、見つけた直角に印をつけながら、同じ形の三角形を順に拾っていく練習が効きます。

(3) 売買（割引の処理）：アメ7個とチョコ2個で410円、アメ20個とチョコ3個で915円。アメは10個以上買うと1個あたり1割引きになります。チョコ1個の値段を求めます。

【📖大切な考え方】20個のアメは全部1割引きなので、「定価のアメ20×0.9＝18個分」と読みかえられます。割引きを個数の換算に直すと、ふつうの消去算になります。

解答：2つ目の買い物は「アメ18個分＋チョコ3個＝915円」。3でわると「アメ6個分＋チョコ1個＝305円」。
これを2倍すると「アメ12個分＋チョコ2個＝610円」。1つ目の「アメ7個＋チョコ2個＝410円」との差から、アメ5個分＝200円、アメ1個＝40円。
チョコ＝305−40×6＝65円。

【✅検算】アメ40円・チョコ65円とすると、7×40＋2×65＝410円、20×36＋3×65＝720＋195＝915円で両方一致します（36円は40円の1割引き）。

(4) 年齢算：父・母・3人姉妹の5人家族。現在の年齢の合計は110歳、父は母より2歳年下、姉は双子で、姉と妹は3歳差。5年後に父母の合計が子ども3人の合計の2倍になります。現在の姉の年齢を求めます。

【👀ここに注目】5年後の全員の合計は 110＋5×5＝135歳。これが「子どもの合計×3」にあたるので、5年後の子どもの合計は45歳と即決できます。

解答：5年後：子ども3人の合計＝135÷3＝45歳、父母の合計＝90歳。
現在の子ども3人の合計＝45−15＝30歳。双子の姉2人を□歳とすると、妹は□−3歳なので、□×2＋□−3＝30、□×3＝33、□＝11歳。

【✅検算】姉11・11、妹8で合計30歳、父母の合計80歳（例：父39・母41）、総計110歳。5年後は子ども45歳・父母90歳でちょうど2倍です。「父は母より2歳年下」は答えに影響しないダミー気味の条件で、所見でも「双子に惑わされず」処理できたかが問われています。

大問3（小問集合・応用）　答：(1) 10g　(2) 40枚　(3) 350円　(4) 109日以上126日以下

(1) 食塩水：10％の食塩水1.8kgのうち5％をこぼし、同じ重さの水を加えました。食塩を加えてもとの10％に戻すには何g必要かを求めます。

【📖大切な考え方】食塩を加えるとき、変わらないのは「水の重さ」です。10％の食塩水は水が90％なので、水の量から全体を逆算すると1本道で解けます。

解答：こぼした量＝1800×0.05＝90g。残り1710gの食塩は 1710×0.1＝171g、水は1539g。水を90g加えると全体1800g・食塩171g・水1629g。
10％に戻ったとき水は全体の90％だから、全体＝1629÷0.9＝1810g。よって加える食塩＝1810−1800＝10g。

【✅検算】(171＋10)÷1810＝181÷1810＝0.1 でちょうど10％。所見にある通り、もとの食塩180gから引き算して「もとに戻すには9g…」などとする誤りに注意が必要です（正しくは171gから出発）。

(2) 規則性（白黒カード）：1番目は黒1枚。2番目以降は、前の図を白→黒→白→…と交互の色のカードで「上と左右」から囲み、n番目はn段・横2n−1枚の長方形になります。20番目の白と黒の枚数の差を求めます。

【👀ここに注目】n番目で新しく加わるカードは 4×n−3枚（2番目5枚、3番目9枚、4番目13枚…）。「1番目と2番目」「3番目と4番目」のように隣どうしを組にすると、追加枚数の差はいつも4枚です。

解答：黒が加わるのは奇数番目（1・3・…・19番目）、白は偶数番目（2・4・…・20番目）。
（2番目の白）−（1番目の黒）＝5−1＝4枚、（4番目の白）−（3番目の黒）＝13−9＝4枚、…と、20番目までに10組できるので、差は 4×10＝40枚（白が多い）。

【✅検算】コンピュータで20番目の図を実際に作ると、白410枚・黒370枚（合計780＝20×39枚）で差は40枚。等差数列の和でも白 4×(2＋4＋…＋20)−30＝410枚と一致します。

(3) 売買と割合（バザーの募金）：ノートを仕入れ値の2割増しの売り値で販売。1日目は仕入れた冊数の8割が売れ、2日目は残りの4割を追加仕入れして合わせて75％が売れ、3日目は残り全部を売り値の1割引きで完売。日ごとの利益（売上−その日に売れた冊数分の仕入れ値）を募金し、1・2日目の合計が12625円のとき3日目の募金額を求めます（記述式）。

