数学II・B・Cの要点辞典｜全12単元の公式・定石・つまずきポイントと例題60問

例題1-1（二項定理・定数項）　(x + 2/x²)⁶ の展開式における定数項を求めてください。

考え方：全部展開しません。一般項を書いて、x の指数が0になる項だけを取り出します。

一般項は
₆C_r x^6−r (2/x²)^r = ₆C_r · 2^r · x^6−r−2r = ₆C_r · 2^r · x^6−3r

定数項は 6 − 3r = 0、つまり r = 2 のとき。
₆C₂ · 2² = 15 × 4 = 60

答え：60

ここが定石：x の指数を r の式で表すのが山場です。ここさえ書ければ、あとは方程式を解くだけになります。もし r が整数にならなければ、その項は存在しないと答えます。

例題1-2（恒等式の係数決定）　すべての実数 x に対して
a(x + 1)² + b(x + 1) + c = x² + 3x + 5
が成り立つとき、定数 a, b, c の値を求めてください。

方法1：展開して係数を比較する。
左辺 = ax² + (2a + b)x + (a + b + c)
係数を比べて a = 1、2a + b = 3 より b = 1、a + b + c = 5 より c = 3。

方法2：都合のよい値を代入する。
x = −1 を代入すると左辺は c、右辺は 1 − 3 + 5 = 3。よって c = 3。
x = 0 で a + b + c = 5、x = 1 で 4a + 2b + c = 9。これらから a = 1, b = 1。

答え：a = 1, b = 1, c = 3

注意：方法2は速いが、それだけでは証明になっていません。3つの値で成り立つことしか示していないからです。答案では「この値のときに恒等式になることを確認する」か、方法1で係数を比較してください。代入は方針を早く立てるための手で、最後は必ず戻して確かめるものです。

例題1-3（不等式の証明）　a > 0, b > 0 のとき
(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4
が成り立つことを証明し、等号が成立する条件を求めてください。

考え方：まず展開します。かたまりが見えてから道具を選びます。

(a + b)(1/a + 1/b) = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + (a/b + b/a)

a > 0, b > 0 より a/b > 0、b/a > 0 なので、相加平均・相乗平均の関係から
a/b + b/a ≥ 2√((a/b)(b/a)) = 2

よって (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 2 + 2 = 4。

等号成立：a/b = b/a すなわち a² = b²。a > 0, b > 0 なので a = b のとき。（証明終わり）

確認：a = b = 1 なら 2 × 2 = 4。a = 1, b = 4 なら 5 × 1.25 = 6.25 > 4。合っています。

例題1-4（相加相乗・式を作り替える）　x > 1 のとき、x + 4/(x − 1) の最小値と、そのときの x を求めてください。

考え方：このままでは x と 4/(x − 1) の積が定数になりません。分母に合わせて式を作り替えます。

x + 4/(x − 1) = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1

x > 1 より x − 1 > 0 なので、相加平均・相乗平均の関係から
(x − 1) + 4/(x − 1) ≥ 2√4 = 4

よって x + 4/(x − 1) ≥ 4 + 1 = 5。

等号成立の確認：x − 1 = 4/(x − 1) より (x − 1)² = 4、x − 1 > 0 なので x − 1 = 2、すなわち x = 3。これは定義域 x > 1 の中にあるので、最小値は確かに5です。

答え：x = 3 のとき最小値 5

確認：x = 2 なら 2 + 4 = 6、x = 3 なら 3 + 2 = 5、x = 5 なら 5 + 1 = 6。確かに x = 3 が谷になっています。

この「1を引いて1を足す」が定石：分母が x − 1 なら、分子側も x − 1 の形にそろえる。そろえるために足したぶんは、あとで足し戻す。この操作は積分でも数列でも出てきます。

例題1-5（分数式）　次の式を簡単にしてください。(1) (x² − 4)/(x² + 4x + 4) × (x + 2)/(x − 2)　(2) 1/{x(x + 1)} + 1/{(x + 1)(x + 2)}　(3) (1 + 1/x) / (1 − 1/x²)

考え方：分数式では、展開する前にまず因数分解。約分できる形が見えるかどうかで、手間がまるで変わります。分母は 0 にできないので、約分で消えた因数も「その値を除く」という条件として残ることに注意します。

(1)　x² − 4 = (x + 2)(x − 2)、x² + 4x + 4 = (x + 2)² なので
　(x + 2)(x − 2) / (x + 2)² × (x + 2)/(x − 2) = (x − 2)/(x + 2) × (x + 2)/(x − 2) = 1
　（ただし x ≠ 2、x ≠ −2）

(2)　通分してから足すより、先に部分分数へ分けたほうが速い形です。
　1/{x(x + 1)} = 1/x − 1/(x + 1)、1/{(x + 1)(x + 2)} = 1/(x + 1) − 1/(x + 2)
足すと真ん中が消えて
　1/x − 1/(x + 2) = {(x + 2) − x} / {x(x + 2)} = 2 / {x(x + 2)}

(3)　分母・分子に x² をかけて、段になった分数を一段にします。
　(x² + x) / (x² − 1) = x(x + 1) / {(x + 1)(x − 1)} = x/(x − 1)
　（ただし x ≠ 0、x ≠ ±1）

答え：(1) 1　(2) 2 / {x(x + 2)}　(3) x/(x − 1)

確認：適当な数を入れて確かめるのが確実です。(2) に x = 1 を入れると、もとの式は 1/2 + 1/6 = 2/3、答えの式も 2/(1 × 3) = 2/3。(3) に x = 3 を入れると、もとの式は (4/3) ÷ (8/9) = 3/2、答えの式も 3/2。
(1) の答えが 1 だからといって、x に何を入れてもよいわけではありません。もとの式は x = 2 や x = −2 で分母が 0 になり、そもそも値をもちません。約分で見えなくなった条件を書き添えられるかどうかが、差がつくところです。
(2) のように分母が2つの積で並ぶ形は、第8章 数列の Σ でそのまま使います。

例題2-1（解と係数の関係）　2次方程式 x² − 3x + 5 = 0 の2つの解を α, β とするとき、次の値を求めてください。
(1) α² + β²　(2) α³ + β³　(3) 1/α + 1/β

考え方：この方程式は D = 9 − 20 = −11 < 0 なので、解は虚数です。それでも解を求める必要はありません。すべて対称式だからです。

解と係数の関係から α + β = 3、αβ = 5。

(1)　α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 9 − 10 = −1

(2)　α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = 27 − 3 × 5 × 3 = 27 − 45 = −18

(3)　1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = 3/5

(1)がマイナスになる意味：実数の2乗の和なら必ず0以上ですが、α, β は虚数なので負になり得ます。「2乗の和が負でおかしい」と思ったら、解が虚数かどうかを確かめてください。符号のミスとは限りません。

例題2-2（剰余定理）　整式 P(x) を x − 1 で割ると余りが 3、x + 2 で割ると余りが −3 です。P(x) を (x − 1)(x + 2) で割った余りを求めてください。

考え方：割る式が2次なので、余りは1次以下。そこで余りを ax + b とおきます。

P(x) = (x − 1)(x + 2)Q(x) + ax + b

剰余定理より P(1) = 3、P(−2) = −3。上の式に代入すると、Q(x) の項が消えます。
x = 1：a + b = 3
x = −2：−2a + b = −3

辺々引くと 3a = 6、a = 2。よって b = 1。

答え：余りは 2x + 1

確認：x = 1 のとき 2 + 1 = 3、x = −2 のとき −4 + 1 = −3。合っています。

なぜ代入すると解けるのか：x = 1 を入れると (x − 1) が0になり、正体不明の Q(x) がまるごと消えるからです。「わからないものを消す値を代入する」——これが剰余定理の使い方です。

例題2-3（高次方程式）　x³ − 4x² + x + 6 = 0 を解いてください。

手順1：解を1つ探す。候補は定数項6の約数、±1, ±2, ±3, ±6。
x = 1：1 − 4 + 1 + 6 = 4（0でない）
x = −1：−1 − 4 − 1 + 6 = 0　→　見つかりました

手順2：割って次数を下げる。因数定理より x + 1 で割り切れます。
x³ − 4x² + x + 6 = (x + 1)(x² − 5x + 6)

