数学IIIの要点辞典｜全7単元の公式・定石・つまずきポイントと例題35問

例題1-1（分数関数）　y = (2x + 3)/(x − 1) のグラフの漸近線を求め、どのようなグラフか説明してください。

手順1：商＋余りの形にする。分子を分母で割ります。
2x + 3 = 2(x − 1) + 5

よって　y = 2 + 5/(x − 1)

手順2：漸近線を読む。
x − 1 = 0 のとき分母が0になるので　漸近線 x = 1
x を大きくすると 5/(x−1) → 0 なので　漸近線 y = 2

答え：漸近線は x = 1 と y = 2。y = 5/x のグラフを x 方向に 1、y 方向に 2 だけ平行移動したもの。

確認：x = 2 のとき元の式は 7/1 = 7、変形後は 2 + 5/1 = 7。一致します。変形したら必ず1点で検算してください。

なぜこの形にするのか：分数関数のグラフはすべて y = k/x の平行移動です。だから「商＋余り」に直せば、あとは移動先を読むだけになります。知っている形に持ち込む——数学IIIでも発想は同じです。

例題1-2（無理方程式）　√(x + 2) = x を解いてください。

手順1：条件を先に書く。
根号の中が0以上：x + 2 ≥ 0　→　x ≥ −2
左辺は0以上だから、右辺も0以上：x ≥ 0

この2つを合わせて x ≥ 0。

手順2：2乗して解く。
x + 2 = x²　→　x² − x − 2 = 0　→　(x − 2)(x + 1) = 0　→　x = 2, −1

手順3：条件で絞る。x ≥ 0 より x = −1 は不適。

答え：x = 2

確認：√(2 + 2) = √4 = 2。合っています。x = −1 なら左辺 √1 = 1、右辺 −1 で成り立ちません。

グラフで見ると：y = √(x+2) と y = x の交点を探しているので、交点は1個しかないとグラフから予想できます。x = −1 は、直線を下側に延ばした「鏡像」との交点にあたる偽物です。2乗すると偽物が混ざる理由が、図で見えます。

例題1-3（逆関数）　y = (2x + 3)/(x − 1)（x ≠ 1）の逆関数を求め、その定義域を答えてください。

手順1：x について解く。
y(x − 1) = 2x + 3
yx − y = 2x + 3
yx − 2x = y + 3
x(y − 2) = y + 3
x = (y + 3)/(y − 2)

手順2：x と y を入れかえる。
y = (x + 3)/(x − 2)

手順3：定義域を書く。もとの関数の値域が、逆関数の定義域です。例題1-1から、もとの関数は y = 2 + 5/(x−1) なので、値 2 だけは取れません（値域は y ≠ 2）。よって逆関数の定義域は x ≠ 2。

答え：y = (x + 3)/(x − 2)（x ≠ 2）

確認：もとの関数で x = 2 のとき y = 7。逆関数に x = 7 を入れると 10/5 = 2。元に戻りました。「1点で往復させる」のが、逆関数のいちばん速い検算です。

定義域が分母から自動的に出る場合：ここでは逆関数の式の分母が x − 2 なので、x ≠ 2 は式からも読めます。ただし、いつも一致するとは限りません。もとの関数の値域を確認する手順は、必ず踏んでください。

例題1-4（合成関数）　f(x) = x² + 1、g(x) = 2x − 3 のとき、(g∘f)(x) と (f∘g)(x) を求めてください。

(g∘f)(x) = g(f(x))　先に f、あとから g。
= g(x² + 1) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1

(f∘g)(x) = f(g(x))　先に g、あとから f。
= f(2x − 3) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10

答え：(g∘f)(x) = 2x² − 1、(f∘g)(x) = 4x² − 12x + 10

確認：x = 1 で確かめます。f(1) = 2、g(2) = 1 なので (g∘f)(1) = 1。式では 2 − 1 = 1 ✓。g(1) = −1、f(−1) = 2 なので (f∘g)(1) = 2。式では 4 − 12 + 10 = 2 ✓

