数学I・Aの要点辞典｜全9単元の公式・定石・つまずきポイントと例題45問

例題1-1（2文字の因数分解）　2x² + 5xy + 2y² − x − 5y − 3 を因数分解してください。

考え方：x についても y についても2次なので、どちらでもよいのですが、ここでは x について降べきの順に整理します。

2x² + (5y − 1)x + (2y² − 5y − 3)

定数項にあたる部分をまず因数分解します。2y² − 5y − 3 = (2y + 1)(y − 3)。

そこで (x + ●)(2x + ▲) の形を考え、● と ▲ に 2y + 1 と y − 3 を割り当てて、x の係数が 5y − 1 になる組み合わせを探します。

(x + 2y + 1)(2x + y − 3) を展開すると、x の係数は (y − 3) + 2(2y + 1) = 5y − 1。合いました。

答え：(x + 2y + 1)(2x + y − 3)

確認：y = 0 とすると元の式は 2x² − x − 3、答えは (x + 1)(2x − 3)。展開すると 2x² − x − 3 で一致します。文字に具体的な数を入れて確かめるのは、因数分解の検算の定番です。

例題1-2（二重根号）　√(7 + 4√3) を簡単にしてください。

考え方：まず √ の前を2にそろえます。4√3 = 2 × 2√3 = 2√12 なので

√(7 + 2√12)

次に「足して7、かけて12」になる2数を探します。3と4です。

√(7 + 2√12) = √4 + √3 = 2 + √3

確認：(2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3。合っています。

なぜこの手順なのか：(√a + √b)² = a + b + 2√(ab) だからです。中身を「和 + 2√積」の形に整えれば、あとは和と積から2数を求めるという、対称式でおなじみの作業になります。

例題1-3（絶対値つき不等式）　|x − 1| + |x + 2| ≤ 5 を解いてください。

考え方：中身が0になるのは x = 1 と x = −2。ここが境目です。

・x ≤ −2 のとき：(1 − x) + (−x − 2) = −2x − 1 ≤ 5 → x ≥ −3。合わせて −3 ≤ x ≤ −2
・−2 ≤ x ≤ 1 のとき：(1 − x) + (x + 2) = 3 ≤ 5 はつねに成り立つので、この範囲すべて
・1 ≤ x のとき：(x − 1) + (x + 2) = 2x + 1 ≤ 5 → x ≤ 2。合わせて 1 ≤ x ≤ 2

答え：−3 ≤ x ≤ 2

確認：x = −3 で 4 + 1 = 5、x = 2 で 1 + 4 = 5、x = 3 なら 2 + 5 = 7 で外れます。

別の見方：|x − 1| + |x + 2| は「数直線上で、1 と −2 の2点までの距離の和」です。2点の間（−2 ≤ x ≤ 1）ではその和がつねに3で一定、外に出ると出た分だけ増えていきます。この見方をすると、真ん中の場合が定数になる理由がそのまま見えます。

例題1-4（対称式）　x = 2 + √3、y = 2 − √3 のとき、x² + y² と x³ + y³ を求めてください。

考え方：x と y をそのまま2乗・3乗するのは大変です。先に和と積を出します。

x + y = 4、xy = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1

x² + y² = (x + y)² − 2xy = 16 − 2 = 14
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 64 − 12 = 52

確認：x ≒ 3.73、y ≒ 0.27 なので、x² + y² ≒ 13.9 + 0.07 = 14、x³ + y³ ≒ 52.0。合っています。

ここが効く場面：xy = 1 のように積がきれいになる組は、x と 1/x の関係になっていることが多く、そのまま x + 1/x 型の問題につながります。

例題1-5（文字を含む係数の方程式）　a を定数とするとき、方程式 ax² + (a + 1)x + 1 = 0 を解いてください。

考え方：x² の係数が a という文字です。「2次方程式」とは書かれていないので、a = 0 なら1次方程式になります。最高次の係数が0になる場合を先に分ける——これがこの型の第一手です。

① a = 0 のとき：式は x + 1 = 0 となり、x = −1。

② a ≠ 0 のとき：2次方程式です。左辺は因数分解できて
　ax² + (a + 1)x + 1 = (ax + 1)(x + 1) = 0
よって x = −1/a または x = −1。

答え：a = 0 のとき x = −1、a ≠ 0 のとき x = −1, −1/a（a = 1 のときは −1/a = −1 となり重解）

確認：因数分解した式を展開して戻すと (ax + 1)(x + 1) = ax² + ax + x + 1 = ax² + (a + 1)x + 1。もとの式に一致します。
数を入れても確かめられます。a = 2 なら 2x² + 3x + 1 = 0 で解は −1 と −1/2、a = −3 なら解は −1 と 1/3。どちらも −1/a と合っています。
「解の個数を答えよ」と聞かれたら、さらに a = 1 の場合を分けることになります（このとき2つの解が重なって1個）。問われているのが「解」なのか「解の個数」なのかで、分ける場所が変わります。文字が係数に入っている問題では、「その文字が特別な値になるとき、式の形そのものが変わらないか」を毎回疑ってください。

例題2-1（軸が動く最大最小・3パターン）　f(x) = x² − 2ax + 3（0 ≤ x ≤ 2）の最小値 m(a) と最大値 M(a) を、a の値で場合分けして求めてください。

まず平方完成：f(x) = (x − a)² + 3 − a²。軸は x = a、下に凸です。

最小値（軸で3分割）
・a < 0：軸が左外 → 左端 x = 0 で m(a) = 3
・0 ≤ a ≤ 2：軸が中 → 頂点で m(a) = 3 − a²
・2 < a：軸が右外 → 右端 x = 2 で m(a) = 7 − 4a

最大値（中央 x = 1 で2分割）
・a < 1：軸が中央より左 → 遠いほうの端 x = 2 で M(a) = 7 − 4a
・1 ≤ a：軸が中央より右 → x = 0 で M(a) = 3

確認：a = 1.5 なら m = 3 − 2.25 = 0.75、M = 3。実際に f(x) = x² − 3x + 3 を 0 ≤ x ≤ 2 で調べると、頂点 x = 1.5 で 0.75、端は f(0) = 3、f(2) = 1。合っています。

気づいてほしいこと：最小の切れ目は a = 0, 2、最大の切れ目は a = 1 で、まったく別の場所です。同じ場合分けで済ませようとすると、ここで必ず崩れます。

