「この式、意味不明」から始める指数と対数｜a^(log_a x)＝x はなぜ成り立つのか

この記事は、たった1問から始まります。
「 を簡単にせよ」——見た瞬間に手が止まる式です。ところが答えは という、拍子抜けするほど単純な数になります。
なぜそうなるのかを追いかけていくと、「指数とは何か」「対数とは何か」「なぜこの2つは逆向きなのか」という、指数・対数のいちばん大事なところに全部たどり着きます。対数をまだ習っていない人でも読めるように、log をいったん忘れるところから始めます。

この記事の道筋
1. まず、答えだけ先に見る／2. とりあえず解いてみる／3.「なぜ なの？」／4. log は「何乗すればいい？」に答える記号／5. 対数の定義／6. だから になる／7. 日本語に訳すと当たり前／8. 指数と対数は行きと帰り／9. 整数にならなくても対数はある／10. は負の数／11. 底と真数の条件はなぜ要るのか／12. そもそも指数とは何か／13. 意味を確認しながら解き直す／14. 別解3つと、この問題の正体／15. よくあるミス6つ／16. 確認問題6問／17. よくある質問／18. まとめ

1. まず、答えだけ先に見る

今回あつかう問題はこれです。

【問題】　次の式を簡単にせよ。

「簡単にせよ」と言われても、どこから手をつければいいのか分からない。そう感じる人は少なくありません。

まず、 という見慣れないものが指数のところ（肩の位置）に入っています。しかも、それを使って を累乗する。見た目だけならかなり複雑です。

ところが、答えはこうなります。

【答え】

なぜこんなに単純になるのでしょうか。

実はこの問題には、指数・対数を勉強するときに絶対に理解しておきたい

という関係が隠れています。

この式は「公式」として紹介されることが多いのですが、覚えなくても、意味さえ分かっていればその場で作り直せます。むしろ、「対数とは何なのか」を正しく理解すると、そうならざるを得ない式だと分かります。もちろん覚えていても構いません。ただ、忘れたときに自分で復元できるかどうかで、試験本番の安心感がまったく変わります。

今回はこの一問を題材にして、指数と対数をゼロから考えていきます。

2. とりあえず解いてみる（意味は次の節で回収します）

まず、細かい理屈は置いておいて、手を動かしてみましょう。

Step 1　49 を 7 の累乗として見る

最初に注目してほしいのは、 ということです。式の中に 7 と 49 という、底をそろえられる数が並んでいるのは偶然ではありません。

したがって

よって、もとの式はこう書き直せます。

Step 2　累乗の累乗を整理する

指数法則 を使えば

さらに、この指数の を外に出す向きに読み直すと

となります。同じ指数法則を、行きと帰りの両方向に使っているだけです。

Step 3　ここが決定的

この1行が使えるかどうかで、この問題は決まります。なぜこう言えるのかは、次の節から徹底的に説明します。

Step 4　負の指数を処理する

負の指数は逆数を意味するので

したがって答えは です。

ここで終わってはいけません。この記事でいちばん重要なのは、ここから先です。Step 3 で使った を、「そういう公式だから」で済ませてしまうと、少し形を変えられただけで手が止まります。

3.「なぜ なの？」と思った人へ

この疑問を持てたなら、それは大きな一歩です。

参考書では を公式として紹介し、そのまま計算演習に進むことがあります。すると「 と覚えてください」で話が終わってしまい、指数・対数の本質が見えないまま計算だけができる状態になりがちです。

