洗足学園中学校 2024年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

洗足学園中学校 2024年度 第1回 算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み）。問題は洗足学園中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算）　答：(1) 13　(2) 5と2/5（5.4）

帯分数・小数まじりの四則計算と、空らんを求める逆算の2問です。(1)には3.14のかけ算とわり算が同時に登場します。

【📖大切な考え方】3.14が「かける」と「わる」の両方に見えたら、途中で3.14が消える仕掛けを疑うのが定石です。3.14を先にかけて筆算を始めると時間も精度も失います。

【👀ここに注目】(1)のまん中のかっこは 2.8＋15＋1.04＝18.84＝3.14×6。ここに気づくと計算がほどけます。

解答：
(1) 左のかっこ：2と2/3−0.5＝8/3−1/2＝13/6。まん中：2.8＋15＋1.04＝18.84＝3.14×6。
よって 13/6×3.14×6÷3.14＝13/6×6＝13。
(2) 0.75−1/28＝21/28−1/28＝20/28＝5/7、0.84×5/7＝0.6＝3/5。
1.02−5/6＝51/50−5/6＝153/150−125/150＝28/150＝14/75 だから、14÷14/75＝75。
式は「3/5÷□×9＋75＝76」となるので、3/5÷□×9＝1。よって □＝3/5×9＝27/5＝5と2/5（5.4）。

【✅検算】□＝5.4を元の式に戻すと 0.6÷5.4×9＝1、1＋75＝76 で一致します。(1)も小数計算（2.1666…×18.84÷3.14＝13.0）で確認できました。

大問2（小問集合・標準）　答：(1) 4000円　(2) (13, 65)(21, 63)　(3) 8：9　(4) 4：3

(1) 相当算：3つの店で順に「残りの1/2より200円多く」「残りの1/3より400円多く」「残りの1/4より600円多く」使ったらお金がちょうどなくなった、という設定です。

【📖大切な考え方】「〜より□円多く使って0になった」型は、最後の店から順に戻すのが定石です。前から式を立てようとすると分数が重なって混乱します。

解答：3番目の店の直前の所持金は、その1/4＋600円でちょうど0になったので、残りの3/4が600円。よって 600÷3/4＝800円。
2番目の店の直前は、2/3にあたる金額が 800＋400＝1200円 だから 1200÷2/3＝1800円。
最初は、1/2にあたる金額が 1800＋200＝2000円 だから 4000円。

【✅検算】4000円→2200円使って残り1800円→1000円使って残り800円→800円使って残り0円。すべて条件どおりです。

(2) 整数（倍数さがし）：1〜7のカード7枚から4枚選んで2桁の奇数を2つ作り、大きい方が小さい方の倍数になる組をすべて求める問題です。

【👀ここに注目】奇数×偶数＝偶数なので、かける数は3倍・5倍・7倍などの奇数倍にしぼれます。さらに使える数字は1〜7だけ・同じ数字は1回きり、という2つの条件で候補が一気に減ります。

解答：小さい方の奇数を小さい順に調べます。13×3＝39（3が重複）、13×5＝65 → (13, 65) は数字1,3,6,5がすべて異なり合格。13×7＝91（1が重複）。15×3＝45（5が重複）。17×3＝51（1が重複・ここが落とし穴）。21×3＝63 → (21, 63) は2,1,6,3で合格。23×3＝69（9は使えない）。25×3＝75（5が重複）。27×3＝81（8は使えない）。31以上では3倍でも数字が7を超えたり重複したりして不適。よって (13, 65) と (21, 63)。

【✅検算】コンピュータで7枚から4枚並べる全通りを調べても、条件を満たす組はこの2組だけでした。公式所見でも (17, 51) が多かった誤答（1が重複）として挙げられています。

(3) 水量と底面積の比：高さが同じで底面積が異なる直方体の容器A・Bに毎分1Lずつ同時に注水し、Aが高さの半分に達した時点でAだけ毎分200mLの排水口を開けたところ、2つが同時に満水になった、という設定です。