例題2-2（すべての実数で成り立つ条件）　すべての実数 x に対して x² + 2ax + a + 6 > 0 が成り立つような a の範囲を求めてください。

考え方：x² の係数が正なので、このグラフは下に凸。すべての x で正ということは、グラフが x 軸に一度も触れないということです。

D / 4 = a² − (a + 6) < 0　→　a² − a − 6 < 0　→　(a − 3)(a + 2) < 0　→　−2 < a < 3

答え：−2 < a < 3

端点が入らない理由の確認：a = 3 のとき式は x² + 6x + 9 = (x + 3)²。x = −3 で0になるので、「> 0」は成り立ちません。もし問題が ≥ 0 なら a = 3 は答えに含まれます。等号の有無で端点が入るか変わるので、問題文を読み直してください。

例題2-3（解の配置）　2次方程式 x² − 2ax + a + 2 = 0 が 0 < x < 3 の範囲に異なる2つの実数解をもつような a の範囲を求めてください。

考え方：f(x) = x² − 2ax + a + 2 とおき、「0と3の間で x 軸を2回またぐ絵」を描きます。その絵になるために必要なものを読み取ると、次の4つです。

① 異なる2実解：D / 4 = a² − (a + 2) > 0 → (a − 2)(a + 1) > 0 → a < −1 または a > 2
② 軸が範囲の中：0 < a < 3
③ 左端で正：f(0) = a + 2 > 0 → a > −2
④ 右端で正：f(3) = 11 − 5a > 0 → a < 11/5

4つすべてを満たすのは 2 < a < 11/5。

答え：2 < a < 11/5

確認：a = 2.1 なら解は約 1.54 と 2.66 で、どちらも 0 < x < 3 の中。a = 2.2（＝ 11/5）だと解が 1.4 と 3 になり、右の解がちょうど3に乗ってしまうので外れます。a = 2 は重解になるので「異なる2つ」に反します。境目がなぜ外れるのかを1つずつ確かめると、4条件の意味が腑に落ちます。

なぜ端点の符号を見るのか：下に凸のグラフが 0 と 3 の間で2回 x 軸を切るなら、その外側（x = 0 と x = 3）ではグラフは上にいるはずです。だから f(0) > 0、f(3) > 0。絵から読み取っているだけで、覚えている公式はありません。

例題2-4（定義域が動く型）　f(x) = x² − 4x + 5 の、a ≤ x ≤ a + 2 における最小値 m(a) を求めてください。

考え方：例題2-1は軸が動く型でしたが、こちらは軸が固定で、区間のほうが動く型です。動くものが入れかわっただけで、見るところは同じ——軸が区間のどこにあるかです。

f(x) = (x − 2)² + 1 なので軸は x = 2 に固定。区間 [a, a + 2] が数直線の上を左から右へ動いていく絵を思い浮かべると、起こることは3通りしかありません。

① 区間が軸より左（a + 2 < 2 つまり a < 0）：区間の中では右下がりなので、最小は右端。
　m(a) = f(a + 2) = (a + 2)² − 4(a + 2) + 5 = a² + 1
② 軸が区間の中（a ≤ 2 ≤ a + 2 つまり 0 ≤ a ≤ 2）：最小は頂点。m(a) = 1
③ 区間が軸より右（2 < a）：区間の中では右上がりなので、最小は左端。
　m(a) = f(a) = a² − 4a + 5

答え：a < 0 のとき m(a) = a² + 1、0 ≤ a ≤ 2 のとき m(a) = 1、2 < a のとき m(a) = a² − 4a + 5

確認：境目でつながっているかを見ます。a = 0 では ① が 0 + 1 = 1、② も 1。a = 2 では ② が 1、③ が 4 − 8 + 5 = 1。両方の境目で値が一致していれば、場合分けの切れ目を取り違えていないことの手がかりになります。逆にここでずれていたら、不等号のどちらかが間違っています。

例題2-5（2次関数の決定）　次の2次関数を求めてください。(1) 頂点が (2, −3) で、点 (0, 1) を通る。(2) 3点 (0, 1)、(1, 0)、(2, 3) を通る。

考え方：2次関数を決める問題は、与えられた条件を見て「どの形で置くか」を先に決めると、そのあとの計算量がはっきり変わります。

　頂点や軸がわかっている　→　y = a(x − p)² + q
　x 軸との交点がわかっている　→　y = a(x − α)(x − β)
　通る点が3つ与えられている　→　y = ax² + bx + c

どの形で置いても答えは同じですが、未知数が少なくて済む置き方があるなら、そこから考え始めたほうが速く終わります。条件から形の見当をつけるところまでが、この型でいちばん効くところです。

(1)　頂点がわかっているので y = a(x − 2)² − 3 と置けます。未知数は a だけ。
点 (0, 1) を通るので
　1 = a(0 − 2)² − 3 = 4a − 3　→　a = 1
　y = (x − 2)² − 3 = x² − 4x + 1

(2)　頂点の情報がないので y = ax² + bx + c と置きます。
　(0, 1) より　c = 1
　(1, 0) より　a + b + 1 = 0　→　a + b = −1　……①
　(2, 3) より　4a + 2b + 1 = 3　→　2a + b = 1　……②
　②−① より a = 2、①に戻して b = −3
　y = 2x² − 3x + 1

答え：(1) y = x² − 4x + 1　(2) y = 2x² − 3x + 1

確認：求めた式に、与えられた点を全部入れ直すのがいちばん速い検算です。
(1) は x = 0 のとき 1、x = 2 のとき 4 − 8 + 1 = −3。通る点も頂点も合っています。
(2) は x = 0, 1, 2 を入れると順に 1, 0, 3。3点とも通っています。
(2) を頂点の形で置くと a、p、q の3つが未知のまま2次の式が3本でき、計算が重くなります。「3点なら一般形」と形を選べたかどうかで、かかる時間が変わります。

例題3-1（3辺から、角・面積・内接円・外接円）　BC = 7、CA = 5、AB = 3 の三角形 ABC について、∠A、面積 S、内接円の半径 r、外接円の半径 R を求めてください。

① 角：3辺がわかっているので余弦定理です。
cosA = (5² + 3² − 7²) / (2 × 5 × 3) = (25 + 9 − 49) / 30 = −15/30 = −1/2
よって ∠A = 120°。cos が負なので鈍角だとわかります。

② 面積：2辺と間の角がそろいました。
S = (1/2) × 5 × 3 × sin120° = (15/2) × (√3/2) = 15√3 / 4（約 6.50）