手順3：残りを解く。x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

答え：x = −1, 2, 3

確認：3解の和は −1 + 2 + 3 = 4。解と係数の関係では −(−4)/1 = 4 で一致。積は −1 × 2 × 3 = −6、関係式では −6/1 = −6 で一致。解と係数の関係は、解いたあとの検算にも使えます。

例題2-4（1の3乗根・次数下げ）　x³ = 1 の虚数解の1つを ω とするとき、ω¹⁰ + ω²⁰ の値を求めてください。

考え方：x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) = 0 なので、虚数解は x² + x + 1 = 0 の解です。つまり
ω³ = 1　かつ　ω² + ω + 1 = 0

次数下げ：指数を3で割った余りだけを見ます。
ω¹⁰ = ω⁹ · ω = (ω³)³ · ω = ω
ω²⁰ = ω¹⁸ · ω² = (ω³)⁶ · ω² = ω²

よって ω¹⁰ + ω²⁰ = ω + ω² = −1（ω² + ω + 1 = 0 より）

答え：−1

この定石が効く場面：大きな指数を見たら、まず「何乗で1に戻るか」を探す。戻る周期がわかれば、指数をその数で割った余りだけの問題になります。第8章の数列の周期性、第11章の複素数平面の回転でも、まったく同じ考え方を使います。

例題2-5（複素数の除法と実数条件）　(1) (3 + 2i) / (1 − i) を a + bi の形にしてください。(2) z = x + yi（x、y は実数、z ≠ 0）について、z + 1/z が実数になる条件を求めてください。

考え方：(1) は分母の共役を分母・分子に掛けるだけです。根号の有理化とまったく同じ発想で、(1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 2 と実数になります。
(2) は「実数である」を式に直すところが山です。書き方は2通りあり、虚部を計算して 0 とおくか、共役と等しいとおくか。どちらでも同じ答えになります。

(1)　(3 + 2i)(1 + i) / {(1 − i)(1 + i)} = (3 + 3i + 2i + 2i²) / 2 = (1 + 5i) / 2
　よって 1/2 + (5/2)i

(2)　1/z = 1/(x + yi) = (x − yi) / (x² + y²) なので
　z + 1/z = {x + x/(x² + y²)} + {y − y/(x² + y²)} i
実数になるのは虚部が 0 のときなので
　y − y/(x² + y²) = 0　→　y(x² + y² − 1) = 0　→　y = 0 または x² + y² = 1

答え：(1) 1/2 + (5/2)i　(2) z が実数（y = 0）、または |z| = 1

確認：(1) は答えに分母を掛け戻すのが確実です。(1/2 + (5/2)i)(1 − i) = 1/2 − (1/2)i + (5/2)i − (5/2)i² = 3 + 2i ともとに戻りました。
(2) の答えは、2つとも意味がはっきりしています。z が実数なら 1/z も実数なので和も実数。|z| = 1 のときは 1/z が z の共役に一致するので、和は z + z̄ = 2x でやはり実数です。答えが出たら「なぜそうなるか」を一言で言えるか確かめると、写し間違いに気づけます。
z = 1 + i（|z| = √2）で試すと z + 1/z = 3/2 + (1/2)i となり、確かに実数になりません。z ≠ 0 の断りを落とさないことにも注意してください。

例題3-1（点と直線の距離）　点 (3, 1) と直線 3x − 4y + 5 = 0 の距離を求めてください。

考え方：公式にそのまま代入します。直線がすでに ax + by + c = 0 の形になっているので、直すべきものはありません。

|3 × 3 − 4 × 1 + 5| / √(3² + (−4)²) = |9 − 4 + 5| / √25 = 10 / 5 = 2

答え：2

使いどころ：この公式が本領を発揮するのは、円と直線の関係を調べるときです。半径2の円がこの点を中心にしていれば、直線とちょうど接するとわかります。

例題3-2（円と直線が接する条件）　円 x² + y² = 5 と直線 y = 2x + k が接するとき、定数 k の値を求めてください。

考え方：連立して判別式でもできますが、距離＝半径のほうが速い。

直線を 2x − y + k = 0 に直します。中心は原点 (0, 0)、半径は √5。

|2 × 0 − 0 + k| / √(2² + (−1)²) = |k| / √5

これが半径 √5 に等しいので
|k| / √5 = √5　→　|k| = 5　→　k = ±5

答え：k = 5, −5

解が2つある意味：傾き2の直線で円に接するものは、円の上側と下側に1本ずつあります。図を描けば、答えが2つ出るのは当然だとわかります。「答えの個数が図と合っているか」は、いつでも使える検算です。

判別式でやると：x² + (2x+k)² = 5 → 5x² + 4kx + k² − 5 = 0、D/4 = 4k² − 5(k²−5) = −k² + 25 = 0 → k = ±5。同じ答えですが、手数が増えます。

例題3-3（軌跡・距離の比が一定）　2点 A(0, 0)、B(3, 0) からの距離の比が PA : PB = 2 : 1 である点 P の軌跡を求めてください。

手順1：Pを (x, y) とおく。

手順2：条件を式にする。比のままだと扱いにくいので、2乗して√を外します。
PA = 2PB　→　PA² = 4PB²
x² + y² = 4{(x − 3)² + y²}

手順3：整理する。
x² + y² = 4x² − 24x + 36 + 4y²
0 = 3x² + 3y² − 24x + 36
両辺を3で割って　x² + y² − 8x + 12 = 0
平方完成して　(x − 4)² + y² = 4

答え：中心 (4, 0)、半径 2 の円

確認：P(2, 0) なら PA = 2, PB = 1 で比は 2 : 1。円の式も (2−4)² + 0 = 4 で成立。P(6, 0) なら PA = 6, PB = 3 で比は 2 : 1、円の式も (6−4)² = 4 で成立。2点で確かめれば、まず間違いに気づけます。

覚えておくと速い：2定点からの距離の比が一定（1でない）である点の軌跡は円になります。比が 1 : 1 のときだけ、円ではなく垂直二等分線です。「比が1かどうか」で答えの図形が変わるので、そこだけ確認してください。

例題3-4（領域における最大値）　x ≥ 0、y ≥ 0、x + 2y ≤ 8、3x + y ≤ 9 を満たすとき、x + y の最大値と、そのときの x, y を求めてください。

手順1：領域の頂点をすべて求める。4本の直線で囲まれた多角形なので、隣り合う直線の交点が頂点です。
・x = 0 と y = 0　→　(0, 0)
・y = 0 と 3x + y = 9　→　(3, 0)
・3x + y = 9 と x + 2y = 8　→　連立して (2, 3)
・x + 2y = 8 と x = 0　→　(0, 4)

手順2：各頂点で x + y を計算する。

答え：x = 2, y = 3 のとき最大値 5

なぜ頂点だけ見ればよいのか：x + y = k は傾き −1 の直線の集まりです。この直線を右上に平行移動していくと、領域から離れる直前に触れているのは頂点です（辺と平行な場合は、その辺全体で同じ値になります）。だから頂点だけ調べれば足ります。

交点の求め方：3x + y = 9 より y = 9 − 3x。これを x + 2y = 8 に代入して x + 18 − 6x = 8、−5x = −10、x = 2、y = 3。両方の式に戻して確かめると確実です（2 + 6 = 8、6 + 3 = 9）。

例題4-1（加法定理）　sin75° の値を求めてください。

考え方：75° は覚えている角ではありませんが、覚えている角の和で書けます。75° = 45° + 30°。

sin75° = sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

答え：(√6 + √2)/4

確認：√6 ≒ 2.449、√2 ≒ 1.414 なので、値は約 0.966。sin90° = 1 より少し小さく、sin60° ≒ 0.866 より大きい。大きさの見当が合っているかを確かめると、符号ミスに気づけます。

この分解が使える角：15° = 45° − 30°、75° = 45° + 30°、105° = 60° + 45°。30°・45°・60° の和と差で作れる角なら、加法定理で値が出ます。

例題4-2（合成・最大最小）　0 ≤ θ < 2π のとき、y = sinθ + √3 cosθ の最大値・最小値と、そのときの θ を求めてください。

手順1：合成する。
r = √(1² + (√3)²) = √4 = 2
cosα = 1/2、sinα = √3/2 より α = π/3
よって　y = 2sin(θ + π/3)