【📖大切な考え方】高さが同じ容器では、満水までに入れた「正味の水量の比」がそのまま底面積の比になります。排水が始まってからのAの正味の増え方は 1000−200＝毎分800mL です。

解答：Aの容積の半分を4Lとおいてみます（比だけの問題なので大きさは自由）。前半4Lは毎分1Lで4分、後半4Lは毎分0.8Lで5分、合計9分。Bはこの9分間ずっと毎分1Lで注がれて同時に満水なので、Bの容積は9L。Aの容積は8Lだから、底面積の比＝容積の比＝8：9。

【✅検算】前半と後半で「同じ量を入れるのにかかる時間の比」が 1：1.25＝4：5 になることから、A全体の時間は半分×(4＋5)/4。どんな数値で試しても8：9で一致します。

(4) 相似と面積比：長方形ABCD（Aが左上、Dが右上）の辺AD上に点Eがあり、AE＝4cm、ED＝8cm。対角線ACと直線BEの交点がG、Dを通りBEに平行な直線とACの交点がF、FからADに下ろした垂線の足がHです。三角形ABGと三角形FDHの面積比を求めます。

【👀ここに注目】AE（4cm）とBC（12cm）が平行なので、ちょうちょ形の相似がGのまわりにできます。Fの位置も「平行線と相似」で対角線AC上の何倍の点かが分かります。

解答：高さABを仮に8cmとします（比は高さによらず同じです）。
・三角形AGEと三角形CGBはちょうちょ相似で、AE：CB＝4：12＝1：3。よってAG：GC＝1：3、つまりAGはACの1/4。GはBEをBから3/4進んだ点なので、GとABの間の距離は 4×3/4＝3cm。三角形ABG＝8×3÷2＝12cm²。
・GE（BEの一部）とFDは平行だから、三角形AGEと三角形AFDも相似で、AE：AD＝1：3。よってAF＝AG×3＝ACの3/4。
・FHとCDは平行（どちらもADに垂直）なので、AH：AD＝AF：AC＝3：4。AH＝12×3/4＝9cm、HD＝3cm、FH＝8×3/4＝6cm。三角形FDH＝3×6÷2＝9cm²。
よって 12：9＝4：3。

【✅検算】座標計算（A(0,0)、D(12,0)、高さを7に変えても）で G(3, 高さの1/4)、F(9, 高さの3/4) となり、面積比は常に4：3で一致しました。

【💡ポイントコラム】洗足の平面図形は「相似が2段重ね」になっていることが多いです。ちょうちょ相似（交わる2本と平行線）とピラミッド相似（共通の頂点と平行線）を1つの図の中で使い分けられるか——2024年度2(4)はまさにその練習台になります。

大問3（小問集合・応用）　答：(1) 1割引き　(2) 4：23　(3) 23分20秒後　(4) 1/4倍（0.25倍）

(1) 売買損益：原価50円の消しゴム1500個に4割の利益を見込んで定価をつけ、4割が売れ残ったので割引きして完売、利益は予定の86％だった、という設定です。

【📖大切な考え方】「予定の利益との差」に注目すると、割引きした600個だけを考えればよくなります。全体の売上を計算し直すより速く、ミスも減ります。

解答：定価＝50×1.4＝70円。予定の利益＝20円×1500個＝30000円。実際はその86％なので、減った利益＝30000×0.14＝4200円。この減少は割引きした 1500×0.4＝600個 から生じたので、1個あたり 4200÷600＝7円 安く売ったことになります。売値＝70−7＝63円。63÷70＝0.9 だから 1割引き。

【✅検算】売上＝70×900＋63×600＝63000＋37800＝100800円。仕入れ75000円を引くと利益25800円で、30000×0.86＝25800円と一致します。

