理科の学習マップ｜SCIENCE

1．空気を半分の体積に押し込めたら、圧力は2倍？

気体の量と絶対温度が変わらず、理想気体とみなせるなら2倍です。温度まで変わる場合は、体積だけで判断できません。

中学の入口｜粒子が小さくなるのではない

気体を圧縮すると、主に粒子どうしの平均的な間隔が狭くなります。「粒子一つ一つが半分の大きさになる」と考えないことが重要です。粒子が壁に衝突して運動量をやり取りするので、壁は力を受けます。圧力は、壁が受ける力を面積で割った量です。

高校化学｜変わる量と一定の量を先に分ける

理想気体では圧力 \(P\)、体積 \(V\)、物質量 \(n\)、絶対温度 \(T\) の間に \(PV=nRT\) が成り立ちます。\(R\) は気体定数です。気体が漏れず化学反応などで粒子数が変わらないなら、同じ気体の前後で

とできます。温度は摂氏ではなくKで扱います。摂氏0度は絶対温度0Kではありません。「20度から40度だから2倍」とは計算できないのです。

大学受験の例題｜体積と温度が同時に変わる

独自例題：一定量の理想気体が、圧力100kPa・体積1.2L・温度300Kの状態から、体積0.8L・温度400Kの状態へ変化しました。最終的な圧力を求めてください。

答え：200kPa。

体積が小さくなる効果で1.5倍、絶対温度が上がる効果で4/3倍、合わせて2倍です。比を使うので体積は両方L、圧力は両方kPaでそろえれば計算できます。一方、気体定数の数値を直接使うときは、その単位に合わせる必要があります。

化学基礎からの接続｜密度からモル質量を求める

0℃・1気圧で、理想気体のモル体積を22.4L/molと近似します。この条件で密度が1.96g/Lなら、1molの質量は次の通りです。

有効数字3桁なら43.9g/molです。二酸化炭素のモル質量約44.0g/molに近い値ですが、密度だけで物質を一意に同定したことにはなりません。また「標準状態」という語だけで圧力の定義を決めず、問題に示された温度・圧力を確認します。

大学への発展｜圧力と分子の運動をつなぐ

単原子の古典的な理想気体を考えます。分子間相互作用を無視し、壁との衝突は弾性衝突、平衡状態で運動の向きに偏りがないとします。分子の数を \(N\)、1分子の質量を \(m\)、速さの二乗の平均を \(\langle v^2\rangle\) とすると、

となります。理想気体の式を \(PV=Nk_{\mathrm B}T\) と書いて比較すると、1分子あたりの平均並進運動エネルギーは

です。\(k_{\mathrm B}\) はボルツマン定数です。温度を「粒子の平均的な運動エネルギー」と関係づけられました。二乗平均平方根の速さは絶対温度の平方根に比例するため、温度を2倍にしても速さは2倍ではありません。なお多原子分子の内部エネルギー全体には、回転・振動の寄与も考える必要があります。発展の参考：MITの気体分子運動論教材

次に学ぶ：化学基礎の物質量 ／ 理論化学の気体・溶液・平衡 ／ 共通テスト化学と過去問

2．速さが2倍になると、止まるまでの距離も2倍？

一定の減速度で止まるモデルなら、ブレーキが働いてからの距離は4倍です。反応するまでの距離は、反応時間が同じなら2倍です。

中学の入口｜速さ×時間は、速さが一定のとき

速さが10m/sなら、一定の速さで1秒間に10m進みます。しかし止まる途中では、速さはだんだん小さくなります。最初の速さを停止までの時間に掛けると、停止距離を大きく見積もってしまいます。

高校物理｜速度と時間のグラフで面積を読む

一直線上で前向きに10m/sで進む物体が、毎秒2m/sずつ速さを減らすとします。停止まで5秒。速度と時間のグラフの下の面積は三角形なので、停止距離は \(10\times5/2=25\) mです。

初速度の数値を \(v_0\)、減速度の大きさを \(a>0\) とすると、停止時刻は \(v_0/a\)。グラフの面積から

となります。同じ減速度で初速度だけが2倍なら、距離は二乗に比例して4倍になります。20m/sから同じ減速度2m/s²で止まる場合は10秒、100mです。

大学受験の例題｜反応時間を加えると比はどう変わる？

独自例題：反応時間0.8秒の間は等速で進み、その後は減速度2m/s²で停止するとします。初速度10m/sと20m/sの場合の、反応開始から停止までの移動距離を比較してください。

答え：それぞれ33mと116m。比は116/33で、2倍でも4倍でもありません。

反応中の距離は速さに比例し、制動中の距離は速さの二乗に比例します。異なる増え方の量を足しているため、合計が同じ倍率になるとは限りません。実際の停止距離は路面、タイヤ、勾配、制動力の変化などに依存します。ここでの数値は実車の安全距離を示すものではありません。