手順2：角の範囲を書き換える。0 ≤ θ < 2π なので
π/3 ≤ θ + π/3 < 2π + π/3

手順3：この範囲で sin の最大最小を読む。幅が 2π あるので、sin は 1 と −1 の両方を取れます。
・sin(θ + π/3) = 1 となるのは θ + π/3 = π/2、つまり θ = π/6
・sin(θ + π/3) = −1 となるのは θ + π/3 = 3π/2、つまり θ = 7π/6

答え：θ = π/6 のとき最大値 2、θ = 7π/6 のとき最小値 −2

確認：θ = π/6 を元の式に戻すと sin(π/6) + √3 cos(π/6) = 1/2 + √3 × (√3/2) = 1/2 + 3/2 = 2。合っています。合成した式ではなく、元の式に戻して確かめるのがポイントです。

もし範囲が狭かったら：たとえば 0 ≤ θ ≤ π/2 なら π/3 ≤ θ + π/3 ≤ 5π/6 となり、sin の最小値は −1 ではなく、端の sin(5π/6) = 1/2 になります。範囲を書き換える理由は、まさにこれです。

例題4-3（三角方程式）　0 ≤ θ < 2π のとき、2cos²θ + 3sinθ − 3 = 0 を解いてください。

手順1：1種類にそろえる。cos²θ = 1 − sin²θ を代入します。
2(1 − sin²θ) + 3sinθ − 3 = 0
−2sin²θ + 3sinθ − 1 = 0
両辺に −1 を掛けて　2sin²θ − 3sinθ + 1 = 0

手順2：置きかえて解く。t = sinθ とおくと −1 ≤ t ≤ 1。
2t² − 3t + 1 = (2t − 1)(t − 1) = 0　→　t = 1/2, 1
どちらも −1 ≤ t ≤ 1 を満たすので、両方使えます。

手順3：θ に戻す。単位円を描いて数えます。
sinθ = 1/2　→　θ = π/6, 5π/6（2個）
sinθ = 1　→　θ = π/2（1個）

答え：θ = π/6, π/2, 5π/6

確認：θ = π/2 のとき 2 × 0 + 3 × 1 − 3 = 0。θ = π/6 のとき 2 × (3/4) + 3 × (1/2) − 3 = 1.5 + 1.5 − 3 = 0。合っています。

個数の感覚：sinθ = k の解は、0 ≤ θ < 2π では |k| < 1 なら2個、|k| = 1 なら1個、|k| > 1 なら0個。ここを押さえておくと、解の個数を問う問題が速くなります。

例題4-4（有名問題）　tan1° は有理数か。（2006年　京都大学）

この問題が有名な理由：問われているのは計算ではなく、「証明の方針を自分で選べるか」です。tan1° の値を求めることはできません。だから背理法を使います。

方針：tan1° が有理数だと仮定して、矛盾を導きます。

証明　tan1° が有理数であると仮定します。

正接の加法定理より
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 − tanα tanβ)

ここで tanα と tanβ がともに有理数なら、右辺は有理数どうしの四則演算なので有理数です（分母が0でない限り）。

したがって、tan1° が有理数なら
tan2° = tan(1° + 1°) も有理数、
tan3° = tan(2° + 1°) も有理数、
と順に進んで、すべての自然数 n について tan(n°) が有理数になります。

ところが n = 30 のとき
tan30° = 1/√3
であり、これは無理数です。これは矛盾です。

よって tan1° は有理数ではありません。（証明終わり）

答え：有理数ではない

どこが山場だったか：1° と 30° を加法定理でつなげると気づけたかだけです。30° は「値がわかっていて、しかも無理数」という都合のよい角。ここに向かって階段を上るのが、この問題の骨格です。

補足（答案を厳密にするなら）：「すべての n で有理数」の部分は、数学的帰納法で書くとより丁寧です（第8章）。また、途中で分母 1 − tanα tanβ が0になる場合は tan が定義されない角なので、1° から 30° までの範囲ではその心配がないことを一言添えると万全です。

持ち帰るべき型：「〜でないことを示せ」は背理法。そして「1つでも反例が言えれば矛盾」。この2つは、単元を問わず効きます。

例題4-5（三角不等式）　0 ≤ θ < 2π のとき、sinθ − √3 cosθ ≥ 1 を解いてください。

考え方：sin と cos が混ざったままでは範囲が読めないので、合成して1つの sin にまとめます。ここまでは最大最小のときと同じ手です。違うのはこの先——合成したら、角の範囲も一緒に書き換えるところです。

sinθ − √3 cosθ = 2 sin(θ − π/3) なので、不等式は 2 sin(θ − π/3) ≥ 1、つまり sin(θ − π/3) ≥ 1/2。

ここで t = θ − π/3 と置いたら、t の動く範囲を必ず書きます。
　0 ≤ θ < 2π　→　−π/3 ≤ t < 5π/3

この範囲で sin t ≥ 1/2 となるのは π/6 ≤ t ≤ 5π/6。θ = t + π/3 に戻して
　π/6 + π/3 ≤ θ ≤ 5π/6 + π/3　→　π/2 ≤ θ ≤ 7π/6

答え：π/2 ≤ θ ≤ 7π/6

確認：両端を代入すると、θ = π/2 で 1 − √3 × 0 = 1、θ = 7π/6 で −1/2 − √3 × (−√3/2) = 1。どちらもちょうど等号なので、端を含めて正しいとわかります。範囲の外の θ = 0 では −√3 ≒ −1.73 で成り立ちません。もし t の範囲を書き換えず 0 ≤ t < 2π のまま解くと、この端がずれます。置きかえたら範囲も置きかえる——これがこの単元で最も多い失点です。

例題5-1（対数方程式・真数条件）　log₂(x − 1) + log₂(x + 2) = 2 を解いてください。

手順1：真数条件を先に書く。
x − 1 > 0 かつ x + 2 > 0　→　x > 1

手順2：1つの log にまとめる。
log₂{(x − 1)(x + 2)} = 2

手順3：定義に戻して log を外す。「2を2乗すると真数」なので
(x − 1)(x + 2) = 2² = 4

手順4：解く。
x² + x − 2 = 4　→　x² + x − 6 = 0　→　(x + 3)(x − 2) = 0　→　x = −3, 2

手順5：条件で絞る。x > 1 より x = −3 は不適。

答え：x = 2

確認：log₂1 + log₂4 = 0 + 2 = 2。合っています。もし真数条件を書かなければ x = −3 も答えてしまい、それだけで大きな失点になります。

例題5-2（大小比較）　log₂3、log₃5、3/2 を小さい順に並べてください。

考え方：底が違うので直接は比べられません。3/2 を「◯乗」の形にして、真数どうしを比べます。

log₂3 と 3/2 の比較
3/2 = log₂2^3/2 = log₂(2√2)
2√2 ≒ 2.83 < 3 であり、底2は1より大きいので
log₂(2√2) < log₂3　すなわち　3/2 < log₂3

log₃5 と 3/2 の比較
3/2 = log₃3^3/2 = log₃(3√3)
3√3 ≒ 5.20 > 5 であり、底3は1より大きいので
log₃5 < log₃(3√3)　すなわち　log₃5 < 3/2

答え：log₃5 < 3/2 < log₂3

確認：電卓で見ると log₃5 ≒ 1.465、3/2 = 1.5、log₂3 ≒ 1.585。順序が合っています。

比較の技術：2√2 と 3 の比較は、両方2乗して 8 < 9 と見るのが確実です。3√3 と 5 なら 27 > 25。√が入った大小比較は2乗する——数学I・Aの不等式証明で使った手が、そのまま効きます。

例題5-3（桁数と最高位）　3⁴⁰ は何桁の整数で、最高位の数字は何ですか。ただし log₁₀3 = 0.4771 とします。

手順1：常用対数を取る。
log₁₀3⁴⁰ = 40 log₁₀3 = 40 × 0.4771 = 19.084

手順2：整数部分から桁数を出す。整数部分が 19 なので
10¹⁹ ≤ 3⁴⁰ < 10²⁰
よって 3⁴⁰ は 20桁。

手順3：小数部分から最高位を出す。小数部分は 0.084。10^0.084 がいくつかを、覚えている対数の値ではさみます。
log₁₀1 = 0、log₁₀2 = 0.3010 なので
0 < 0.084 < 0.3010　→　1 < 10^0.084 < 2