③ 内接円：s = (7 + 5 + 3)/2 = 15/2 なので
r = S / s = (15√3/4) ÷ (15/2) = √3 / 2（約 0.87）

④ 外接円：正弦定理から
2R = a / sinA = 7 ÷ (√3/2) = 14/√3　→　R = 7√3 / 3（約 4.04）

確認：ヘロンの公式でも面積を出してみます。√(7.5 × 0.5 × 2.5 × 4.5) = √42.1875 ≒ 6.495。一致しました。面積は2通りで出せるので、検算に使ってください。

例題3-2（答えが2通りになる場面）　三角形 ABC で ∠A = 30°、a = 1、b = √2 のとき、∠B を求めてください。

考え方：辺 a と対角 A のペアがそろっているので正弦定理です。
a / sinA = b / sinB　→　sinB = b sinA / a = √2 × (1/2) ÷ 1 = √2/2

0° < B < 180° で sinB = √2/2 となるのは B = 45° と B = 135° の2つ。

両方を検討します。
・B = 45° のとき C = 105°。角の和は180°で成立。
・B = 135° のとき C = 15°。こちらも成立。

答え：∠B = 45° または 135°（三角形が2通りある）

ここが落とし穴：B = 45° だけ書いて終わると半分しか答えていません。逆に、もし ∠A = 60° だったなら B = 135° は A + B = 195° > 180° となって不成立なので、そのときは1つに決まります。正弦定理で角を出したら、必ず「もう一方も成り立つか」を確かめる。これが定石です。

例題3-3（空間図形は平面に落とす）　1辺の長さが6の正四面体について、高さと体積を求めてください。

考え方：頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面（正三角形）の重心に一致します。ここを押さえると、あとは直角三角形1つの平面問題になります。

① 底面の重心までの距離：1辺6の正三角形で、頂点から重心までの長さは、外接円の半径にあたります。中線の長さが 6 × (√3/2) = 3√3 で、重心は中線を 2 : 1 に分けるので、頂点から重心までは 3√3 × (2/3) = 2√3。

② 高さ：斜辺6、底辺 2√3 の直角三角形で三平方の定理。
h = √(6² − (2√3)²) = √(36 − 12) = √24 = 2√6（約 4.90）

③ 体積：底面積は (√3/4) × 6² = 9√3（約 15.59）なので
V = (1/3) × 9√3 × 2√6 = 6√18 = 18√2（約 25.46）

確認：座標を置いて計算しても高さ 4.899、体積 25.456 で一致します。

ここで使った定石：空間の問題を、「底面の重心を通る垂線」という1本の線で平面に落としただけです。立体のまま考えようとすると詰まりますが、断面を1枚決めた瞬間に中学の三平方の定理で終わります。

例題3-4（円に内接する四角形）　円に内接する四角形 ABCD で AB = 2、BC = 6、CD = 6、DA = 8 です。∠B と AC、四角形の面積を求めてください。

考え方：対角線 AC を引くと、三角形が2つに分かれます。同じ AC を、両方の三角形から余弦定理で表す——これが使う手です。ここで効くのが「円に内接する四角形の対角の和は 180°」で、∠D = 180° − ∠B だから cos D = −cos B。符号だけが逆になります。

△ABC から：AC² = 2² + 6² − 2·2·6·cos B = 40 − 24 cos B
△ACD から：AC² = 6² + 8² − 2·6·8·cos D = 100 + 96 cos B

2つを等しいとおいて 40 − 24 cos B = 100 + 96 cos B → −120 cos B = 60 → cos B = −1/2。よって ∠B = 120°（∠D = 60°）。

これを戻して AC² = 40 − 24 × (−1/2) = 52、AC = 2√13。

面積は2つの三角形の和で、(1/2)·2·6·sin 120° + (1/2)·6·8·sin 60° = 3√3 + 12√3 = 15√3。

答え：∠B = 120°、AC = 2√13、面積 15√3

確認：cos B が負になったので ∠B は鈍角、∠D は鋭角。向かい合う角が鈍角と鋭角の組になるのは自然です。もう一方の対角線 BD も同じ手で出すと BD = 30/√13 で、AC × BD = 60、AB × CD + BC × DA = 12 + 48 = 60。2つが一致するので、この四角形が確かに円に内接していることまで確かめられます。

例題3-5（測量への応用）　水平な地面の上に塔が立っています。地点 A から塔の先端を見上げる角が 30°、A から塔に向かって 60 m 近づいた地点 B からは 45° でした。塔の高さを求めてください。ただし塔の根もとと A、B は一直線上にあるものとします。

考え方：三角比の応用問題では、求めたいものを文字でおいて、同じ長さを2通りに表すのが基本の手です。ここでは塔の高さを h とおき、根もとから A、B までの距離をそれぞれ h で表します。
直角三角形で「高さ」と「底辺」の関係を結ぶのは tan です。どの三角比を使うかは、「与えられた辺」と「求める辺」の組で決まります。

塔の根もとを P とすると
　tan30° = h / PA より PA = h / tan30° = √3 h
　tan45° = h / PB より PB = h / tan45° = h

AB = PA − PB = 60 なので
　√3 h − h = 60　→　(√3 − 1)h = 60　→　h = 60 / (√3 − 1)

分母を有理化して
　h = 60(√3 + 1) / {(√3 − 1)(√3 + 1)} = 60(√3 + 1) / 2 = 30(√3 + 1)

答え：30(√3 + 1) m（約 82.0 m）

確認：h ≒ 81.96 として戻すと、PA = √3 h ≒ 141.96、PB = h ≒ 81.96。差は 60.00 で、条件と合います。
仰角が大きいほど塔に近いので PB < PA。引く順を逆にすると負の値が出るので、そこで気づけます。図を粗くでも描いて、A と B のどちらが近いかを確かめてから式を立ててください。
なお 45° の三角形は直角二等辺なので PB = h。特別な角が混じっているときは、そこから先に埋めると式が短くなります。

例題4-1（3つの集合の個数）　1以上100以下の自然数のうち、2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもないものは何個ありますか。

考え方：「どれでもない」を直接数えるのは大変です。まず「どれかである」を数えて、全体から引きます（余事象の考え方）。

2の倍数 50個、3の倍数 33個、5の倍数 20個。
2かつ3（＝6の倍数）16個、2かつ5（＝10の倍数）10個、3かつ5（＝15の倍数）6個。
2かつ3かつ5（＝30の倍数）3個。