(2) 立体の切断：立方体ABCD-EFGH（上面ABCD）で、辺AB上にAP：PB＝1：3の点P、辺BF上に真ん中の点Qをとり、P・Q・Gを通る平面で切ります。直線PQ上の点Rについて、三角形RQGの面積が切り口の面積の1/3になるときのPR：RQを求める問題です（得点率0.8％の最難問）。

【📖大切な考え方】切り口は「平行な面には平行な切り口の線が入る」で確定します。さらに、同じ平面上にある図形どうしの面積比は、真正面から見た影（正面図）の面積比と同じ——この2つで、立体のままでは測れない面積比が平面の計算に変わります。

方針：立方体の1辺を4cmとすると、AP＝1、BQ＝QF＝2。切り口は五角形になります。前の面の線PQと平行に、後ろの面ではGから左へ進む線が入り、辺DH上の点S（HS＝8/3cm）に届きます。同様に右の面の線QGと平行に、左の面ではSから辺AD上の点T（AT＝4/3cm）へ線が入り、切り口は五角形PQGSTです。

解答：正面（辺ABの側）から見た影で面積を比べます。影は1辺4cmの正方形で、五角形の影は「正方形から、角の三角形2つを切り落とした形」です。
・右上の三角形（PとQのまわり）：底辺3×高さ2÷2＝3cm²。
・左下の三角形（SとGのまわり）：底辺4×高さ8/3÷2＝16/3cm²。
五角形の影＝16−3−16/3＝23/3cm²。一方、三角形PQGの影は3cm²なので、切り口の面積は三角形PQGの (23/3)÷3＝23/9倍。
三角形RQGは切り口の1/3だから、三角形PQGの 23/9×1/3＝23/27倍。RQGとPQGは頂点Gが共通で底辺RQ・PQが同一直線上にあるので、面積比＝底辺比。よって RQ＝PQの23/27、PR＝PQの4/27 となり、PR：RQ＝4：23。

【✅検算】座標とベクトルで切り口の面積を直接計算すると（1辺4で）切り口＝(23/9)×√61、三角形PQG＝√61 となり、比23/9が一致。PR：RQ＝4：23も数値計算で確認しました。

【💡ポイントコラム】「同じ平面の上の図形は、どの方向から見ても面積比が変わらない」——切断面の面積比を正面図・上面図に落とすこの技は、洗足に限らず難関校の切断問題を平面問題に変える強力な道具です。影に落とした瞬間、方眼の計算だけで済みます。

(3) 速さ（すれ違い）：7km先で折り返す14kmのマラソンに3人が同時にスタート。AとBの速さの比は5：4、Aは6km地点で（折り返してきた）Cとすれ違い、BはCとスタートから43分45秒後にすれ違った、という設定です。BのゴールはAの何分何秒後かを求めます（記述式）。

【👀ここに注目】Aが6km走ってすれ違ったとき、Cは折り返して同じ地点にいるので、Cの走った道のりは 14−6＝8km。同じ時間で6kmと8kmだから、A：C＝3：4がすぐ出ます。

解答：A：C＝6：8＝3：4、A：B＝5：4 なので、そろえて A：B：C＝15：12：20。
BとCのすれ違いは、2人合わせて14km進んだときに起こります。43分45秒＝43と3/4分＝175/4分なので、BとCの速さの和＝14000m÷175/4分＝毎分320m。これが 12＋20＝32 にあたるから、1にあたる速さは毎分10m。よって A＝毎分150m、B＝毎分120m、C＝毎分200m。
Aのゴール＝14000÷150＝93と1/3分、Bのゴール＝14000÷120＝116と2/3分。差は23と1/3分＝23分20秒後。

【✅検算】毎分150mのAは6km地点に40分で到着、毎分200mのCは40分で8km進んでおり、折り返し後たしかに6km地点ですれ違います。B・Cの和320m/分×43.75分＝14000mも一致します。

(4) ニュートン算：一定の水が流れ込む貯水池を空にするのに、ポンプ6台で350分、5台で450分かかります。内壁のヒビにより「水量が5割を超えている間だけ」一定量がもれるようになり、5台で排水すると435分かかりました。もれる量はポンプ1台の何倍かを求めます（記述式）。