つまり 3⁴⁰ = 10¹⁹ × 10^0.084 の 10^0.084 の部分が1台なので、最高位の数字は 1。

答え：20桁で、最高位の数字は 1

確認：実際に計算すると 3⁴⁰ = 12157665459056928801。数えると20桁、先頭は1。合っています。

この構造を覚える：整数部分が「10の何乗の位か」＝桁、小数部分が「先頭の数字」。この2つは独立していて、それぞれ別の情報を持っています。公式を暗記するのではなく、N = 10^整数 × 10^小数 という分解を思い出せば、その場で作り直せます。

例題5-4（指数方程式・置きかえ）　4^x − 3 · 2^x − 4 = 0 を解いてください。

手順1：底をそろえる。4^x = (2²)^x = (2^x)²。

手順2：置きかえる。t = 2^x とおくと、指数関数の値は必ず正なので t > 0。
t² − 3t − 4 = 0　→　(t − 4)(t + 1) = 0　→　t = 4, −1

手順3：条件で絞る。t > 0 より t = −1 は不適。t = 4。

手順4：x に戻す。2^x = 4 = 2²　→　x = 2

答え：x = 2

確認：4² − 3 × 2² − 4 = 16 − 12 − 4 = 0。合っています。

置きかえの作法：第4章で t = sinθ と置いたときに −1 ≤ t ≤ 1 を書いたのと、まったく同じことをしています。置きかえたら、新しい文字が動ける範囲を必ず書く。この一手で、拾ってはいけない解が自動的に落ちます。

例題5-5（対数不等式・底が1より小さい）　log_1/2(x − 1) ≥ −2 を解いてください。

考え方：対数の不等式でやることは2つだけです。①真数条件を先に書く　②両辺を同じ底の対数にそろえる。そのうえで、底が1より小さいときは不等号の向きが変わる——ここがこの単元でいちばん落とすところです。

① 真数条件：x − 1 > 0 より x > 1。解き始める前に書きます。あとから書くと、出てきた解のどれを捨てるべきか判断できなくなります。

② 右辺を対数に直す：(1/2)⁻² = 4 なので −2 = log_1/24。不等式は
　log_1/2(x − 1) ≥ log_1/24

③ 底で向きを決める：底 1/2 は 1 より小さいので、y = log_1/2t は右下がり。対数が大きいほど真数は小さいので、不等号が反転して
　x − 1 ≤ 4　→　x ≤ 5

①と合わせて 1 < x ≤ 5。

答え：1 < x ≤ 5

確認：端で確かめます。x = 5 なら log_1/24 = −2 でちょうど等号。x = 6 なら log_1/25 ≒ −2.32 で成り立ちません。x = 2 なら log_1/21 = 0 ≥ −2 で成り立ちます。範囲の内側と外側を1つずつ代入すると、向きを取り違えていないか確かめられます。
もし底が 2 だったら向きは変わらず x − 1 ≥ 4、つまり x ≥ 5 になります。底を見た瞬間に向きを決める——この一手を先に済ませておくと、途中で迷いません。

例題6-1（曲線外の点から引く接線）　曲線 y = x³ に点 A(2, 0) から引いた接線の方程式を、すべて求めてください。

手順1：接点を文字でおく。接点を (t, t³) とします。y′ = 3x² なので、この点での傾きは 3t²。

手順2：接線の式を書く。
y = 3t²(x − t) + t³

手順3：A(2, 0) を通る条件を書く。
0 = 3t²(2 − t) + t³ = 6t² − 3t³ + t³ = 6t² − 2t³
2t²(3 − t) = 0　→　t = 0（重解）、t = 3

手順4：接線の式に戻す。
・t = 0：傾き 0、接点 (0, 0)　→　y = 0
・t = 3：傾き 27、接点 (3, 27)　→　y = 27(x − 3) + 27 = 27x − 54

答え：y = 0 と y = 27x − 54 の 2本

確認：y = 27x − 54 に x = 2 を入れると 54 − 54 = 0。確かに A(2, 0) を通ります。

重解の意味：t = 0 は重解でしたが、接線としては1本です。t の方程式の解の個数と接線の本数は、異なる t の個数で数えます（同じ t からは同じ接線しか出ません）。ここは数え間違えやすい部分です。

例題6-2（極値）　f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 の極値を求めてください。

手順1：微分する。
f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1)

手順2：増減表を書く。f′(x) = 0 となるのは x = −1, 3。

手順3：値を計算する。
f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10
f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22

答え：x = −1 で極大値 10、x = 3 で極小値 −22

符号の見方：f′(x) = 3(x − 3)(x + 1) は下に凸の2次関数なので、2解の外側で正、内側で負。増減表の符号は、この形から一瞬で書けます。いちいち値を代入しなくてよいのがポイントです。

例題6-3（方程式の実数解の個数）　x³ − 3x² − 9x + 5 = k が異なる3つの実数解をもつような定数 k の値の範囲を求めてください。

考え方：左辺を y = f(x) のグラフ、右辺を横線 y = k と見て、交点の個数を数えます。

例題6-2から、このグラフは x = −1 で極大値 10、x = 3 で極小値 −22 をとる3次関数です。

横線 y = k を下から上に動かすと、交点の個数は
・k < −22　→　1個
・k = −22　→　2個（極小点で接する）
・−22 < k < 10　→　3個
・k = 10　→　2個（極大点で接する）
・k > 10　→　1個

答え：−22 < k < 10

確認：k = 0 のとき x³ − 3x² − 9x + 5 = 0。f(−2) = 3 > 0、f(−1) = 10 > 0、f(0) = 5 > 0、f(1) = −6 < 0、f(3) = −22 < 0、f(5) = 10 > 0。符号が3回変わっているので、実数解は3個。合っています。

境界を含まない理由：k = 10 だと、極大点で接してしまい、そこは重解になります。「異なる3つの解」ではなくなるので除きます。等号を含めるかどうかは、必ず境界の状況を1つずつ確かめて決めてください。

例題6-4（定義域つきの最大最小）　f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 の −2 ≤ x ≤ 4 における最大値と最小値を求めてください。

考え方：候補は「極値をとる点」と「定義域の両端」。この4つを全部計算して並べます。

計算の内訳：
f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3
f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15

答え：x = −1 のとき最大値 10、x = 3 のとき最小値 −22

ここに注意：この問題ではたまたま極大＝最大、極小＝最小になりましたが、いつもそうとは限りません。たとえば定義域が −2 ≤ x ≤ 0 なら、最大は極大の 10 のままですが、最小は極小ではなく右端 f(0) = 5 になります。だから毎回、端の値も表に並べるのです。

例題7-1（定積分の基本）　∫₀²(3x² − 2x + 1)dx を計算してください。

考え方：各項を積分して、上端と下端を代入して引きます。

∫(3x² − 2x + 1)dx = x³ − x² + x（定積分なので +C は不要）

[x³ − x² + x]₀² = (8 − 4 + 2) − 0 = 6

答え：6

検算のコツ：積分した結果 x³ − x² + x を微分し直すと 3x² − 2x + 1。元に戻りました。積分は微分で検算できる——これは全問で使えます。

例題7-2（放物線と直線で囲む面積）　放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれた部分の面積を求めてください。

手順1：交点を求める。
x² = x + 2　→　x² − x − 2 = 0　→　(x − 2)(x + 1) = 0　→　x = −1, 2

手順2：どちらが上かを確認する。x = 0 のとき、放物線は 0、直線は 2。直線のほうが上です。

手順3：積分する。
S = ∫₋₁²{(x + 2) − x²}dx

6分の1公式を使う場合：被積分関数は −(x² − x − 2) = −(x + 1)(x − 2) なので
S = (2 − (−1))³ / 6 = 3³ / 6 = 27/6 = 9/2

まともに計算する場合：
[x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2

答え：9/2

どちらで解いてもよい：公式を使うと速いですが、使えるのは「2次式で、しかも囲まれた面積」のときだけです。使えない形が来たら普通に積分する——それだけの話なので、両方できるようにしておくのが安全です。

例題7-3（絶対値つき定積分）　∫₀³|x² − 1|dx を計算してください。

手順1：中身が0になる点を探す。x² − 1 = 0 より x = ±1。積分区間 0 ≤ x ≤ 3 の中にあるのは x = 1 だけです。

手順2：符号を調べて区間を分ける。
・0 ≤ x < 1 のとき x² − 1 < 0 なので |x²−1| = 1 − x²
・1 ≤ x ≤ 3 のとき x² − 1 ≥ 0 なので |x²−1| = x² − 1