50 + 33 + 20 − 16 − 10 − 6 + 3 = 74

よって求める個数は 100 − 74 = 26（個）。

確認：実際に1から100まで数え上げても26個です。

ここで使った定石：「〜でない」を見たら余事象（第7章の確率でも同じ手を使います）。そして重なりの処理は、ベン図を描いて「この部分をいま何回数えたか」を確かめる。公式の符号を暗記しなくても再現できます。

例題4-2（必要条件・十分条件の判定）　次の（1）〜（3）について、左の条件は右の条件であるための何条件か答えてください。

(1) x > 1 は x² > 1 であるための？
(2) xy = 0 は x = 0 であるための？
(3) x + y > 2 かつ xy > 1 は x > 1 かつ y > 1 であるための？

(1)　x > 1 ⇒ x² > 1：真。
逆 x² > 1 ⇒ x > 1：偽（反例 x = −2）。
→ 十分条件だが必要条件ではない。

(2)　xy = 0 ⇒ x = 0：偽（反例 x = 1, y = 0）。
逆 x = 0 ⇒ xy = 0：真。
→ 必要条件だが十分条件ではない。

(3)　x > 1 かつ y > 1 ならば、和は2より大きく、積も1より大きい。だから ← の向きは真。
逆向きは偽です。反例：x = 4, y = 0.5 とすると x + y = 4.5 > 2、xy = 2 > 1 ですが y > 1 ではありません。
→ 必要条件だが十分条件ではない。

気づいてほしいこと：どれも「両向きを別々に調べ、偽のほうには反例を1つ出す」という同じ作業です。(3) のように、成り立ちそうに見えるものほど反例を探す価値があります。

例題4-3（対偶を使う）　整数 n について、n² が奇数ならば n は奇数であることを示してください。

考え方：仮定の「n² が奇数」は使いにくい形です（n の形が決まらない）。そこで対偶を考えます。

対偶は「n が偶数ならば n² は偶数」。こちらは仮定から n の形が書けるので、すぐ進みます。

n が偶数なら、整数 k を用いて n = 2k と書けます。このとき
n² = 4k² = 2 × 2k²
2k² は整数なので、n² は偶数です。

対偶が真なので、もとの命題も真。（証明終）

なぜ対偶にしたのか：「仮定を式で書けるほうを選んだ」だけです。対偶は「元と真偽が一致する」ので、扱いやすいほうを選んでよい。これが対偶の使い道です。

例題4-4（背理法）　√2 が無理数であることを用いて、有理数 a, b が a + b√2 = 0 を満たすならば a = b = 0 であることを示してください。

考え方：結論が「0である」という否定しにくい形なので、否定して矛盾を出します。

b ≠ 0 と仮定します。すると b√2 = −a の両辺を b で割って
√2 = −a / b

a, b は有理数で b ≠ 0 なので、右辺は有理数です。ところが左辺の √2 は無理数。これは矛盾です。

よって b = 0。これを元の式に戻すと a = 0。（証明終）

ここが背理法の強み：b ≠ 0 と仮定したからこそ「b で割る」という操作ができました。結論を否定すると、使える条件が1つ増える。これが背理法を選ぶ理由です。

この結果の使い道：a + b√2 = c + d√2（a, b, c, d は有理数）なら a = c かつ b = d、という係数比較が使えるようになります。無理数がからむ等式で、ひんぱんに出てきます。

例題4-5（ド・モルガンの法則）　全体集合を U = {1, 2, 3, …, 20}、A を3の倍数の集合、B を4の倍数の集合とします。(1) n(A ∪ B) を求めてください。(2) n(Ā ∩ B̄) を求めてください。(3) 「x は3の倍数であり、かつ4の倍数である」の否定を書いてください。

考え方：(2) を、3の倍数でも4の倍数でもない数を1つずつ数えて出すこともできますが、ド・モルガンの法則で Ā ∩ B̄ = (A ∪ B)‾ と読みかえると、(1) の答えがそのまま使えます。「両方とも〜でない」は「どちらかである、の否定」——この言いかえが見えるかどうかで、手数がまるで変わります。

(1)　A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} で n(A) = 6、B = {4, 8, 12, 16, 20} で n(B) = 5。
両方に入るのは12の倍数なので A ∩ B = {12}、n(A ∩ B) = 1。
　n(A ∪ B) = 6 + 5 − 1 = 10

(2)　Ā ∩ B̄ = (A ∪ B)‾ なので
　n(Ā ∩ B̄) = n(U) − n(A ∪ B) = 20 − 10 = 10

(3)　「かつ」の否定は「または」で、それぞれの条件も否定になります。
　「x は3の倍数でない、または4の倍数でない」

答え：(1) 10　(2) 10　(3) 3の倍数でない、または4の倍数でない

確認：(2) は実際に書き出しても確かめられます。1, 2, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 の10個。合っています。20個くらいなら書き出せますが、数が大きくなると法則を使うほうが速いので、両方できるようにしておくと安心です。
(3) でいちばん多い間違いは、条件だけ否定して「かつ」をそのまま残すことです。「3の倍数でない、かつ4の倍数でない」は、じつは (2) の集合を表していて、もとの否定にはなっていません。接続詞も必ず入れかわる——これがド・モルガンの中身です。
記号で見ると (A ∩ B)‾ = Ā ∪ B̄、(A ∪ B)‾ = Ā ∩ B̄。バーが外れるとき、∩ と ∪ が入れかわると覚えるより、「両方そろっている、を打ち消すには、どちらか欠けていればよい」と読むほうが、条件の否定にそのまま使えます。

例題5-1（5数要約と散らばり）　次の8個のデータについて、平均値・中央値・四分位数・範囲・四分位範囲を求めてください。

2, 4, 4, 5, 7, 9, 11, 12

平均値：合計は 54 なので 54 ÷ 8 = 6.75

中央値：8個（偶数）なので、4番目と5番目の平均。(5 + 7) ÷ 2 = 6

四分位数：中央値で上下に分けます。
下位4個 2, 4, 4, 5 の中央値 → Q₁ = (4 + 4) ÷ 2 = 4
上位4個 7, 9, 11, 12 の中央値 → Q₃ = (9 + 11) ÷ 2 = 10

範囲：12 − 2 = 10　／　四分位範囲：10 − 4 = 6

ここに注目：平均値 6.75 が中央値 6 より大きくなっています。これは大きいほうに裾が伸びていることの表れです。平均と中央値のズレの向きから、分布の偏りが読み取れます。