順序が結果を変える：2x² − 1 と 4x² − 12x + 10 はまったく別の関数です。合成に交換法則は成り立ちません。この事実は、第4章の合成関数の微分でそのまま効いてきます。

例題1-5（無理関数と直線の共有点）　k を実数とするとき、y = √(x + 2) のグラフと直線 y = x + k の共有点の個数を求めてください。

考え方：√(x + 2) = x + k をそのまま2乗すると、もとの式を満たさない解が紛れこみます。ここでは t = √(x + 2) とおいて、「t ≥ 0 の解が何個あるか」に言いかえると、余分な解が最初から入りません。
t ≥ 0 と x = t² − 2 は1対1に対応するので、t の個数を数えれば、そのまま共有点の個数になります。

　t = (t² − 2) + k　→　t² − t + (k − 2) = 0　……①
　判別式 D = 1 − 4(k − 2) = 9 − 4k
　2解の和は 1、積は k − 2

(i)　k > 9/4　→　D < 0 で実数解なし　→　0個
(ii)　k = 9/4　→　重解 t = 1/2 ≥ 0　→　1個
(iii)　2 ≤ k < 9/4　→　和が 1 > 0、積が k − 2 ≥ 0 なので2解とも 0 以上　→　2個
(iv)　k < 2　→　積が負なので、正の解と負の解が1つずつ。t ≥ 0 を満たすのは1つ　→　1個

答え：k < 2 のとき1個、2 ≤ k < 9/4 のとき2個、k = 9/4 のとき1個、k > 9/4 のとき0個

確認：境目の値を実際に入れてみるのがいちばん確実です。k = 2 のとき ① は t² − t = 0 で t = 0, 1、x = −2, −1。どちらも √(x + 2) = x + 2 を満たします（0 = 0、1 = 1）。確かに2個です。
k = 0 なら t² − t − 2 = 0 で t = 2, −1。t ≥ 0 は t = 2 だけなので x = 2、1個。t = −1 を捨て忘れると2個と答えてしまいます。
グラフで見ると、y = √(x + 2) は (−2, 0) から右上へ伸びる曲線の上半分。傾き1の直線を上下に動かすと、端点 (−2, 0) を通るとき（k = 2）と、接するとき（k = 9/4）が境目になります。答えの分かれ目が、絵の上でどこにあたるかを言えるかが理解の目安です。

例題2-1（∞/∞ の処理）　lim_n→∞ (3n² − n)/(2n² + 5) を求めてください。

考え方：そのまま n → ∞ とすると ∞/∞ で決まりません。分母の最高次 n² で分母分子を割ります。

= lim_n→∞ (3 − 1/n)/(2 + 5/n²)

1/n → 0、5/n² → 0 なので
= 3/2

答え：3/2

確認：n = 100 を入れると (30000 − 100)/(20000 + 5) = 29900/20005 ≒ 1.4946。3/2 = 1.5 に近づいています。大きい n を1つ代入するだけで、答えの妥当性は確かめられます。

一般化：多項式どうしの分数の極限は、分母と分子の最高次を比べるだけで決まります。分子の次数が高ければ発散、同じなら係数の比、分子のほうが低ければ0です。

例題2-2（∞ − ∞ の処理）　lim_n→∞ (√(n² + n) − n) を求めてください。

考え方：∞ − ∞ なので、このままでは決まりません。有理化して分数の形にします。

√(n²+n) − n = {(√(n²+n) − n)(√(n²+n) + n)} / (√(n²+n) + n)

分子は (n² + n) − n² = n になるので
= n / (√(n²+n) + n)

ここで ∞/∞ になったので、最高次の n で割ります。
= 1 / (√(1 + 1/n) + 1)