手順3：それぞれ積分して足す。
∫₀¹(1 − x²)dx = [x − x³/3]₀¹ = 1 − 1/3 = 2/3
∫₁³(x² − 1)dx = [x³/3 − x]₁³ = (9 − 3) − (1/3 − 1) = 6 + 2/3 = 20/3

2/3 + 20/3 = 22/3

答え：22/3

確認：値は約 7.33。絶対値がなければ ∫₀³(x²−1)dx = 6 なので、絶対値をつけたぶんだけ大きくなっている（負だった部分が正に折り返された）。2/3 の2倍が増えた分で、6 + 4/3 = 22/3。つじつまが合っています。

ここが定石：絶対値は「グラフを x 軸で折り返す」操作です。折り返す場所＝中身が0になる点。だからまず中身の符号を調べる——それだけです。

例題7-4（定積分で表された関数）　∫_a^xf(t)dt = x² − 3x + 2 がすべての x について成り立つとき、関数 f(x) と定数 a を求めてください。

手順1：両辺を x で微分する。左辺は f(x) になります。
f(x) = 2x − 3

手順2：a を求める。微分すると a の情報が消えてしまうので、別に求めます。x = a を代入すると、左辺は ∫_a^af(t)dt = 0 です。
0 = a² − 3a + 2 = (a − 1)(a − 2)　→　a = 1, 2

答え：f(x) = 2x − 3、a = 1 または a = 2

確認：a = 1 のとき ∫₁^x(2t − 3)dt = [t² − 3t]₁^x = (x² − 3x) − (1 − 3) = x² − 3x + 2。合っています。a = 2 でも (x²−3x) − (4−6) = x²−3x+2 で成立。答えが2つあるのが正解です。

この2段構えを覚える：① 微分して関数を出す　② 上端＝下端を代入して定数を出す。微分だけで終わると a が求まらず、代入だけでは f が求まりません。2つの操作が別々の情報を取り出している——ここを理解しておくと、形が変わっても対応できます。

例題7-5（2曲線で囲む面積・上下が入れかわる）　曲線 y = x³ と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めてください。

考え方：面積は「上 − 下」を交点から交点まで積分します。ただしこの問題では交点が3つあり、途中で上下が入れかわります。入れかわる点で区間を分ける——ここを飛ばすと答えが消えます。

① 交点を求める：x³ = x → x(x − 1)(x + 1) = 0 → x = −1, 0, 1

② どちらが上かを区間ごとに調べる：x = 1/2 を入れると x³ = 1/8、x = 1/2 なので 0 < x < 1 では直線が上。x = −1/2 を入れると x³ = −1/8、x = −1/2 なので −1 < x < 0 では曲線が上。

③ 分けて足す
　∫₀¹(x − x³)dx = [x²/2 − x⁴/4]₀¹ = 1/2 − 1/4 = 1/4
　∫₋₁⁰(x³ − x)dx = [x⁴/4 − x²/2]₋₁⁰ = 0 − (1/4 − 1/2) = 1/4

答え：1/4 + 1/4 = 1/2

確認：もし上下を確かめずに ∫₋₁¹(x − x³)dx としてしまうと、答えは 0 になります。面積を求めているのに 0 が出たら、上下の入れかわりを見落とした合図です。
この形は原点について対称（どちらも奇関数）なので、左右の面積が等しくなります。2 × 1/4 = 1/2 と、片側だけ計算して2倍する手も使えます。対称性に気づくと計算量が半分になりますが、気づかなくても区間を分ければ必ず解けます。まず分ける、余裕があれば対称性を使う——この順で構いません。

例題8-1（Σ計算）　Σ_k=1ⁿk(k + 2) を n の式で表してください。

手順1：展開する。k(k+2) = k² + 2k

手順2：公式に分ける。
Σk² + 2Σk = n(n+1)(2n+1)/6 + 2 · n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)

手順3：共通因数でくくる。n(n+1)/6 でくくると
= n(n+1)/6 × {(2n+1) + 6} = n(n+1)(2n+7)/6

答え：n(n+1)(2n+7)/6

確認：n = 1 なら実際の和は 1 × 3 = 3、公式は 1 × 2 × 9 / 6 = 3。n = 2 なら 3 + 8 = 11、公式は 2 × 3 × 11 / 6 = 11。Σの答えは、必ず小さい n で検算できます。これをやるだけで、この単元のミスはほとんど防げます。

例題8-2（部分分数分解）　Σ_k=1ⁿ 1/{k(k + 1)} を求めてください。

手順1：部分分数に分ける。
1/{k(k+1)} = 1/k − 1/(k+1)

（確かめ：1/k − 1/(k+1) = {(k+1) − k}/{k(k+1)} = 1/{k(k+1)}）

手順2：書き並べて打ち消す。
(1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1))

隣り合う項が次々に消えて、最初の 1 と最後の −1/(n+1) だけが残ります。

= 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)

答え：n/(n+1)

確認：n = 3 なら実際の和は 1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4。公式は 3/4。合っています。

分け方の作り方：1/{k(k+2)} なら (1/2){1/k − 1/(k+2)} です。差を取ったときに分子が「分母の差」になるので、その分だけ前に係数が出ます。この場合は差が2なので 1/2。作ったら必ず通分して元に戻るか確かめてください。

例題8-3（2項間漸化式）　a₁ = 1、a_n+1 = 3a_n + 4 で定まる数列の一般項を求めてください。

手順1：特性方程式を解く。a_n+1 と a_n を両方 α と置いた式を作ります。
α = 3α + 4　→　−2α = 4　→　α = −2

手順2：元の式から引く。
a_n+1 = 3a_n + 4
−2 = 3 × (−2) + 4　（α の式）
辺々引くと　a_n+1 + 2 = 3(a_n + 2)

手順3：等比数列として読む。b_n = a_n + 2 とおくと b_n+1 = 3b_n、つまり公比3の等比数列。初項は b₁ = a₁ + 2 = 3。
b_n = 3 · 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ

手順4：a_n に戻す。
a_n = b_n − 2 = 3ⁿ − 2

答え：a_n = 3ⁿ − 2

確認：a₁ = 3 − 2 = 1 ✓。漸化式から a₂ = 3 × 1 + 4 = 7、公式では 9 − 2 = 7 ✓。a₃ = 3 × 7 + 4 = 25、公式では 27 − 2 = 25 ✓。3項ぶん合えば、まず安心です。

α の意味：α = −2 は、この漸化式の動かない値です。もし a₁ = −2 だったら、a₂ = 3 × (−2) + 4 = −2 で、以後ずっと −2 のまま。だから −2 からのずれだけを見れば、話が等比数列に単純化される——これが特性方程式の中身です。公式として覚えるより、この意味を1回理解しておくほうが忘れません。

例題8-4（数学的帰納法）　すべての自然数 n について
1³ + 2³ + … + n³ = {n(n+1)/2}²
が成り立つことを、数学的帰納法で証明してください。

[I] n = 1 のとき
左辺 = 1³ = 1、右辺 = {1 × 2 / 2}² = 1。成り立ちます。

[II] n = k のとき成り立つと仮定する
1³ + 2³ + … + k³ = {k(k+1)/2}²　…（＊）

n = k + 1 のときを示す。両辺に (k+1)³ を足します。
左辺 = {k(k+1)/2}² + (k+1)³　（（＊）を使った）

(k+1)² でくくると
= (k+1)²{k²/4 + (k+1)} = (k+1)² · (k² + 4k + 4)/4 = (k+1)²(k+2)²/4

これは {(k+1)(k+2)/2}² であり、公式の n に k+1 を入れた形と一致します。

よって n = k + 1 でも成り立ちます。

[I][II] より、すべての自然数 n について成り立ちます。（証明終わり）

どこで仮定を使ったか：「（＊）を使った」と書いた1行だけです。帰納法の答案では、仮定を使った場所をはっきり示してください。そこが評価される部分です。

この式の面白さ：Σk³ = (Σk)² になっています。つまり「立方の和」が「和の平方」。1 + 8 + 27 = 36 = 6²、そして 1 + 2 + 3 = 6。偶然に見えますが、すべての n で成り立ちます。

例題8-5（和 S_n から一般項）　数列 {a_n} の初項から第 n 項までの和が S_n = n² + 2n + 1 であるとき、一般項 a_n を求めてください。