【📖大切な考え方】はじめの冊数を100冊とおくと、売れた冊数が「1日目80冊・2日目21冊・3日目7冊」ときれいな整数で追えます。利益は1冊あたり「2割＝仕入れ値×0.2」なので、冊数の整理がすべてです。

解答：はじめ100冊とすると、1日目に80冊売れて残り20冊。2日目は 20×0.4＝8冊 を追加して28冊、その75％＝21冊が売れて残り7冊。
仕入れ値を1冊□円とすると、1・2日目の利益＝(80＋21)×0.2×□＝20.2×□＝12625円 → □＝625円。
3日目は売り値750円の1割引き＝675円で7冊。1冊の利益は 675−625＝50円 なので、募金額＝50×7＝350円。

【✅検算】はじめを200冊・500冊などに変えても、売れた冊数の比80：21：7は変わらず、3日目の募金額は必ず350円になります（コンピュータで複数の冊数を代入して確認）。12625円の内訳も1日目10000円＋2日目2625円で整合します。

(4) 仕事算（はばのある答え）：Aが1人ですると、ちょうど36日かかる仕事があります。AとBの2人では「27日では少し残り、28日目に余裕をもって終わる」とき、B1人では何日以上何日以下かかるかを求めます（記述式）。

【📖大切な考え方】「27日では終わらない」「28日目の途中で終わる」を、2人の1日あたりの仕事量のはさみうちに直します。ちょうどの日数ではなく範囲で答えるのがこの問題の核心です。

解答：全体を1とすると、2人の1日あたりの仕事量は 1/28 より大きく 1/27 より小さい範囲にあります。Aの1日あたりは1/36なので、Bの1日あたりは
1/28−1/36＝1/126 より大きく、1/27−1/36＝1/108 より小さい。
よってB1人にかかる時間は108日より長く126日より短い範囲となり、仕事が終わる日で数えると109日以上126日以下。

【✅検算】通分（252日分・108日分）でも 2/252＜Bの1日量＜1/108 となり同じ範囲です。たとえばBの時間が108.5日なら109日目に、125.9日なら126日目に終わり、両端が答えに含まれることも確かめられます。

【💡ポイントコラム】「〜日以上〜日以下」型は、不等号の向きと「日数＝仕事量の逆数で大小が逆転する」ことの2か所でミスが集中します。逆数を取ったら不等号をひっくり返す——この1行を答案に書いておくと、記述の部分点にもつながります。

大問4（速さとグラフ）　答：(1) 160　(2) 3：5　(3) 11：13

AさんはX町から、BさんはAさんの1時間後にY町から出発し、それぞれ山頂で30分休んで反対の町へ向かいます。2人とも上りは下りの3/4倍の速さで、グラフには2人の間の道のり（山道に沿った距離）が示され、時間軸に130・ア・190・235の目盛りがあります。

【📖大切な考え方】グラフの折れ目は「誰かが出発・到着・休けいの始めか終わり」の瞬間です。傾きがいちばん急な区間（190〜235）は2人とも下っている時間帯、そのあと緩むのはBさんが先にX町へ着いたから——と、折れ目に「人の動き」を割り当てるのが出発点です。

【👀ここに注目】ア〜190の区間はグラフの増え方がゆるやかで、190で急になります。これは「Bさんが山頂で休み、190に下り始めた」ことを意味します。休けいは30分ちょうどです。

解答：
(1) 190はBさんが休けいを終えて下り始めた時刻なので、山頂到着は ア＝190−30＝160。
(2) 同様に、130はAさんが休けいを終えて下り始めた時刻（山頂到着は100分）。Aさんは上り（X側の坂）を100分で登りました。一方Bさんは190〜235の45分で同じX側の坂を下ったので、Bさんの上りの速さは下りの3/4倍＝「同じ坂を60分で登る速さ」に相当します。同じ道のりにかかる時間の比が100：60だから、上りの速さの比は逆比で 60：100＝3：5。
(3) Bさんは60分から160分までの100分でY側の坂を登ったので、130分の時点では7/10まで登っており、残りは3/10。X側の坂を300とすると、Aさんの上りは毎分3・下りは毎分4、Bさんの上りは毎分5（3：5より）で、Y側の坂は 5×100＝500。130分時点の2人の間は 500×3/10＝150。
130分からAさんは下り（毎分4）、Bさんは上り（毎分5）で向かい合って進むので、150÷9＝50/3分後にすれ違います。その間にAさんが山頂から進んだ道のりは 4×50/3＝200/3。
XからZ＝300＋200/3＝1100/3、ZからY＝500−200/3＝1300/3。よって 11：13。

