洗足学園中学校 2025年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

洗足学園中学校 2025年度 第1回 算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み）。問題は洗足学園中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算）　答：(1) 1/9　(2) 7/8

帯分数・小数のまじった四則計算が2問。(1)は左から計算する問題、(2)は空らんを求める逆算です。

【📖大切な考え方】計算問題は「かっこの中→かけ算・わり算→たし算・ひき算」の順序と、帯分数を仮分数に直してから約分する型を守るのが定石です。順序を崩すと最初の5点×2をまるごと落とし、後の大問で挽回する余裕がなくなります。

【👀ここに注目】(2)は式全体を「2.5−（かたまり）＝1」とみて、外側から一枚ずつはがすように戻します。小数は 1.875＝1と7/8＝15/8 のように分数へそろえると約分が効きます。

解答：
(1) かっこの中：3と1/3−1/3×2と2/9＝10/3−1/3×20/9＝10/3−20/27＝90/27−20/27＝70/27。
次に 70/27÷5と5/6＝70/27×6/35＝4/9。最後に 4/9−1/3＝4/9−3/9＝1/9。
(2) 2.5−（かたまり）＝1 だから（かたまり）＝1.5。
1.875÷（　）×1と1/6＝1.5 より 1.875÷（　）＝1.5÷7/6＝9/7。
よって（　）＝15/8÷9/7＝15/8×7/9＝35/24。
空らん＝2と1/3−35/24＝56/24−35/24＝21/24＝7/8。

【✅検算】(1)は小数でも（3.333…−0.7407…）÷5.8333…−0.3333…≒0.111…＝1/9、(2)は 7/8 を式に代入すると 2.5−15/8÷35/24×7/6＝2.5−1.5＝1 で一致しました。

大問2（小問集合）　答：(1) 5775　(2) 2430円　(3) 毎分45m　(4) 23.34cm²

(1) 数の性質（回文数）：右から読んでも左から読んでも同じ4桁の整数のうち、15の倍数で最大のものを求める問題です。

【👀ここに注目】15の倍数＝5の倍数かつ3の倍数。一の位は0か5ですが、回文数では千の位＝一の位なので0は使えず、形は「5□□5」に確定します。あとは各位の和 5＋□＋□＋5＝10＋□×2 が3の倍数になる□のうち最大の7を選び、5775。

(2) 差集め算：手持ちのお金で90円のペンならちょうど何本か買え、120円のペンにすると本数が7本減って30円余る、という設定です。

解答：90円のペンを買える本数を□本とすると、120円のペンは（□−7）本。90円のペンを（□−7）本だけ買えば 90×7＝630円 余るはずです。同じ（□−7）本で余りが630円から30円に減ったのは、1本あたり120−90＝30円ずつ多く払ったから。よって □−7＝（630−30）÷30＝20 で □＝27本。所持金は 90×27＝2430円。

【✅検算】2430円で120円のペンは20本買えて余り2430−2400＝30円、27−20＝7本少ない。すべて条件どおりです。

(3) 流水算：15km離れた2地点を船が往復します。下りは2時間。上りは静水時の速さを1.5倍にすると3時間20分。川の流れの速さを求めます。

【📖大切な考え方】流水算は「下り＝静水＋流れ」「上り＝静水−流れ」の2本を線分図でそろえ、和や差で流れを消すのが定石です。ここで単位を分速mにそろえ忘れると、答えの欄（毎分□m）と合わず失点します。

解答：下りの速さ＝15km÷2時間＝時速7.5km＝毎分125m。1.5倍で上ったときの速さ＝15km÷3時間20分＝15000m÷200分＝毎分75m。
（静水＋流れ）＝125、（静水×1.5−流れ）＝75。2つの式をたすと流れが消えて 静水×2.5＝200、静水＝毎分80m。よって流れ＝125−80＝毎分45m。

【✅検算】静水80・流れ45なら、下り125m/分で15km÷125＝120分＝2時間、1.5倍の上りは 120−45＝75m/分で15000÷75＝200分＝3時間20分。一致します。

(4) 円と等積変形：直径12cmの円周を12等分し、時計の文字盤にたとえると「6時と10時を結ぶ弦」と「2時と8時を結ぶ直径」の交点Vから数本の線を引いた図で、色のついた2か所（Vと3時・4時を結んだ部分、Vと12時・11時を結んだ部分）の面積の和を求めます。

【📖大切な考え方】ばらばらに見える色つき部分は「対称の軸で折り返して1つにまとめる」のが定石です。まとめずに1つずつ求めようとすると、算数では出せない中途半端な三角形の面積が現れて詰みます。

【👀ここに注目】2時と8時を結ぶ直径は、6時と10時を結ぶ弦と垂直に交わります（8時がちょうど弧の真ん中だから）。したがって交点Vはこの弦の真ん中の点で、しかも直径（＝対称の軸）の上にあります。