考え方：使う式は a_n = S_n − S_n−1 ですが、この式が使えるのは n ≥ 2 のときだけです。S₀ は定義されていないので、n = 1 は必ず別に調べます。

① n ≥ 2 のとき
　a_n = S_n − S_n−1 = (n² + 2n + 1) − {(n − 1)² + 2(n − 1) + 1} = (n² + 2n + 1) − n² = 2n + 1

② n = 1 のとき
　a₁ = S₁ = 1 + 2 + 1 = 4

ここで①の式に n = 1 を入れると 2 × 1 + 1 = 3 で、a₁ = 4 と一致しません。よって、まとめて1つの式では書けません。

答え：a₁ = 4、n ≥ 2 のとき a_n = 2n + 1

確認：S_n を小さい順に並べると 4, 9, 16, 25, 36, …。差を取ると 5, 7, 9, 11, … で、これは n ≥ 2 の 2n + 1 と合います。そして先頭だけが 4。a₁ + … + a₆ = 4 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = S₆ となり、確かに元の和に戻ります。
①の式に n = 1 を入れて一致するかを確かめる——この一手間を飛ばすと、a_n = 2n + 1 だけ書いて初項を間違えます。一致する問題も多いので、一致したときは「これは n = 1 でも成り立つ」と書いて1つの式にまとめます。どちらになるかは計算してみるまでわかりません。

例題9-1（期待値と分散）　1個のさいころを1回投げるとき、出る目を X とします。E(X)、V(X)、σ(X) を求めてください。

期待値：E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2

2乗の期待値：E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6

分散：V(X) = 91/6 − (7/2)² = 91/6 − 49/4
通分して　= 182/12 − 147/12 = 35/12

標準偏差：σ(X) = √(35/12) ≒ 1.71

答え：E(X) = 7/2、V(X) = 35/12、σ(X) ≒ 1.71

妥当性の確認：目は1から6まで散らばっているので、平均3.5から標準偏差1.71ほどずれる——つまりだいたい1.8から5.2の範囲によく出るという意味になります。感覚と合っています。標準偏差が範囲の幅（＝5）を超えていたら、どこかで計算ミスです。

例題9-2（二項分布）　さいころを180回投げるとき、1の目が出る回数を X とします。X の期待値・分散・標準偏差を求めてください。

考え方：「成功（1の目）か失敗か」を180回繰り返しているので、X は二項分布 B(180, 1/6) に従います。

E(X) = np = 180 × 1/6 = 30
V(X) = np(1−p) = 180 × (1/6) × (5/6) = 25
σ(X) = √25 = 5

答え：E(X) = 30、V(X) = 25、σ(X) = 5

読み取れること：180回投げれば1の目はだいたい30回、±5回くらいのブレで出る、ということです。もし実際に50回出たら、平均から (50−30)/5 = 4 標準偏差ぶん離れています。これはめったに起きないことなので、「このさいころは偏っているのでは」と疑う根拠になります。仮説検定の考え方は、ここから始まります。

例題9-3（正規分布による近似）　例題9-2の X について、20 ≤ X ≤ 40 となる確率を、正規分布で近似して求めてください。ただし P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772 とします。

手順1：分布を確定する。n = 180 は十分大きいので、X はおよそ N(30, 5²) に従うとみなせます。

手順2：標準化する。
X = 20 のとき　Z = (20 − 30)/5 = −2
X = 40 のとき　Z = (40 − 30)/5 = 2

手順3：表から求める。正規分布は0を中心に左右対称なので
P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 2 × P(0 ≤ Z ≤ 2) = 2 × 0.4772 = 0.9544

答え：約 0.954（約95%）

意味：1の目が出る回数は、約95%の確からしさで20回から40回の間に収まるということです。逆にいえば、この範囲を外れるのは20回に1回程度。「2標準偏差で約95%」という目安が、そのまま出てきました。

標準化の意味：Z は「平均から標準偏差いくつぶん離れているか」を表す物差しです。どんな正規分布も、この物差しに直せば同じ1枚の表で扱える——だから標準化するのです。

例題9-4（母平均の推定）　ある高校の生徒から100人を無作為に選んで通学時間を調べたところ、平均は50分でした。母標準偏差を10分とするとき、この高校全体の平均通学時間を信頼度95%で推定してください。

手順1：標準誤差を計算する。
σ/√n = 10/√100 = 10/10 = 1

手順2：信頼区間の式に入れる。
x̄ ± 1.96 × σ/√n = 50 ± 1.96 × 1 = 50 ± 1.96

答え：48.04 分以上 51.96 分以下

正しい読み方：「母平均が95%の確率でこの区間にある」ではありません。「同じ方法で100人を選び直して区間を作る作業を何度も繰り返すと、その約95%が本当の母平均を含む」という意味です。動くのは区間のほうで、母平均は最初から1つに決まっています。

人数を増やすとどうなるか：n = 400 にすると標準誤差は 10/20 = 0.5 になり、区間の幅は半分になります。4倍調べて、やっと幅が半分。精度を上げるのは思ったより大変だ——という感覚も、この式から読み取れます。

例題9-5（仮説検定）　ある種子の発芽率は、これまで 60% でした。改良した種子を 400 粒まいたところ、260 粒が発芽しました。改良によって発芽率が上がったといえますか。有意水準 5% で調べてください。

考え方：数学Iで扱った仮説検定の考え方（数学I 第5章）と、進め方はまったく同じです。「上がった」と主張したい側ではなく、反対の「変わっていない」という側に立って計算し、その仮定のもとで実際の結果がどれくらい起こりにくいかを見ます。違うのは、回数が多いので二項分布を正規分布で近似できるところです。

「発芽率は変わらず 0.6 のまま」と仮定します。このとき発芽数 X は二項分布 B(400, 0.6) にしたがうので
　m = np = 400 × 0.6 = 240
　σ = √(np(1 − p)) = √(400 × 0.6 × 0.4) = √96 = 4√6 ≒ 9.80

n が大きいので X はおよそ N(240, 9.80²)。標準化すると
　Z = (260 − 240) / 9.80 ≒ 2.04

「上がったか」を調べているので片側です。片側 5% の基準は 1.64。
　2.04 > 1.64
仮定のもとでは起こりにくすぎるので、「発芽率は変わらない」という仮定を捨てます。

答え：有意水準 5% で、発芽率は上がったといえる。

確認：棄却できる境目を出しておくと、答えの見当がつきます。240 + 1.64 × 9.80 ≒ 256.1 なので、257 粒以上なら同じ結論になります。今回は 260 粒で、境目より少し上でした。
片側か両側かで結論が変わることがあります。もし 257 粒だったら Z ≒ 1.74 で、片側（1.64）なら棄却できますが、「変化したか」を調べる両側（1.96）では棄却できません。問題文が「上がったか」なのか「変わったか」なのかを、計算を始める前に読み取っておくこと。
なお、棄却できなかった場合に言えるのは「この結果は仮定のもとでも起こりうる」までで、「差がない」ことを示したわけではありません。

例題10-1（内積となす角）　a→ = (2, 1)、b→ = (1, 3) のとき、a→ と b→ のなす角 θ を求めてください。

手順1：内積を成分で計算する。
a→·b→ = 2 × 1 + 1 × 3 = 5

手順2：大きさを計算する。
|a→| = √(4 + 1) = √5、|b→| = √(1 + 9) = √10

手順3：定義に当てはめる。
cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|) = 5/(√5 × √10) = 5/√50 = 5/(5√2) = 1/√2

0° ≤ θ ≤ 180° なので　θ = 45°

答え：θ = 45°

2つの式の役割分担：内積には定義（|a→||b→|cosθ）と成分計算（a₁b₁+a₂b₂）の2つの顔があります。角度を求めるときは成分で値を出して、定義に当てはめる——この向きに使います。

例題10-2（交点の位置ベクトル）　三角形 OAB において、OA→ = a→、OB→ = b→ とします。辺 OA を 1 : 2 に内分する点を M、辺 OB の中点を N とし、線分 AN と BM の交点を P とするとき、OP→ を a→, b→ で表してください。