そこで、いったん log を全部忘れましょう。

まず、

を考えます。これは「2 を 3 乗すると 8 になる」という意味です。ここまでは中学生でも分かります。

では、逆に質問します。

2 を何乗したら 8 になりますか？

もちろん ですね。

この「2 を何乗したら 8 になるか？」という問いに対する答えを表すために、数学では

という記号を使います。つまり

です。ここが対数の出発点です。新しい計算方法が増えたのではなく、「何乗すればいいか」という問いの答えに、名前をつけただけです。

4. log とは「何乗すればいい？」に答えるための記号

はじめのうちは、次のように読んでしまって構いません。

　＝　「 を何乗すると になる？」の答え

いくつか具体例で確かめます。

表の右2列を見てください。「もとになる式」と「答え」は、同じ情報を書き方を変えて並べているだけです。この感覚がつかめたら、対数はもう半分終わっています。

5. 対数の定義——2つの式は同じことを言っている

いまの表を一般化すると、こう書けます。

【対数の定義】

は「同じことである」という記号です（「同値」と読みます）。つまり

• は、指数 を主語にした書き方
• は、指数 を答えにした書き方

視点が違うだけで、書いてある内容は同じです。対数は、指数の式を「指数について解いた形」に言い換える記号だと言ってもいいでしょう。

なお、実数の範囲では

という条件が必要です。この条件がなぜ必要なのかは 第11節で説明します。いまは「そういう約束がある」と思っておいて構いません。

6. では、なぜ なのか

ここまで分かれば、ほとんど終わっています。

とは何だったでしょうか。「 を何乗すると になるか」を表す数でした。

そこで、その数に名前をつけて

とおいてみます。対数の定義から、これは

と同じことです。ところが なのですから、 のところをもとに戻せば

となります。

つまり は、新しい計算公式ではありません。対数の定義をそのまま書き直しただけです。
証明は「 とおいて、 を戻す」の2行しかありません。

だから、忘れても困りません。「 って何だっけ？」と定義に戻れば、その場で作れます。

7. 日本語に訳すと、当たり前のことしか言っていない

数式のままだと分かりにくい人のために、 を無理やり日本語にしてみます。

は

「 を何乗したら になるか」という数

でした。したがって は

を、
「 を何乗したら になるか」という数だけ、
累乗する

という意味になります。

だったら、答えは当然 です。

を「 を何乗すると になるか」だけ累乗すれば、 になる。
——これが の正体です。

「 になるちょうどの回数だけ掛けたのだから、 になる」。それ以上のことは何も起きていません。

今回の問題でいえば、 は「7 を何乗したら になるか」という数ですから、その数だけ 7 を累乗すれば、当然 になります。

8. 指数と対数は「行き」と「帰り」——逆関数の関係

ここから一段だけ深い話をします。難しければ 第9節まで飛ばしても構いません。

いま起きていたことを図にすると、こうなります。

なら 。つまり 3 から 8 へ行く操作と、8 から 3 へ帰る操作が対になっています。

一般には

です。指数関数 と対数関数 は、このように互いを打ち消し合う関係にあります。これを逆関数の関係といいます。

だから、次の2つが両方とも成り立ちます。

上が「対数で出した指数を、実際に累乗して戻す」、下が「累乗した結果から、指数を読み取って戻す」。どちらも往復して元に戻っているだけです。

グラフで見ると、この関係はもっとはっきりします。

が点 を通るなら、 は点 を通ります。 と を入れかえた点どうしが対応するので、2本のグラフは を鏡にしたように重なります。

は「たまたま計算がうまくいく式」ではありません。指数関数と対数関数が逆関数だという構造そのものから出てくる関係です。だから、底が 7 でも 10 でも でも、まったく同じことが起こります。

「逆関数」と言われてもピンと来ない人へ

逆関数という言葉がまだ分からなくても、まったく問題ありません。身近な例で考えてみます。

「3 を足す」という操作を、「3 を引く」という操作が元に戻しています。同じように

「4 倍する」と「4 で割る」も逆向きの操作です。

そして指数と対数についても

「 を 乗する」という操作を、
「 の何乗かを読み取る」という操作が元に戻す

という、まったく同じことが起きています。足し算に引き算があり、掛け算に割り算があるように、累乗には対数がある——そう思ってもらえれば十分です。

9. 整数にならなくても、対数はちゃんと存在する

ここは初心者がとても混乱しやすいところです。

は簡単です。ところが

と言われると、「2 を何乗しても 10 にならないのでは？」と思うかもしれません。

確かに整数の範囲だけなら

なので、10 はどちらにもなりません。しかし指数は整数だけではありません。

という指数も考えることができます。 から へ、 はとぎれずになめらかに増えていくので、その途中で必ず 10 をちょうど1回だけ通過します。その通過した瞬間の が です。

数値としてはおよそ

です。だから

が成り立ちます。ここでも原理はまったく同じです。

「値がきれいに出ない」と「存在しない」は別のこと。
を小数で最後まで書き切ることはできませんが、 は自信をもって言えますね。対数もそれと同じで、値を求めなくても、意味さえ決まっていれば計算に使えるのです。

10. 今回の は負の数——でも、値は求めなくていい

今回の問題に登場するのは

です。これは「7 を何乗すると になるか？」という意味でした。

ここで です。一方 です。では 1 より小さくするにはどうすればよいでしょうか。指数を負にします。

したがって は負の数です。グラフで見ると次のようになります。

参考までに、 です。7 を 0.2 乗ぶんだけ「割り戻す」と になる、というくらいの中途半端な数です。

そして、この値は今回の問題では一度も使いません。必要なのは「 とは、7 を何乗すると になるかを表す数である」という意味だけです。
数値を出そうとして電卓を探し始めた人は、そこで止まってしまいます。【この問題の勘所】は「値を求めずに、意味のまま処理する」ことです。