例題5-2（分散を2通りで出す）　例題5-1のデータの分散と標準偏差を求めてください。

計算用の式を使います。x² の合計は
4 + 16 + 16 + 25 + 49 + 81 + 121 + 144 = 456
x² の平均は 456 ÷ 8 = 57

分散 = 57 − 6.75² = 57 − 45.5625 = 11.4375
標準偏差 = √11.4375 ≒ 3.38

確認：定義どおり「偏差の2乗の平均」で計算しても 11.4375 です。2通りで出せる量は、必ず検算に使えます。

なぜ計算用の式が速いのか：定義どおりだと、平均 6.75 との差を8回とってから2乗することになり、小数の計算が8回発生します。計算用の式なら、整数の2乗を8個足すだけで済みます。

例題5-3（変量の変換）　例題5-1のデータ x に対して u = 2x − 5 という新しい変量を作ります。u の平均・分散・標準偏差を求めてください。

公式を使わずに、意味から考えます。「2倍して5引く」は、データ全体を2倍に引き伸ばしてから、5だけ左にずらす操作です。

・平均は、引き伸ばしもずらしも受けます。2 × 6.75 − 5 = 8.5
・分散は、ずらしの影響を受けません（全体が同じだけ動いても散らばりは変わらない）。引き伸ばしだけが効き、2乗で効きます。2² × 11.4375 = 45.75
・標準偏差は |2| × 3.38 ≒ 6.76

確認：実際に u のデータ（−1, 3, 3, 5, 9, 13, 17, 19）から直接計算しても、平均 8.5、分散 45.75、標準偏差 6.76 になります。

もし u = −2x + 5 だったら：平均は −2 × 6.75 + 5 = −8.5、分散は (−2)² × 11.4375 = 45.75（同じ）、標準偏差は |−2| × 3.38 ≒ 6.76（同じ）。散らばりは向きに関係しません。

例題5-4（相関係数）　次の5組のデータについて、相関係数を求めてください。

x：1, 2, 3, 4, 5　／　y：2, 4, 5, 4, 10

平均：x̄ = 3、ȳ = 5

偏差の表を作ります。

共分散：(6 + 1 + 0 − 1 + 10) ÷ 5 = 16 ÷ 5 = 3.2

それぞれの標準偏差：
s_x² = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) ÷ 5 = 2　→　s_x = √2 ≒ 1.41
s_y² = (9 + 1 + 0 + 1 + 25) ÷ 5 = 7.2　→　s_y ≒ 2.68

r = 3.2 ÷ (1.41 × 2.68) ≒ 0.84

読み取り：正の相関がかなり強い、といえます。ただしデータはたった5組で、しかも (5, 10) という1点が大きく効いています。この点を外すと相関はぐっと弱くなります。相関係数の値だけでなく、散布図と点の数を見る。これが判断の作法です。

例題5-5（仮説検定の考え方）　あるお茶について「作り方を変えた新しいほうが好まれる」という主張がある。10人に飲み比べてもらったところ、9人が新しいほうを選んだ。基準を 5% として、この主張を認めてよいか調べてください。また、9人ではなく8人だった場合はどうなりますか。

考え方：主張したいことを正面から示すのは難しいので、いったん反対の側に立って「差はない」と考えてみて、その考えのもとで実際の結果がどれくらい起こりにくいかを確かめます。起こりにくすぎるなら、はじめに置いた「差はない」という考えのほうに無理があった、と判断します。

ここでは「味に差はなく、どちらを選ぶかは五分五分」と考えます。すると10人の選び方は 2¹⁰ = 1024 通りで、どれも同じ確率で起こることになります。

9人だった場合：新しいほうを選ぶ人が9人以上になるのは、だれが選んだかで
　₁₀C₉ + ₁₀C₁₀ = 10 + 1 = 11 通り（C の使い方は第6章 場合の数）
　確率は 11 / 1024 ≒ 0.011、つまり約 1.1%。
基準の 5% より小さく、「五分五分」と考えるには起こりにくすぎます。主張は認めてよい、となります。

8人だった場合：8人以上になるのは
　₁₀C₈ + ₁₀C₉ + ₁₀C₁₀ = 45 + 10 + 1 = 56 通り
　確率は 56 / 1024 ≒ 0.055、つまり約 5.5%。
基準の 5% を超えるので、五分五分でもこれくらいは起こることになり、主張は認められません。

答え：9人なら認めてよい（約 1.1%）。8人だと認められない（約 5.5%）。

確認：「認められない」ことと「差がないと示せた」ことは違います。8人の場合に言えるのは「五分五分でも起こりうる範囲だった」までで、差がないことを証明したわけではありません。ここを取り違えた答案がとても多いところです。
また、同じ「8割」でも人数が増えると結論が変わります。100人中80人なら、五分五分と考えたときにそうなる確率は10億分の1より小さく、はっきり認められます。割合だけでなく、何人で調べたかが効いてくるということです。

例題6-1（隣り合う・隣り合わない）　A〜Fの6人を1列に並べます。(1) AとBが隣り合う並べ方、(2) AとBが隣り合わない並べ方は、それぞれ何通りですか。

(1)　A と B を1つの箱とみなすと、並べるものは「箱・C・D・E・F」の5個。並べ方は 5! = 120。
箱の中で A と B の並び方が 2! = 2 通りあるので
120 × 2 = 240（通り）

(2)　全体は 6! = 720 通り。ここから (1) を引いて
720 − 240 = 480（通り）

確認：実際にすべての並びを調べても、隣り合うのは240通りです。

別解（すきまに入れる）：C〜F の4人を並べる（4! = 24）と、両端と間にすきまが5か所できます。そこに A と B を別々に入れるので ₅P₂ = 20。24 × 20 = 480。一致します。2通りで出せると検算になります。

例題6-2（道順）　碁盤の目状の道を、地点Oから東に4区画・北に3区画進んだ地点Qまで最短で行きます。(1) 最短経路は何通りですか。(2) 途中の地点P（東に2・北に1進んだ地点）を通る経路は何通りですか。

(1)　最短経路とは、「→」を4回、「↑」を3回、合計7回進む並べ方のことです。7か所のうち「↑」を置く3か所を選べばよいので
₇C₃ = 35（通り）

(2)　O→P と P→Q に分けて、積の法則でかけます。
O→P：「→」2回・「↑」1回 → ₃C₁ = 3
P→Q：「→」2回・「↑」2回 → ₄C₂ = 6
3 × 6 = 18（通り）