準備：OM→ = (1/3)a→、ON→ = (1/2)b→。

手順1：P を線分 AN 上の点として表す。AP : PN = s : (1−s) の形で書くと
OP→ = (1 − s)a→ + s·(1/2)b→

手順2：P を線分 BM 上の点として表す。
OP→ = t·(1/3)a→ + (1 − t)b→

手順3：係数を比較する。a→ と b→ は1次独立（三角形をなすので平行でない）なので、表し方は1通り。
a→ の係数：1 − s = t/3
b→ の係数：s/2 = 1 − t

手順4：連立を解く。下の式から s = 2 − 2t。上に代入して
1 − (2 − 2t) = t/3　→　2t − 1 = t/3　→　6t − 3 = t　→　t = 3/5
よって s = 2 − 6/5 = 4/5。

手順5：代入する。
OP→ = (1 − 4/5)a→ + (4/5)(1/2)b→ = (1/5)a→ + (2/5)b→

答え：OP→ = (1/5)a→ + (2/5)b→

確認：もう一方の式でも確かめます。t = 3/5 を代入すると (3/5)(1/3)a→ + (2/5)b→ = (1/5)a→ + (2/5)b→。一致しました。2通りの表し方があるということは、検算の手段が最初から用意されているということです。必ず使ってください。

例題10-3（大きさの最小値）　|a→| = 2、|b→| = 3、a→·b→ = −1 のとき、|a→ + t b→| の最小値と、そのときの実数 t を求めてください。

手順1：2乗して内積に直す。大きさのままでは扱えません。
|a→ + t b→|² = |a→|² + 2t(a→·b→) + t²|b→|²
= 4 + 2t(−1) + 9t² = 9t² − 2t + 4

手順2：t の2次関数として最小化する。ここからは数学I・Aの平方完成です。
9t² − 2t + 4 = 9(t − 1/9)² + 4 − 1/9 = 9(t − 1/9)² + 35/9

t = 1/9 のとき最小で、|a→ + t b→|² = 35/9。

手順3：√を外す。大きさは0以上なので
|a→ + t b→| = √(35/9) = √35 / 3

答え：t = 1/9 のとき最小値 √35 / 3（約 1.97）

この問題の構造：ベクトルの問題を、t の2次関数の問題に変換しているだけです。変換したあとは数学I・Aの道具しか使っていません。「2乗して内積に持ち込む」が、そのスイッチになっています。

図形的な意味：a→ + t b→ の終点は、t を動かすと1本の直線を描きます。その最小の長さは原点からその直線への距離。だから最小値が存在するのは当然です。

例題10-4（空間・平面の方程式）　3点 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3) を通る平面の方程式を求め、原点からこの平面までの距離を求めてください。

手順1：切片の形を使う。3点がそれぞれ x 軸・y 軸・z 軸の上にあるので、切片形がそのまま使えます。
x/1 + y/2 + z/3 = 1

分母を払って（両辺に6を掛けて）
6x + 3y + 2z = 6

確認：A(1,0,0) → 6 = 6 ✓、B(0,2,0) → 6 = 6 ✓、C(0,0,3) → 6 = 6 ✓

手順2：原点からの距離。平面 ax+by+cz+d = 0 と点 (x₀, y₀, z₀) の距離は
|ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)

平面を 6x + 3y + 2z − 6 = 0 と書き、原点 (0,0,0) を代入して
|−6| / √(36 + 9 + 4) = 6/√49 = 6/7

答え：平面は 6x + 3y + 2z = 6、原点からの距離は 6/7

2次元との対応：この距離の公式は、第3章の「点と直線の距離」に z の項を足しただけです。平面図形で覚えた形が、そのまま空間に持ち上がる——ベクトルと座標の単元は、この対応関係で整理すると覚える量が半分になります。

例題10-5（ベクトルによる三角形の面積）　|a→| = 3、|b→| = 4、a→·b→ = 6 のとき、a→ と b→ が作る三角形の面積 S を求めてください。

考え方：面積は S = (1/2)|a→||b→| sinθ ですが、与えられているのは内積で、角そのものではありません。ここで sin²θ + cos²θ = 1 を使って sinθ を消すと、長さと内積だけで書ける公式になります。
　S = (1/2)√( |a→|²|b→|² − (a→·b→)² )

代入して
　S = (1/2)√( 3² × 4² − 6² ) = (1/2)√(144 − 36) = (1/2)√108 = (1/2) × 6√3 = 3√3

答え：S = 3√3

確認：角を出す道でも確かめられます。cosθ = (a→·b→) / (|a→||b→|) = 6 / 12 = 1/2 なので θ = 60°。
　S = (1/2) × 3 × 4 × sin60° = 6 × (√3/2) = 3√3
同じ答えになります。角がきれいな値になるときは、こちらのほうが速いこともあります。公式を使うか角を出すかは、cosθ がきれいな値かどうかで決めてください。
なお、この公式は成分がわかっているときの S = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁| と同じものです。a→ = (3, 0)、b→ = (2, 2√3) は条件を満たしますが、この2つで計算しても (1/2)|3 × 2√3 − 0| = 3√3。3通りのどの道でも同じ値に着きます。

例題11-1（極形式）　z = 1 + √3 i を極形式で表してください（偏角は 0 ≤ θ < 2π）。

手順1：絶対値を出す。
|z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2

手順2：偏角を出す。cosθ = 1/2、sinθ = √3/2 となる θ を探します。両方の符号を見ると第1象限なので
θ = π/3

答え：z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))

確認：2(1/2 + i·√3/2) = 1 + √3 i。元に戻りました。

偏角の決め方：tanθ = √3 だけで決めると、π/3 と 4π/3 のどちらか判断できません。必ず cos と sin の符号（＝どの象限か）で決めてください。

例題11-2（ド・モアブルの定理）　(1 + √3 i)⁶ を計算してください。

考え方：展開すると大変ですが、極形式なら一瞬です。例題11-1から 1 + √3 i = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))。

ド・モアブルの定理より
(1 + √3 i)⁶ = 2⁶{cos(6 × π/3) + i sin(6 × π/3)} = 64(cos 2π + i sin 2π)

cos 2π = 1、sin 2π = 0 なので
= 64

答え：64

意味を図で見る：1 + √3 i を6回掛けるということは、偏角 π/3（60°）の回転を6回——ちょうど1周して元の向きに戻ります。だから答えが実数になるのは必然です。長さのほうは 2 が6回かかって 64。

この定石の射程：(1+i)¹⁰⁰ のような問題も同じ手順です。1+i = √2(cos(π/4)+i sin(π/4)) なので、(√2)¹⁰⁰(cos 25π + i sin 25π) = 2⁵⁰ × (−1) = −2⁵⁰。指数が大きいほど、極形式の威力が出ます。

例題11-3（回転）　点 z = 4 + 3i を、点 α = 1 + 2i を中心に π/2 だけ回転した点 w を求めてください。

手順1：中心を原点に移す。
z − α = (4 + 3i) − (1 + 2i) = 3 + i

手順2：回す。π/2 の回転は cos(π/2) + i sin(π/2) = i を掛けることです。
i(3 + i) = 3i + i² = −1 + 3i

手順3：戻す。
w = α + (−1 + 3i) = (1 + 2i) + (−1 + 3i) = 5i

答え：w = 5i（座標でいえば (0, 5)）

確認：中心 α から z までの距離は |3+i| = √10。中心から w までは |5i − (1+2i)| = |−1+3i| = √10。回転しても中心からの距離は変わらないので、これで検算になります。

90°回転は i を掛けるだけ：これは覚える価値があります。i を掛けると (a, b) → (−b, a) になり、確かに反時計回りに90°回っています。「垂直」を作りたいときの最短ルートです。

例題11-4（方程式の表す図形）　|z − 1| = 2|z + 2| を満たす点 z は、どのような図形を描きますか。

手順1：z = x + yi と置く。すると
|z − 1| = |(x−1) + yi| = √((x−1)² + y²)
|z + 2| = |(x+2) + yi| = √((x+2)² + y²)

手順2：2乗して√を外す。
(x−1)² + y² = 4{(x+2)² + y²}

手順3：整理する。
x² − 2x + 1 + y² = 4x² + 16x + 16 + 4y²
0 = 3x² + 3y² + 18x + 15
3で割って　x² + y² + 6x + 5 = 0
平方完成して　(x + 3)² + y² = 4

答え：中心 −3（座標では (−3, 0)）、半径 2 の円

確認：z = −1 なら |−2| = 2、2|1| = 2 で成立。円の式も (−1+3)² = 4 ✓。z = −5 なら |−6| = 6、2|−3| = 6 で成立。(−5+3)² = 4 ✓