方針：右下の色つき部分（V・3時・4時）を、2時−8時の直径を軸に折り返すと、Vは軸上なので動かず、3時→1時、4時→12時に移ります。すると左上の部分とつながり、「Vから1時と11時に線を引き、弧（1時→12時→11時）で囲んだ1つの図形」になります。

解答：この図形は「中心Oのおうぎ形（1時〜11時、中心角60°）」に「三角形V・1時・11時 と 三角形O・1時・11時 の差」を加えたものです。
・おうぎ形：6×6×3.14×60/360＝18.84cm²。
・1時と11時を結ぶ弦は水平で、中心角60°の弦だから長さは半径と同じ6cm（正三角形の1辺）。
・2つの三角形は底辺（この弦）が共通なので、面積の差＝底辺×（高さの差）÷2。高さの差はOとVのたての距離です。10時の点は、半径と水平の直径のつくる角が30°＝正三角形の半分の形から、中心より3cm上。6時の点は中心より6cm下。Vは弦（6時−10時）の真ん中なので、中心より（6−3）÷2＝1.5cm下にあります。
・よって差＝6×1.5÷2＝4.5cm²。
求める面積＝18.84＋4.5＝23.34cm²。

【✅検算】座標計算（三角関数）で2か所を直接求めると 3π＋4.5√3−4.5 と 3π＋9−4.5√3。和をとると√3が消えて 6π＋4.5＝23.34cm²。ぴったり一致します。

【💡ポイントコラム】洗足の円の問題は「√3が消えるように作られている」のが合図です。1つの部分の面積が算数で出せないときは、折り返し・回転でペアを作ると和がきれいになる——この発想を疑ってください。

大問3〔Ⅰ〕（速さ・旅人算）　答：(1) 4600m　(2) 3時間17分後

7200m離れた2つの町から、Aさん（分速50m）とBさん（分速40m）が同時に向かい合って出発。出会って10分話した後それぞれ引き返し、6分後にAさんが速さを2倍にしてBさんを追いかけ、プレゼントを渡してから分速50mで自分の町へ戻る、という設定です。

【📖大切な考え方】旅人算は「出会い＝速さの和」「追いかけ＝速さの差」で所要時間を出すのが定石です。場面が3つ以上に切り替わる問題では、時刻と位置を場面ごとに整理しないと、どこかで6分・10分のずれが混入します。

【👀ここに注目】追いかけが始まる瞬間の「2人の間の距離」さえ出せば、あとは1行です。別れてから6分で、Aは50×6＝300m戻り、Bは40×6＝240m進むので、間は300＋240＝540m開いています。

解答：
(1) 出会うまで：7200÷(50＋40)＝80分。出会いの場所はP町から 50×80＝4000m。
10分話して別れ、6分後のAの位置はP町から 4000−300＝3700m、Bは 4000＋240＝4240m。差は540m。
追いかけはAが分速100m、Bが分速40mなので、追いつくまで 540÷(100−40)＝9分。
渡した場所はBの位置＝4240＋40×9＝P町から4600m。
(2) 渡した時刻は出発から 80＋10＋6＋9＝105分後。そこから4600mを分速50mで戻るので 4600÷50＝92分。
合計 105＋92＝197分＝3時間17分後。

【✅検算】Aの移動を場面ごとに合計すると 4000−300＋900（9分×100m）＝4600mで(1)と一致。コンピュータでの時刻シミュレーションでも4600m・197分となりました。

大問3〔Ⅱ〕（数の性質・連続整数の和）　答：(1) 221　(2) い＝11、う＝54

403から始まる連続5個の整数の和が2025になることを例に、(1)連続9個の和が2025になる最初の数、(2)連続「う」個の和が2025になるときの最初の数「い」として考えられる最小の整数と、そのときの個数を求めます。

【📖大切な考え方】連続する整数の和は「個数×真ん中の数（または両はしの平均）」。奇数個なら真ん中の数＝和÷個数です。この言いかえを知らないと、(2)で候補を無限に試すことになります。

解答：
(1) 9個の真ん中（5番目）の数＝2025÷9＝225。最初の数＝225−4＝221。
(2) 和＝（最初＋最後）×個数÷2 だから、（最初＋最後）×個数＝4050。最初を「い」、個数を「う」とすると 最後＝い＋う−1 なので、う×（い×2＋う−1）＝4050。
「い」を小さくするには「う」をできるだけ大きくします。い が1以上である条件から う×（う＋1）≦4050、つまり う≦63。
4050＝2×3×3×3×3×5×5 の約数のうち63以下で大きい順に調べると、う＝54 のとき い×2＋53＝4050÷54＝75 で い＝11（整数になる！）。
う＝55〜63は4050の約数でないため不適。よって い＝11、う＝54。

【✅検算】11から64までの54個の和＝(11＋64)×54÷2＝75×27＝2025。また1〜100個の全探索でも、条件を満たす（い, う）のうち「い」最小は (11, 54) だけでした。