【📖大切な考え方】ニュートン算は「ポンプ1台の排水量を毎分1」とおいて、流入量と満水量を先に確定させるのが定石です。ヒビは「水量5割超のときだけ働く追加ポンプ」とみなせば、前半と後半を分けて処理できます。

解答：ポンプ1台を毎分1とします。6台×350分＝2100、5台×450分＝2250。くみ出した量の差150は、450−350＝100分ぶんの流入量なので、流入＝毎分1.5。満水量＝2100−350×1.5＝1575。
ヒビの影響がない後半（水量5割以下）：正味の減り方＝5−1.5＝毎分3.5 で、半分の787.5を減らすのに 787.5÷3.5＝225分。
よって前半（5割超）は 435−225＝210分。前半の正味の減り方＝787.5÷210＝毎分3.75。ヒビのもれ＝3.75−3.5＝毎分0.25。これはポンプ1台（毎分1）の1/4倍（0.25倍）。

【✅検算】もれ0.25とすると前半は毎分(5＋0.25−1.5)＝3.75で210分、後半は毎分3.5で225分、計435分。公式所見も「ヒビがある部分の排水が210分と気づけるか」を分かれ目に挙げており、一致します。

大問4（仕事算）　答：(1) 3：1：2　(2) 2時間5分　(3) 12分間

A・B・Cの3人がしおりを作ります。誰かと一緒に作業すると各自の速さが0.8倍になります。1人ずつ6分交代で回すとき、①A→B→C→…の順では最後にBの6分ちょうどで完成、②B→C→A→…では①より2分多く、③C→A→B→…では①より2分少なく、④2人ずつ6分交代（AB→BC→CA→…）では3時間8分で完成、という条件です。

【📖大切な考え方】①②③はどれも「18分ごとに3人が6分ずつ」働くので、大きな部分は共通です。違いが出るのは最後の端数だけ——「終わり際の顔ぶれ」を比べるのが急所です。

【👀ここに注目】①は「…＋Aの6分＋Bの6分」で終了。②は同じ残り仕事を「Bの6分＋Cの6分＋Aの2分」でこなし、③は「Cの6分＋Aの4分」でこなしています。この3通りが同じ仕事量です。

解答：
(1) ①と③の比較：Aの6分＋Bの6分＝Cの6分＋Aの4分。①と②の比較：Aの6分＋Bの6分＝Bの6分＋Cの6分＋Aの2分、つまり Aの4分＝Cの6分。これを③の式に入れると Aの2分＋Bの6分＝Cの6分＝Aの4分 なので、Bの6分＝Aの2分。よって同じ時間の仕事量の比は A：B＝3：1、A：C＝6分×3…＝4分×…から 3：2。まとめて A：B：C＝3：1：2。
(2) A・B・Cの1分あたりを3枚・1枚・2枚とおきます。④の2人組の速さは、AB組＝(3＋1)×0.8＝毎分3.2枚、BC組＝毎分2.4枚、CA組＝毎分4枚。18分1周で 19.2＋14.4＋24＝57.6枚。3時間8分＝188分＝18分×10周＋8分。10周で576枚、続くABの6分で19.2枚、BCの2分で4.8枚、合計ちょうど600枚。これが予定枚数です。
3人同時なら毎分 (3＋1＋2)×0.8＝4.8枚 なので、600÷4.8＝125分＝2時間5分。
(3) 3人で108分（1時間48分）作業すると 4.8×108＝518.4枚 で、残り 81.6枚。全体の所要時間は 125＋19＝144分 だから、残り時間は36分。この36分は「C1人（1人なので毎分2枚のまま）」と「B復帰後の2人（毎分2.4枚）」でできています。つるかめ算で、36分全部2人なら 2.4×36＝86.4枚 となり 4.8枚多い。1分をC1人に置きかえるごとに0.4枚減るので、C1人の時間＝4.8÷0.4＝12分間。