11. なぜ「底は正で 1 以外」「真数は正」なのか

第5節で後回しにした条件を回収します。

これも丸暗記する必要はありません。「何乗すればいい？」の答えがただ1つに決まってほしい——それだけが理由です。順番に見ていきます。

だと困る

は何乗しても です。

ですから「1 を何乗すると 8 になるか」には答えがありません。逆に「1 を何乗すると 1 になるか」なら、 は何でもよく答えが1つに決まりません。どちらにしても記号として使いものにならないので、 とします。

だと困る

たとえば とすると、 は実数になりません。負の数を底にすると、指数を実数まで広げた瞬間に値が定まらなくなるのです。 も が使えないので除きます。だから とします。

だから真数は正でなければならない

のとき、 は必ず正です。何乗しようが 0 や負にはなりません。

ということは、「 を何乗すると になるか」という問いには答えがありません。だから は考えられません。これが真数条件 の中身です。

まとめると、 のとき はずっと増え続けるか、ずっと減り続けるかのどちらかで、正の数を1回ずつもれなく通過します。だから「 を決めれば指数がただ1つに決まる」。この事実があるからこそ、 は記号として成立します。

12. そもそも「指数」とは何なのか

対数の側から見てきましたが、ここで指数そのものも根本から考えておきます。今回の問題で使った変形は、すべてここから出てきます。

最初に習う指数は

のようなものでした。つまり は「 を 個掛ける」という意味です。

ところが高校数学では 、、 などが登場します。「0 回掛ける」「 回掛ける」「 回掛ける」とは何でしょうか。「掛け算の回数」という説明では、もう限界です。

そこで数学では、発想を切り替えます。

指数法則が矛盾なく成り立ち続けるように、指数の意味のほうを拡張していく

守りたい指数法則は、次の3本です。

これを壊さないように、と決めるだけで、 も も も自動的に決まってしまいます。順に見ましょう。

なぜ なのか

たとえば

ですね。一方、指数法則を使うと

したがって とするのが自然です。「0 個掛けたら 1」という不思議な暗記ではなく、指数法則を保つために必要な決め方だ、ということです。

なぜ なのか

同様に

一方、普通に約分すると

したがって

今回 を に直せたのも、 だから

となるためです。マイナスの指数は「逆数」の合図であって、「マイナスの数になる」わけではありません。ここは事故が多いので注意してください。

なぜ なのか

指数法則 を保つなら

でなければなりません。2 乗して になる正の数——それは です。だから と決めます。ここでも「そう決めるしかない」から決めています。

なぜ なのか

今回もう一つ使ったのが です。自然数のときは、数えれば分かります。

それぞれに 2 が 3 個ずつあり、それが 4 組あるので、2 は全部で 個です。

つまり指数どうしが掛け算になる。この構造があるからこそ

と変形できました。指数が対数であっても、法則の使い方は何も変わりません。「指数の場所に入っているものは、それが何であれ掛け算で外に出せる」というだけのことです。

13. 意味を確認しながら、もう一度解く

道具がそろいました。最初の問題に戻ります。

【問題（再掲）】　次の式を簡単にせよ。

Step 1　底をそろえる

【なぜこうするか】　肩に が乗っているのだから、下の数も 7 の形にそろえれば、7 どうしで打ち消し合える——そう当たりをつけます。式の中に 7 と 49 が同居しているのは、出題者からの合図だと読めます。

Step 2　指数法則で の形にまとめる

【なぜこうするか】　 というカタマリを作りたいので、 のほうを外に追い出します。 を右から左へ読み替えているだけです。

Step 3　定義に戻して打ち消す

【なぜこうするか】　 は「7 を何乗すると になるか」という数。その数だけ 7 を累乗したのだから、 に決まっています。公式を思い出したのではなく、意味を読んだだけです。

Step 4　負の指数を外す

【答え】　

14. 別解3つと、この問題の正体

別解A　肩の上で対数法則を使ってしまう

指数の を、対数法則でひとまとめにします。

よって

この解き方だと を最後に1回だけ使うことになり、見通しがすっきりします。

ここで使った も、暗記する必要はありません。 とおけば なので、指数を読み取れば 。対数法則は、指数法則を対数の言葉に翻訳しただけです。同じように は の翻訳になっています。