【✅検算】この設定で全体をシミュレーションすると、間の道のりは0分で800、60分で620、100分で300、130分で150、146分40秒で0、160分で120、190分で240、235分で720、255分（Aの到着）で800となり、グラフの形（最初と最後が同じ高さ、190〜235が最も急、235で緩む）と完全に一致します。Bの到着235分がAの到着255分より早い点も問題文の条件通りです。

【💡ポイントコラム】「2人の間の道のり」のグラフは、V字の底（0になる瞬間）＝すれ違いです。本問ではV字の底が130とアの間にあることから、「Aは下り始めており、Bはまだ登っている」＝坂のY側ですれ違ったと判断できます。グラフの底の位置は、単なる数値以上の情報を運んでいます。

大問5（立体の切断）　答：(1) 36cm³　(2) 29.5cm³　(3) 6.5cm³

高さの異なる3つの直方体あ（高さ3cm）・い（2cm）・う（1cm）を重ねた、たて6cm・横9cm・高さ6cmの直方体があります。上面が長方形ABCD（BC＝9cm）、真下の底面がEFGH（Aの下がE、Bの下がF、Cの下がG、Dの下がH、HG＝6cm）です。表面上を動く2点P・Qを結ぶ直線で切っていきます。

【📖大切な考え方】点を動かしながら直線で切ると、切り口は「動いた線分が掃いた面」になります。①と②をまとめて眺めると、通った線分はすべて「辺ABと辺HGを含む1枚の平面」の上に乗っています。動きを1本ずつ追うより、掃いた面の正体を先に見抜くのが近道です。

【👀ここに注目】A・B・G・Hは同一平面上にあります（ABとHGは平行で長さも等しいため）。だから(1)の切断は「平面ABGHでスパッと1回切った」のと同じです。

解答：
(1) 側面ADHE（横9cm・高さ6cm）を正面に見ると、平面ABGHは対角線AH（Aが上、Hが下）の直線に見えます。高さ2cm進むごとに横へ3cmずれる直線です。直方体い（下から3cm〜5cmの帯）では、切り口の線は下端で左端から4.5cm、上端で1.5cmの位置を通ります。
面ABFE側の立体えは、正面から見ると「上底1.5cm・下底4.5cm・高さ2cmの台形」で、奥行きが6cm。体積＝(1.5＋4.5)×2÷2×6＝36cm³。
(2) ③はすでに切った平面ABGHの上を再びなぞるだけなので、新しい切り口は④だけです。④でPがB→F（QはHのまま）と動くと、線分PQは「三角形BFH」を掃きます。この三角形で立体えが2つに分かれます。
切り落とされる側（面BCGF寄り）は、三角錐B-FGH（底面：直角三角形FGH＝9×6÷2＝27cm²、高さBF＝6cm、体積54cm³）のうち、直方体いの帯にある部分です。三角錐は頂点Bに向かって相似に細くなるので、上から3cmの位置での相似比は3/6＝1/2、5cmの位置では1/6。
帯の部分＝54×(1/2の3乗)−54×(1/6の3乗)＝54×1/8−54×1/216＝6.75−0.25＝6.5cm³。
よって立体お＝36−6.5＝29.5cm³。
(3) PがF→Aと動くと、線分PQ（QはH）は「三角形AFH」を掃きます。面ADHE側の立体かは、三角錐A-EFH（底面：直角三角形EFH＝9×6÷2＝27cm²、高さAE＝6cm、体積54cm³）のうち、直方体いの帯にある部分そのものです。
(2)と同じ相似のスライスで、54×1/8−54×1/216＝6.5cm³。

【✅検算】座標を使った積分計算でも(1)36、(2)29.5、(3)6.5となり、3つとも公式解答例と一致します。(1)では「直方体全体を平面ABGHで半分にした162cm³」が所見でも多かった誤答として挙げられており、「切られるのは直方体いだけ」という設問の読み取りが分かれ目です。

【💡ポイントコラム】錐体を高さ方向にスライスした「帯」の体積は、（全体）×（相似比の3乗の差）で一撃です。本問の6.75−0.25＝6.5のように、洗足の立体は「大きな錐から小さな錐を引く」構造が繰り返し登場します。1/8や1/27などの立方数の分数に慣れておくと計算が軽くなります。

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