大学への発展｜積分と仕事・エネルギーで同じ結論へ

時刻 \(t\) の速度を \(v(t)=v_0-at\) と書けば、停止までの変位は速度を時間で積分したものです。

ここでは停止まで速度が負にならないので、変位と移動距離が一致します。一般の往復運動では、そのまま同一視できません。

質量を \(m\)、逆向きの一定の合力の大きさを \(F\) とすると、運動エネルギーの減少と仕事から \(Fd=mv_0^2/2\)。運動方程式 \(F=ma\) を使えば同じ距離の式に戻ります。グラフ・積分・エネルギーが、同じ現象の異なる説明になっています。

次に学ぶ：変位・速度・加速度 ／ 仕事とエネルギー ／ 高校物理の単元一覧

3．遺伝で「4分の1」なら、子が4個体いれば必ず1個体に現れる？

いいえ。4分の1は各個体についての確率であり、4個体の内訳を保証する数ではありません。

中学の入口｜組合せの比と実際の個数を区別する

単一の常染色体上の遺伝子について、両親の遺伝子型を \(Aa\) とします。各親がAまたはaを1/2ずつの確率で伝え、受精の組合せは独立と仮定すると、AA、Aa、aA、aaの4通りを考えられます。遺伝子型としてAaとaAは同じなので、AA：Aa：aaの期待される割合は1：2：1です。

Aがaに対して完全優性で、浸透率の違いや生存率の差などを考えないモデルなら、潜性形質が現れるaaの確率は1/4。ここでいう顕性・潜性は形質の現れ方の関係であり、「優れた遺伝子」「劣った遺伝子」という意味ではありません。

大学受験の例題｜4個体中ちょうど1個体の確率

独自例題：上の条件で、4個体の遺伝子型は互いに独立に決まるとします。aaがちょうど1個体となる確率を求めてください。

答え：27/64、約42.2％です。

aaとなる個体を4通りから選び、その個体がaaとなる確率1/4と、残る3個体がaaでない確率を掛けます。平均すれば4個体中1個体でも、ちょうど1個体になる確率は100％ではありません。aaが一つも出ない確率も \((3/4)^4=81/256\) あります。

発展｜「少なくとも1個体」は余事象で考える

1個体・2個体・3個体・4個体を別々に足してもよいですが、「一つも出ない」を全体から引くと簡潔です。

「ちょうど1個体」と「少なくとも1個体」は別の問いです。大学受験では、遺伝の知識だけでなく、日本語の条件と確率の事象を対応させる必要があります。

大学への発展｜一組の交配から、集団全体の遺伝へ

集団中の配偶子でAの頻度を \(p\)、aの頻度を \(q\) として、\(p+q=1\) とします。配偶子が無作為に組み合わさるモデルなら、受精後の遺伝子型の頻度はAAが \(p^2\)、Aaが \(2pq\)、aaが \(q^2\) です。

例えば \(p=0.7, q=0.3\) なら0.49、0.42、0.09。この法則はハーディ・ワインベルグの法則として高校生物でも扱われ、大学ではモデルからのずれを統計的に検討する学習へ進みます。世代を通じて頻度が維持される理想条件には、十分大きい集団、無作為交配、自然選択・突然変異・移入移出を無視できることなどがあります。発展の参考：OpenStaxの集団遺伝学

観測値が理論比からずれても、それだけで「自然選択が起こった」とは断定できません。標本が小さいことによる偶然のばらつき、集団の混在、測定・分類の誤りなども検討します。モデルの予測と、そこから何が言えるかを分けるのが、大学の研究にもつながる姿勢です。

次に学ぶ：生物の単元一覧 ／ 生物の大学受験学習順 ／ 確率を数学から復習する

東大・大学受験の理科へ｜公式より先に、条件を答案にする

東京大学の公式な学習指針では、理科について、基礎概念・法則の理解や、自然現象の観察・実験と関係づけた学習が説明されています。ここでの例題は、その学びへつなぐ独自教材です。特定年度の東大出題を再現したものではありません。東京大学公式の教科別学習指針

• 気体：「一定量・理想気体・絶対温度」を明示してから前後の式を立てる。気体が溶けたり反応したりしていないかも確認する。
• 力学：「反応中」と「制動中」を分け、加速度の向きと使う時間範囲を書く。求める量が変位か距離かを区別する。
• 生物：「個体ごとの確率」と「観測された個数」を区別する。独立性や交配の条件を変えたら、計算も見直す。

発展問題に進むときは、条件→モデル→式や図→計算→元の現象での意味→限界の順に説明してみてください。式だけ合っていても、条件が違えば別の現象を計算していることがあります。

自分の答案を見ても誤りの原因が分からないときは、数強塾グループのマンツーマン指導を相談する際に、希望科目・教材・途中の答案をお知らせください。今の単元だけでなく、どの前提へ戻るかを整理する材料になります。