【✅検算】①を枚数600で再現すると、1周36枚×16周＋Aの18枚＋Bの6枚＝600枚で、ちょうどBの6分で完成（総時間300分）。②は302分、③は298分、④は188分ちょうど——4条件すべてをコンピュータのシミュレーションで再現できました。(3)も 2×12＋2.4×24＝81.6枚で一致します。

大問5（速さ・登山）　答：(1) 20分後　(2) 3時間5分　(3) 10分後

A→Bが上り坂、B→Cが平らな道、C→Dが下り坂の登山コース。花子さんはAから、よし子さんはDから同時に出発し、1時間45分後、花子さんが平らな道の5/6を進んだ地点で出会いました。花子さんがDに着いた5分後によし子さんがAに着きます。2人とも上り時速1.5km・平ら時速3km・下り時速2kmで進みます。

【📖大切な考え方】まず3区間の道のりを確定させます。手がかりは「到着の5分差」と「出会いの位置」の2つ。平らな道は2人とも同じ時間で通るので、到着の差は坂の通り方の差だけから生まれます。

【👀ここに注目】同じ坂道でも、上る人は時速1.5km、下る人は時速2km。1kmあたりの時間差は 40分−30分＝10分。つまり「AB間とCD間の長さの差」1kmにつき、2人の総時間は10分ずれます。5分差なので、CD−AB＝0.5kmが一撃で出ます。

解答（道のりの確定）：花子さんの出発から出会いまで：AB÷1.5＋(BCの5/6)÷3＝1.75時間。よし子さんも CD÷1.5＋(BCの1/6)÷3＝1.75時間。2つの式の差から、(CD−AB)÷1.5＝(BCの4/6)÷3。CD−AB＝0.5kmを入れると 1/3＝BC×2/9 となり、BC＝1.5km。花子さんの式に戻すと AB÷1.5＝1.75−5/12＝4/3 なので AB＝2km、CD＝2.5km。
(1) 花子さんがCに着くのは 2÷1.5＋1.5÷3＝(4/3＋1/2)時間＝110分後。よし子さんがBに着くのは 2.5÷1.5＋1.5÷3＝(5/3＋1/2)時間＝130分後。差は20分後。
(2) 花子さんは続けて下り2.5kmを 2.5÷2＝1.25時間＝75分。合計 110＋75＝185分＝3時間5分。
(3) 帰りは、花子さんがD→A（上り2.5km＝100分、平ら30分、下り2km＝60分、計190分）、よし子さんがA→D（上り2km＝80分、平ら30分、下り2.5km＝75分、計185分）。
よし子さんが速くするのは下りだけで、速さ5/4倍→時間は4/5倍。雨が下りに入る前（出発から110分まで）に降り始めれば、下りは 75×4/5＝60分 となり、よし子さんの総時間は 110＋60＝170分（雨の時刻によらず一定）。
花子さんは残りの上り坂と平らな道の速さを6/5倍→その部分の時間が5/6倍になり、1/6だけ短縮されます。総時間が170分になるには 190−170＝20分 の短縮が必要なので、雨の時点で残っていた上り＋平らの時間は 20×6＝120分。上り＋平らは全部で130分だから、雨が降り始めたのは再出発から 130−120＝10分後。

【✅検算】10分後に降り始めると、花子さんは 10＋120×5/6＋60＝170分、よし子さんは 80＋30＋60＝170分で同時到着。雨の時刻を0〜99分で総当たりしても、一致するのは10分だけでした。(1)(2)も出会い（105分・平らの5/6地点）と到着5分差の条件をすべて満たします。

【💡ポイントコラム】5(3)のように「速さが◯倍になる」条件は、「その区間の時間が逆数倍になる」と読みかえるのが近道です。道のりを求め直す必要はなく、時間の増減だけを追えば1本の式で決着します。得点率0.4％の問題も、道具立て自体は5年生で習う逆比です。

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