【💡ポイントコラム】2025＝45×45 は今年の入試の主役でした。2025＝81×25、4050＝2×3⁴×5² という分解を手が覚えていれば、この種の「西暦問題」は約数さがしのスピード勝負に持ち込めます。

大問4（立体図形・水量の変化）　答：(1) 毎分250cm³　(2) 10分後　(3) 14分48秒後

1辺30cmの正方形を底面とする高さ12cmの容器を、高さ10cmの板で3×3の9ブロック（①〜⑨）に仕切り、①に一定の割合で注水します。水面が10cmに達したブロックからは、となりのまだ10cmでないブロックへ等しく水が流れ込み、①が10cmになるのは2分後という設定です。

【📖大切な考え方】この型は「どの時刻に・どのブロックへ・毎分何cm³流れるか」の表を作って時系列で追うのが定石です。1ブロックの満水量は10×10×10＝1000cm³。流れの分岐を1か所でも見落とすと、以後の時刻が全部ずれます。

【👀ここに注目】注水量は1000cm³÷2分＝毎分500cm³。図の配置では①のとなりは②と④、②のとなりは①③⑤、④のとなりは①⑤⑦。⑤には②と④の両方から水が来る——ここが時間差を生む急所です。

解答：
(1) ①が満水になると、毎分500cm³が②と④へ等しく分かれるので、②へは 毎分250cm³。
(2) ②と④は各1000cm³必要なので、2分＋1000÷250＝6分後に同時に満水。以後、②の毎分250は③と⑤へ125ずつ、④の毎分250は⑤と⑦へ125ずつ。⑤には毎分125＋125＝250cm³入るので、満水まで1000÷250＝4分。よって 6＋4＝10分後。
(3) ⑧の水面が7cm＝700cm³になる時刻を、全体の水量で考えます。配置は①から見て対角線について対称なので、⑥と⑧にはつねに同じ量がたまります。⑧が700cm³の瞬間、⑥も700cm³。このときすでに①②③④⑤⑦は満水（⑤は10分、③⑦もその後まもなく満水）で、⑨には⑥⑧が満水になるまで水が届かないので0cm³。
容器全体の水量＝1000×6＋700×2＝7400cm³。毎分500cm³入るので 7400÷500＝14.8分＝14分48秒後。

【✅検算】流れの分岐を毎分単位で追うシミュレーション（コンピュータ）でも、⑤の満水は10分、⑧が700cm³になるのは14.8分＝14分48秒で一致しました。

大問5（立体図形・点光源と影）　答：(1) EF＝16m、GH＝28m　(2) 594m²　(3) 7884m³

地面に垂直な長方形の板ABCD（横9m・縦8m）と壁があり、真上から見ると板は壁と垂直で、壁から21m離れた位置から9mのび、さらに12m先の横18mの位置に点光源Pがあります。壁にできる影EFGHについて考えます。

【📖大切な考え方】点光源の影は「Pを中心とする拡大図」。拡大率は（Pから壁までの距離）÷（Pからその辺までの距離）で、壁と平行な方向の距離で測るのが定石です。辺ごとに拡大率が違うことを見落とすと、影を1つの長方形と誤解して全滅します。

【👀ここに注目】Pから壁までは 21＋9＋12＝42m。板の壁に近い側の辺ABまでは 42−21＝21m、遠い側の辺DCまでは 12m。つまりABは42÷21＝2倍、DCは42÷12＝3.5倍に拡大されます。

解答：
(1) EF＝ABの影＝8×2＝16m。GH＝DCの影＝8×3.5＝28m。
(2) 真上から見ると、Pから板の直線までの横の距離は18m。影の位置はPの正面から横に 18×2＝36m と 18×3.5＝63m なので、EFとGHの間隔は 63−36＝27m。EFGHは平行な2辺が16mと28mの台形だから、面積＝(16＋28)×27÷2＝594m²。
(3) 求める立体は、Pを頂点として影EFGHへ広がる四角すいから、手前の四角すいP-ABCDを切り取った形です。
・四角すいP-EFGH：底面594m²、Pから壁までの距離42m → 594×42÷3＝8316m³。
・四角すいP-ABCD：底面＝板＝9×8＝72m²、Pから板をふくむ面までの距離は横向きの18m → 72×18÷3＝432m³。
よって 8316−432＝7884m³。

【✅検算】座標を設定し8頂点を数値計算すると、E・Fは壁面上の高さ16m、H・Gは高さ28mの位置になり台形の面積594m²、立体の体積も（すい体の差でも数値積分でも）7884m³で一致しました。

【💡ポイントコラム】「すい体から小さいすい体を引く」とき、2つの底面が平行でなくてもかまいません。頂点Pが共通で、側面がPを通る平面でつながっていれば差し引きは成立します。洗足の立体は、この一段深い理解を試してきます。

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