別解B　求める値を文字でおいて、対数をとる

求める値を とおきます。

両辺の 7 を底とする対数をとると

対数関数は同じ値を2回とらないので、 から と言えます。

「肩が複雑なら対数をとって降ろす」というのは、指数が主役の式に対して繰り返し使われてきた手です。今回はStep 1〜4のほうが速いですが、底がそろっていない問題ではこちらが効いてきます。

別解C（というより一般化）　この問題の正体

実は、この問題は次の形の一例にすぎません。

理由も、いままでの2行です。

今回は でした。だから答えは

になります。底を の累乗の形に見抜けるかどうか。この1点だけを試している問題だったわけです。

私は授業でこの形を「肩の log と底が握手する形」と呼んでいます。【型】として持っておくと、 や を見た瞬間に「底をそろえれば終わる」と当たりをつけられます。もちろん当たりをつけたあとは、実際に手を動かして確かめます。型は考えなくて済ませるための道具ではなく、考える範囲を狭めて、そこから先に頭を使うための道具です。

15. よくあるミス6つ

16. 確認問題6問

同じ考え方だけで解けます。値を求めようとせず、底をそろえて打ち消す——それだけです。

【問題】　次の式を簡単にせよ。
(1) 　　(2) 　　(3)
(4) 　　(5) 　　(6)【発展】

手が止まったら、 の が何かを探してください。

解答

(1)　定義そのままです。

(2)　 と見ます。

(3)　 と見ます。

(4)　 と見ます。

(5)　 と見ます。今回の問題とまったく同じ形です。

(6)　底が 2 と 4 でずれています。そこで先に肩をそろえます。 なので、底の変換公式から

したがって

(6) のように底がずれているときは、底の変換公式で「ものさし」をそろえてから打ち消します。底の変換公式もまた、定義に戻れば作れます（ とおいて両辺の をとるだけです）。

17. よくある質問

Q1.　 の と 、どちらが底ですか？

小さく下に書いてあるほうが底で、 です。読むときは「 を何乗すると になるか」の順に読みます。日本語の語順と同じなので、この読み方に慣れると取り違えが減ります。

Q2.　 の値は求めなくていいのですか？

求めなくて構いません。この問題では「7 を何乗すると になるか」という意味だけを使って最後まで進みます。値はおよそ ですが、答えの にはまったく登場しません。 の値を知らなくても が言えるのと同じことです。

Q3.　 は暗記すべきですか？

覚えていて構いません。ただ、覚えていなくても2行で作れることは知っておいてほしいと思います。 とおけば定義から 、 を戻せば終わりです。忘れたときに自力で復元できる状態になっていれば、暗記していても暗記していなくても困りません。

Q4.　 も成り立ちますか？

成り立ちます。 は「 を 乗した数」ですから、それが「 の何乗か」と問われれば答えは です。 と は、往復の向きが違うだけの同じ話です。

Q5.　なぜ真数は正でなければならないのですか？

底 が正であるかぎり、 は何乗しても正だからです。「 を何乗すると になるか」という問いには答えがありません。だから は考えられません。真数条件は、暗記すべき禁止事項というより、問いが成立する範囲そのものです。

Q6.　対数をまだ習っていないのですが、読めますか？

読めます。この記事は「 が分かる」ところから出発しています。第3節から第7節までを読めば、対数の定義と までは理解できるはずです。指数のほうを先に固めたい場合は、第12節から読み始めても構いません。

18. まとめ——持ち帰るのは3つだけ

①　 は「 を何乗すると になるか」を表す数である。

②　だから は公式ではなく、対数の定義をそのまま書き直した式である。

③　指数と対数は行きと帰り。だから という形が見えれば、この種の問題は終わる。

最初に見たときは意味不明だった が、いまは という「握手する形」に見えているはずです。そう見えた瞬間に、答えの は自動的に出てきます。

指数・対数でつまずく人の多くは、計算力が足りないのではありません。記号が何を指しているのかを、一度も日本語に直さないまま演習に入ってしまっただけです。逆に言えば、定義に一度だけていねいに戻れば、そこから先の公式はほとんど自分で作れます。

——ここまで読んでくださって、ありがとうございました。数強塾代表の藤原進之介です。この記事は、実際の授業で生徒がいちばんつまずく場所をそのまま文章にしたものです。同じ場所で止まっている人の役に立てば嬉しく思います。

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