第3章とつながる：これは例題3-3とまったく同じ構造です。「2定点からの距離の比が一定（1でない）である点の軌跡は円」——複素数平面でも同じことが起きています。単元が変わっても、図形の性質は変わらない。複素数平面は、その性質を別の記号で書いているだけです。

例題11-5（n乗根）　方程式 z³ = 8i を解いてください（z は複素数）。

考え方：z のまま展開するのは大変です。両辺を極形式にして、絶対値と偏角に分けて考えると、割り算のかたちで一気に片づきます。
　絶対値は |z|³ = |8i|　／　偏角は 3θ = arg(8i) + 360°k
k を足し忘れると解が1つしか出ません。3乗根なら解はちょうど3つ、と決まっています。

右辺は 8i = 8(cos90° + i sin90°) なので
　|z|³ = 8　→　|z| = 2（|z| は正の実数）
　3θ = 90° + 360°k　→　θ = 30° + 120°k　（k = 0, 1, 2）

　k = 0：θ = 30°　→　z = 2(cos30° + i sin30°) = √3 + i
　k = 1：θ = 150°　→　z = 2(cos150° + i sin150°) = −√3 + i
　k = 2：θ = 270°　→　z = 2(cos270° + i sin270°) = −2i

答え：z = √3 + i、−√3 + i、−2i

確認：いちばん確実なのは3乗して戻すことです。(√3 + i)² = 2 + 2√3 i、これに √3 + i を掛けると 8i。(−2i)³ = −8i³ = 8i。どちらももとに戻りました。
図で見ると、3つの解は原点を中心とする半径2の円周上に、120°ずつ等間隔に並びます。1つ求まれば、あとは120°ずつ回すだけ——これがわかっていると、答えの見当がその場でつきます。
もうひとつの検算は3つの解の和です。z³ − 8i = 0 には z² の項がないので、解と係数の関係から和は 0。実際 (√3 + i) + (−√3 + i) + (−2i) = 0 です。
k = 3 まで進めても θ = 390° となり 30° と同じ点に戻ります。3つで打ち止めである理由もここにあります。

例題12-1（楕円）　楕円 x²/25 + y²/9 = 1 の焦点の座標と、長軸・短軸の長さを求めてください。また、この楕円上の点から2つの焦点までの距離の和を求めてください。

手順1：a と b を読む。a² = 25、b² = 9 なので a = 5、b = 3。a > b なので横長、焦点は x 軸上です。

手順2：焦点を出す。
c = √(a² − b²) = √(25 − 9) = √16 = 4
焦点は (4, 0) と (−4, 0)。

手順3：軸の長さ。長軸は 2a = 10、短軸は 2b = 6。

手順4：距離の和。楕円の定義から、2焦点までの距離の和は長軸の長さ 2a = 10 です。

答え：焦点 (±4, 0)、長軸 10、短軸 6、距離の和 10

確認：楕円上の点 (5, 0) で確かめます。焦点までの距離は |5−4| = 1 と |5−(−4)| = 9。和は 10 ✓。点 (0, 3) なら √(16+9) = 5 が2つで和は 10 ✓。どの点で測っても同じ——これが楕円の定義です。

例題12-2（双曲線）　双曲線 x²/9 − y²/16 = 1 の焦点の座標と漸近線の方程式を求めてください。

手順1：a と b を読む。a = 3、b = 4。

手順2：焦点を出す。双曲線は足し算。
c = √(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5
焦点は (5, 0) と (−5, 0)。

手順3：漸近線を出す。右辺を0にして
x²/9 − y²/16 = 0　→　(x/3 − y/4)(x/3 + y/4) = 0　→　y = ±(4/3)x

答え：焦点 (±5, 0)、漸近線 y = (4/3)x と y = −(4/3)x

楕円との違いを確認：楕円では c = 4 < a = 5（焦点が内側）でしたが、双曲線では c = 5 > a = 3（焦点が外側）。この大小関係が、符号を確かめる目印になります。

覚え方：3, 4, 5 の直角三角形が隠れています。双曲線では a, b, c が三平方の定理の関係（a²+b²=c²）、楕円では b²+c²=a²。どちらも三平方ですが、斜辺の位置が違うだけです。

例題12-3（媒介変数表示）　x = t + 1/t、y = t − 1/t（t ≠ 0）で表される点 (x, y) は、どのような曲線を描きますか。

考え方：t を消したいのですが、直接解くと式が汚くなります。2乗して足すか引くかを試します。

x² = t² + 2 + 1/t²
y² = t² − 2 + 1/t²

引くと t² と 1/t² が消えます。
x² − y² = 4

これは x²/4 − y²/4 = 1、すなわち a = b = 2 の双曲線（直角双曲線）です。

範囲の確認を忘れずに：t > 0 のとき、相加平均・相乗平均の関係から x = t + 1/t ≥ 2。t < 0 のときは x ≤ −2。つまり |x| ≥ 2 の部分だけを通ります。これは双曲線の形と一致しています（−2 < x < 2 に双曲線は存在しません）。

答え：双曲線 x² − y² = 4（全体を描きます）

第1章とつながる：ここで使った t + 1/t ≥ 2 は、例題1-4の相加平均・相乗平均そのものです。単元をまたいで、同じ道具が別の役割で出てくる——このつながりが見えると、覚える量が減ります。

例題12-4（極方程式）　極方程式 r = 2/(1 + cosθ) が表す曲線を、直交座標の方程式で表してください。

手順1：分母を払う。
r(1 + cosθ) = 2　→　r + r cosθ = 2

手順2：r cosθ = x を使う。
r + x = 2　→　r = 2 − x

手順3：r = √(x²+y²) として2乗する。2乗する前に、右辺が0以上、つまり x ≤ 2 であることを確認しておきます。
x² + y² = (2 − x)² = 4 − 4x + x²
y² = 4 − 4x = −4(x − 1)

答え：y² = −4(x − 1)　（頂点 (1, 0)、左に開く放物線）

確認：θ = π/2 のとき r = 2/(1+0) = 2 なので、点は (0, 2)。式に入れると 4 = −4(0−1) = 4 ✓。θ = 0 のとき r = 1 で点は (1, 0)、式は 0 = 0 ✓

読み取れること：この放物線の焦点は原点（＝極）で、準線は x = 2 です。極方程式 r = l/(1 + e cosθ) の e（離心率）が 1 のとき放物線——3種類の2次曲線が、1本の式で統一的に書けるのが極座標の面白さです。e < 1 なら楕円、e > 1 なら双曲線になります。

例題12-5（放物線の定義）　(1) 焦点が (2, 0)、準線が x = −2 である放物線の方程式を求めてください。(2) 放物線 y² = 8x 上の点 P について、P から準線までの距離が 5 であるとき、P の座標を求めてください。

考え方：放物線は「焦点までの距離と、準線までの距離が等しい点の集まり」です。楕円や双曲線が2つの焦点を使うのに対し、放物線は焦点1つと直線1本。この定義に戻れる形にしておくと、(2) のような問題が一瞬で終わります。

(1)　点 (x, y) について、焦点までの距離と準線までの距離が等しいので
　√{(x − 2)² + y²} = x + 2
両辺を2乗して
　(x − 2)² + y² = (x + 2)²　→　y² = 8x
（y² = 4px の形で p = 2。焦点は (p, 0)、準線は x = −p です）

(2)　y² = 8x の準線は x = −2 なので、点 P(x, y) から準線までの距離は x + 2。
　x + 2 = 5　→　x = 3　→　y² = 24　→　y = ±2√6

答え：(1) y² = 8x　(2) (3, 2√6)、(3, −2√6)

確認：(2) は定義に戻せば別ルートで確かめられます。焦点 (2, 0) から (3, 2√6) までの距離は √{(3 − 2)² + 24} = √25 = 5。準線までの距離と一致しました。
準線までの距離を |x| や x − 2 としてしまうのがよくある間違いです。準線は x = −2 という縦の直線なので、そこまでの距離は x − (−2) = x + 2。y² = 4px では x ≥ 0 なので絶対値も外れます。
4p の 4 を落として p = 8 としないこと。y² = 8x なら 4p = 8 で p = 2。焦点と準線が原点から同じだけ離れている、という絵を思い浮かべると取り違えません。