ここが定石：道順を「経路」として数えるのではなく、矢印の並べ方に置きかえたのがポイントです。数える対象を変えた瞬間、組合せの式に乗ります。

例題6-3（組分け）　6人を2人ずつ3つの組に分けます。(1) 3つの部屋A・B・Cに2人ずつ入れる方法、(2) 単に3つの組に分ける方法（組に区別なし）は、それぞれ何通りですか。

(1)　部屋に名前があるので、順に選んでいくだけです。
₆C₂ × ₄C₂ × ₂C₂ = 15 × 6 × 1 = 90（通り）

(2)　組に区別がないので、同じ分け方を何回数えているかを考えます。同じ2人組の集まりでも、どれをA室・B室・C室と呼ぶかで 3! = 6 通りに数えられています。だから
90 ÷ 3! = 15（通り）

なぜ割るのかを、小さい例で確かめる：4人を2人ずつ2組に分けるとき、部屋に名前があれば ₄C₂ × ₂C₂ = 6 通り。しかし組に区別がなければ、{AB, CD}, {AC, BD}, {AD, BC} の3通りしかありません。6 ÷ 2! = 3 で合います。手で書き出せる大きさで確かめると、割る理由が納得できます。

注意：もし「2人・2人・3人」に分けるなら、人数が同じ組は2つだけなので 2! で割ります。すべての組を割るのではありません。

例題6-4（重複組合せ）　みかん・りんご・バナナの3種類の果物から、合計10個を選びます。同じ果物を何個選んでもよく、選ばない果物があってもよいとき、選び方は何通りですか。

考え方：みかんを x 個、りんごを y 個、バナナを z 個とすると
x + y + z = 10（x, y, z は0以上の整数）

これを○と仕切りの並べ方に言いかえます。○を10個並べ、そこに仕切りを2本入れると、3つの区画に分かれます。区画の○の個数が x, y, z です。

○10個と仕切り2本、合計12個の場所から、仕切りの位置2か所を選べばよいので
₁₂C₂ = 66（通り）

確認：x を0から10まで動かし、それぞれで y を0から 10 − x まで数えると 11 + 10 + … + 1 = 66。合っています。

条件がついたら：たとえば「みかんは3個以上」なら、先に3個確保して X = x − 3 と置きかえ、X + y + z = 7 の0以上の整数解を数えます（₉C₂ = 36 通り）。置きかえて元の形に戻すのが定石です。

例題6-5（円順列）　6人が円形のテーブルに座ります。(1) 座り方は何通りですか。(2) そのうち、特定の2人 A と B が隣り合う座り方は何通りですか。

考え方：円形に並べるときは、回転して重なるものを同じとみなします。だから1列の並べ方 6! を、回転の 6 通りで割ることになります。
実際の手順としては「1人を固定して、残りを1列に並べる」と考えるほうが速いです。誰か1人を席に座らせてしまえば、回転の重複はもう起きません。

(1)　1人を固定すると、残り5人を1列に並べる問題になるので
　(6 − 1)! = 5! = 120 通り

(2)　隣り合う条件は、1列のときと同じく「ひとかたまりにする」です。A と B をまとめて1人と見ると、全部で5個のものを円形に並べることになり
　(5 − 1)! = 4! = 24 通り
さらに、かたまりの中で A と B の左右が入れかわるので 2! = 2 倍。
　24 × 2 = 48 通り

答え：(1) 120 通り　(2) 48 通り

確認：割合で見ると 48 / 120 = 2/5。A から見て隣の席は左右の2つ、A 以外が座れる席は 5 つなので、B がそのどちらかに座る割合は 2/5——まったく別の考え方でも同じ値になります。数え上げの答えは、割合や別解で1度は裏を取ってください。
よくある誤りは (1) を 6! としてしまうことです。円順列で「1人固定」を忘れると、答えがちょうど人数倍だけ大きくなります。数が大きすぎないか、けたを見るだけでも気づけます。

例題7-1（余事象）　サイコロを2個同時に投げるとき、少なくとも1個は6の目が出る確率を求めてください。

考え方：正面から数えると「1個だけ6」「2個とも6」に分かれて面倒です。反対を数えます。

「1個も6が出ない」＝ 2個とも6以外。それぞれ5通りなので 5 × 5 = 25 通り。全体は 6 × 6 = 36 通り。

1 − 25/36 = 11/36

確認：36通りを全部調べても、6を含むのは11通りです。

よくある誤り：「1個目が6の確率 1/6 ＋ 2個目が6の確率 1/6 ＝ 1/3」としてしまう。これは両方6の場合を2回数えているので誤りです（正しくは 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36）。

例題7-2（反復試行）　サイコロを5回投げるとき、3の倍数の目（3または6）がちょうど2回出る確率を求めてください。

考え方：1回あたり3の倍数が出る確率は 2/6 = 1/3。出ない確率は 2/3。

5回のうちどの2回で出るかが ₅C₂ = 10 通り。それぞれの確率が (1/3)² × (2/3)³ なので

10 × (1/9) × (8/27) = 80/243（約 0.33）

ここを落とさない：₅C₂ を忘れると 8/243 になり、10分の1になってしまいます。「並び方が何通りあるか」を必ずかけるのが反復試行です。

例題7-3（条件つき確率）　袋Aには赤玉3個・白玉2個、袋Bには赤玉1個・白玉4個が入っています。どちらかの袋を等しい確率で選び、そこから玉を1個取り出したところ赤玉でした。選んだ袋がAであった確率を求めてください。

考え方：「赤が出た」とわかっている世界の中で考えます。分母は「赤が出る確率」です。

・袋Aを選び赤が出る：(1/2) × (3/5) = 3/10
・袋Bを選び赤が出る：(1/2) × (1/5) = 1/10

赤が出る確率は 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5。

求める確率は
(3/10) ÷ (2/5) = 3/4

意味を確かめる：袋を選ぶ段階ではAである確率は 1/2 でした。ところが「赤が出た」という情報を得た後では 3/4 に上がっています。Aのほうが赤が多いので、赤が出たならAだった可能性が高まる——直感とも合います。条件つき確率は、情報を得たあとに確率が更新されるという話です。

例題7-4（期待値）　サイコロを1回投げ、出た目が偶数ならその目の数だけ得点、奇数なら0点とします。得点の期待値を求めてください。

考え方：得点と確率の組を書き出し、（値 × 確率）を全部足します。

0 × (3/6) + 2 × (1/6) + 4 × (1/6) + 6 × (1/6) = (2 + 4 + 6)/6 = 2（点）

注意：期待値2点ですが、実際に2点が出る確率は 1/6 しかありません。期待値は「何回もやったときの平均」であって、いちばん出やすい値ではありません。

例題7-5（独立と排反）　1個のさいころを1回投げます。A を「偶数の目が出る」、B を「3の倍数の目が出る」とするとき、(1) P(A)、P(B)、P(A ∩ B)、P(A ∪ B) を求めてください。(2) A と B は独立ですか。排反ですか。

考え方：「独立」と「排反」は、名前が似ているだけで別のことを言っています。排反は同時に起こらない（A ∩ B が空）、独立は一方が起きても他方の確率が変わらない（P(A ∩ B) = P(A)P(B)）。確かめ方がまったく違うので、それぞれの定義に当てて調べます。

(1)　A = {2, 4, 6} なので P(A) = 3/6 = 1/2。B = {3, 6} なので P(B) = 2/6 = 1/3。
　A ∩ B = {6} なので P(A ∩ B) = 1/6。
　P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 2/3

(2)　P(A)P(B) = (1/2) × (1/3) = 1/6 で、これは P(A ∩ B) と等しいので A と B は独立。
　一方 A ∩ B = {6} は空ではないので、排反ではありません。

答え：(1) P(A) = 1/2、P(B) = 1/3、P(A ∩ B) = 1/6、P(A ∪ B) = 2/3　(2) 独立である。排反ではない。

確認：A ∪ B = {2, 3, 4, 6} を直接数えると 4/6 = 2/3 で、公式の結果と合います。和事象は書き出して数えられるので、公式を使ったら必ず数え直してください。
この問題が示しているのは、独立と排反は同時に成り立ちうる関係ではなく、まったく別の話だということです。むしろ確率が0でない2つの事象が排反なら、それらは独立になりません——排反だと P(A ∩ B) = 0 なのに P(A)P(B) は0でないからです。「排反だから独立」と書いてしまうのが、この単元でいちばん多い誤りです。

例題8-1（約数の個数と総和）　360の正の約数の個数と、その総和を求めてください。

考え方：まず素因数分解します。
360 = 2³ × 3² × 5

個数：(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24（個）

総和：(1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 × 13 × 6 = 1170

なぜこの式になるのか：総和の式を展開すると、2 の欄から1つ、3 の欄から1つ、5 の欄から1つ選んでかけた項がすべて現れます。それがちょうど360のすべての約数です。だから展開結果が総和になります。公式を覚えるより、この仕組みを1度確かめるほうが忘れません。

確認：360の約数を実際に列挙すると24個、合計1170になります。

例題8-2（1次不定方程式）　5x + 3y = 100 を満たす正の整数 x, y の組をすべて求めてください。

手順1：1組見つける。まず 5x + 3y = 1 を考えると、x = 2, y = −3 で成り立ちます（10 − 9 = 1）。両辺を100倍して x = 200, y = −300 が1組の解。
※ もっと簡単に、x = 2 のとき 3y = 90, y = 30 と気づいてもかまいません。見つけやすい組を使って構いません。

手順2：一般解を作る。5x + 3y = 100 と 5·2 + 3·30 = 100 を辺々引くと
5(x − 2) + 3(y − 30) = 0　すなわち　5(x − 2) = −3(y − 30)

5と3は互いに素なので、x − 2 は3の倍数。x − 2 = 3k とおくと
x = 3k + 2,　y = 30 − 5k（k は整数）

手順3：正の整数という条件で絞る。
x > 0 より k ≥ 0（k は整数なので k > −2/3 から）
y > 0 より 30 − 5k > 0、つまり k < 6、すなわち k ≤ 5

よって k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 の6組：
(x, y) = (2, 30), (5, 25), (8, 20), (11, 15), (14, 10), (17, 5)

確認：5·17 + 3·5 = 85 + 15 = 100。他の組も同様に成り立ちます。

覚え方：x は y の係数ずつ、y は x の係数ずつ動く（ここでは x が3ずつ、y が5ずつ）。動く向きは逆です。

例題8-3（余りによる分類）　n を整数とするとき、n² + n + 1 は5の倍数にならないことを示してください。

考え方：n は無限にありますが、5で割った余りは 0, 1, 2, 3, 4 の5種類しかありません。この5つを全部調べれば、すべての整数を調べたことになります。

どの場合も余りは 1, 3, 2, 3, 1 で、0になりません。よって n² + n + 1 は5の倍数になりません。（証明終わり）

書き方の例：n = 5k + 2 のときは
n² + n + 1 = (5k+2)² + (5k+2) + 1 = 25k² + 25k + 7 = 5(5k² + 5k + 1) + 2
のように、5でくくった形＋余りを作れば、余りが2だとはっきり示せます。

この定石が効く場面：「〜の倍数である／ならないことを示せ」は、ほぼこの方法です。3の倍数なら3通り、4の倍数なら4通りに分けます。

例題8-4（n 進法）　(1) 5進法の 2143₍₅₎ を10進法で表してください。(2) 10進法の100を7進法で表してください。

(1)　右から順に 5⁰, 5¹, 5², 5³ の重みをかけて足します。
2 × 125 + 1 × 25 + 4 × 5 + 3 × 1 = 250 + 25 + 20 + 3 = 298

(2)　100を7で割り続け、余りを下から読み上げます。
100 ÷ 7 = 14 余り 2
14 ÷ 7 = 2 余り 0
2 ÷ 7 = 0 余り 2
下から読んで 202₍₇₎

確認：2 × 49 + 0 × 7 + 2 × 1 = 98 + 2 = 100。合っています。

注意：余りは下から上に読みます。上から読むと逆になります。変換したら必ず戻して検算してください。

例題8-5（積の形に持ち込む）　xy − 2x − 3y = 0 を満たす正の整数 x、y の組をすべて求めてください。

考え方：文字が2つで式が1つなので、そのままでは解が決まりません。こういうときに使うのが「積の形に持ち込む」——(　)(　) = 定数 の形にできれば、候補が有限個に絞れます。整数問題では、この形が作れるかをまず疑ってください。

x でくくると x(y − 2) − 3y = 0。ここで −3y を −3(y − 2) − 6 と書き直すと
　x(y − 2) − 3(y − 2) − 6 = 0　→　(x − 3)(y − 2) = 6

ここからは 6 の約数の組を書き出すだけです。x − 3 と y − 2 はどちらも整数なので、負の組も忘れずに並べます。

正の整数という条件で、右の4組は落ちます。

答え：(x, y) = (4, 8), (5, 5), (6, 4), (9, 3)

確認：4組とも元の式に戻して確かめます。(4, 8) なら 32 − 8 − 24 = 0、(5, 5) なら 25 − 10 − 15 = 0、(6, 4) なら 24 − 12 − 12 = 0、(9, 3) なら 27 − 18 − 9 = 0。すべて成り立ちます。
この型でいちばん多い誤りは負の約数の組を書き忘れることです。今回はたまたま全部落ちましたが、条件が「整数」なら残ります。まず約数の組をすべて並べ、そのあとで条件に合わないものを落とす——この順にすると、拾い忘れが起きません。

例題9-1（メネラウス）　三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eがあり、AD : DB = 2 : 1、BE : EC = 3 : 2 です。直線DEと直線ACの交点をFとするとき、AF : FC を求めてください。

考え方：直線DEが三角形ABCを横切っているので、メネラウスの定理の場面です。

三角形ABCと直線DEFについて、A → D → B → E → C → F → A の順にたどると
(AD/DB) × (BE/EC) × (CF/FA) = 1

代入して
(2/1) × (3/2) × (CF/FA) = 1　→　3 × (CF/FA) = 1　→　CF/FA = 1/3

よって AF : FC = 3 : 1

座標で検算：A(0, 0), B(3, 0), C(0, 3) とおきます。
・D は AB を 2 : 1 に内分するので D(2, 0)
・E は BC を 3 : 2 に内分するので E(6/5, 9/5)
直線DEの傾きは (9/5 − 0) ÷ (6/5 − 2) = (9/5) ÷ (−4/5) = −9/4。
式は y = −(9/4)(x − 2) で、x = 0 を代入すると y = 9/2。よって F(0, 9/2)。
AF = 9/2、FC = |9/2 − 3| = 3/2 なので
AF : FC = (9/2) : (3/2) = 3 : 1。定理の答えと一致しました。

ここが大事：座標の F(0, 9/2) は、C(0, 3) を通り越した位置にあります。つまりFは線分ACの外にあり、AC を 3 : 1 に外分しています。メネラウスでは交点が辺の外に出ることがふつうです。「比は出たのに図と合わない」と感じたら、外分になっていないかを疑ってください。

例題9-2（方べきの定理）　円の外部の点Pから円に引いた直線が、円と2点A、Bで交わり、PA = 3, PB = 8 です。またPから引いた接線の接点をTとするとき、PT の長さを求めてください。

考え方：接線がある方べきの定理は PA · PB = PT²。

PT² = 3 × 8 = 24　→　PT = √24 = 2√6

なぜ2乗なのか：接線は円と1点で接するので、割線でいう「A と B が重なった状態」です。だから PT · PT = PT² になります。公式を別々に覚える必要はありません。

確認：(2√6)² = 4 × 6 = 24。合っています。

例題9-3（角の二等分線）　三角形ABCで AB = 6, AC = 4, BC = 5 です。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、BD と DC の長さを求めてください。

考え方：角の二等分線は、向かい合う辺を、はさむ2辺の比に分けます。
BD : DC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2

BC = 5 を 3 : 2 に分けるので
BD = 5 × 3/5 = 3,　DC = 5 × 2/5 = 2

確認：BD + DC = 3 + 2 = 5 = BC。合っています。また三角形の成立条件 |6 − 4| < 5 < 6 + 4、すなわち 2 < 5 < 10 を満たすので、この三角形は実在します。

覚え方：長い辺の側が長く分かれる。AB のほうが長いので、BD のほうが長くなります。答えが逆になっていないかは、これで確認できます。

例題9-4（オイラーの多面体定理）　正十二面体の頂点の数を求めてください。（正十二面体は、正五角形12枚でできています。）

考え方：V − E + F = 2 を使いますが、その前に辺の数 E を数え方の工夫で出します。

面の数：F = 12

辺の数：正五角形12枚には辺が 5 × 12 = 60 本ありますが、1本の辺は2枚の面で共有されているので
E = 60 ÷ 2 = 30

頂点の数：V − 30 + 12 = 2 より
V = 20

別の出し方で検算：正十二面体は1つの頂点に3枚の面が集まります。面の頂点は全部で 5 × 12 = 60 個ぶん数えられ、1つの頂点は3回数えられているので 60 ÷ 3 = 20。一致します。

この考え方が効く場面：「重複して数えたぶんを割る」は、第6章の組分けとまったく同じ発想です。単元が違っても、使っている考え方は共通しています。

例題9-5（外心と内心）　∠A = 50° の三角形 ABC について、外心を O、内心を I とするとき、∠BOC と ∠BIC を求めてください。

考え方：五心の問題は、「その点は何が集まった点か」を思い出すところから始まります。外心は3辺の垂直二等分線の交点で、3頂点から等距離——つまり外接円の中心。内心は3つの角の二等分線の交点です。この2つを言えれば、あとは図の性質に落ちます。

① 外心 O：O は外接円の中心なので、∠BOC は弧 BC に対する中心角、∠A は同じ弧に対する円周角です。中心角は円周角の2倍なので
　∠BOC = 2 × 50° = 100°

② 内心 I：I は角の二等分線の交点なので、∠IBC = ∠B / 2、∠ICB = ∠C / 2。三角形 IBC の内角の和から
　∠BIC = 180° − (∠B + ∠C) / 2 = 180° − (180° − ∠A) / 2 = 90° + ∠A / 2 = 90° + 25° = 115°

答え：∠BOC = 100°、∠BIC = 115°

確認：∠BIC = 90° + ∠A / 2 は、導き方まで書けるようにしておくと安全です。三角形 IBC の内角の和という1行から出るので、形を思い出せなくてもその場で作れます。
値の妥当性も見ておきます。∠A = 50° は鋭角なので外心は三角形の内部にあり、∠BOC = 100° は 360° より小さく矛盾しません。内心はつねに内部にあり、∠BIC は 90° より大きくなります——90° + ∠A/2 という式から、内心から見た角は必ず鈍角だとわかります。式の形から「必ずそうなること」を1つ読み取っておくと、答えの検算になります。