1/n → 0 なので
= 1/(1 + 1) = 1/2

答え：1/2

確認：n = 1000 なら √(1001000) − 1000 ≒ 1000.4999 − 1000 = 0.4999。1/2 に近づいています。

この2段変形が定石：∞ − ∞ → 有理化 → ∞/∞ → 最高次で割る。2つの不定形を渡り歩いていますが、どちらも処理法が決まっているので迷いません。「扱えない形を、扱える形に移す」という数学II・B・Cで繰り返した動作の続きです。

例題2-3（無限等比級数）　無限級数 3 + 3(1/4) + 3(1/4)² + … の和を求めてください。また、無限等比級数 Σ a rⁿ⁻¹ が収束する条件を書いてください。

収束条件：a = 0、または |r| < 1（a = 0 ならすべての項が0なので、公比に関係なく和は0）

この級数の和：初項 a = 3、公比 r = 1/4。|1/4| < 1 なので収束します。
S = a/(1 − r) = 3/(1 − 1/4) = 3/(3/4) = 4

答え：和は 4

確認：部分和を計算すると 3, 3.75, 3.9375, 3.984375, … と 4 に近づいています。

なぜ a/(1−r) になるのか：部分和は S_n = a(1 − rⁿ)/(1 − r)。ここで |r| < 1 なら rⁿ → 0 なので S_n → a/(1 − r)。公式は、数学Bの等比数列の和の極限をとっただけです。

例題2-4（循環小数）　循環小数 0.123123123… を分数で表してください。

方法1：無限等比級数として足す。
0.123123… = 0.123 + 0.000123 + 0.000000123 + …
初項 0.123、公比 0.001 の無限等比級数です。|0.001| < 1 なので収束して
S = 0.123/(1 − 0.001) = 0.123/0.999 = 123/999

約分して　= 41/333

方法2：1000倍して引く。x = 0.123123… とおくと 1000x = 123.123123…。辺々引くと
999x = 123　→　x = 123/999 = 41/333

答え：41/333

確認：41 ÷ 333 = 0.123123123…。合っています。

2つの方法の関係：方法2の「1000倍して引く」は、方法1の級数の和を計算しやすい形で処理しただけです。中学で習った手順に、ここではじめて理由がつきます。循環小数が必ず分数になるのは、無限等比級数が収束するから——これが答えです。

例題2-5（はさみうちの原理）　次の極限を求めてください。(1) lim_n→∞ (sin n) / n　(2) lim_n→∞ ⁿ√(2ⁿ + 3ⁿ)

考え方：そのままでは値が決まらないものを、上と下から決まるもので押さえるのがはさみうちです。sin n のように振動して極限を持たないものや、ⁿ√ のように直接は扱いにくいものが出たら、この形を思い浮かべると手が動きます。
大事なのは、上と下の極限が同じ値になるように押さえること。ここがずれていると、はさんでも何も言えません。

(1)　−1 ≤ sin n ≤ 1 なので、n > 0 のとき各辺を n で割って
　−1/n ≤ (sin n)/n ≤ 1/n
両端はどちらも 0 に近づくので
　lim_n→∞ (sin n)/n = 0

(2)　2ⁿ < 3ⁿ なので
　3ⁿ < 2ⁿ + 3ⁿ < 2 × 3ⁿ
各辺の n 乗根をとって
　3 < ⁿ√(2ⁿ + 3ⁿ) < 3 × ⁿ√2
ⁿ√2 → 1 なので右辺は 3 に近づき
　lim_n→∞ ⁿ√(2ⁿ + 3ⁿ) = 3

答え：(1) 0　(2) 3

確認：(2) は「いちばん大きい項でくくる」と考えても同じです。2ⁿ + 3ⁿ = 3ⁿ{(2/3)ⁿ + 1} なので ⁿ√ = 3 × ⁿ√{(2/3)ⁿ + 1}。中身が 1 に近づくので 3。2通りで一致すれば安心できます。実際 n = 20 で 3.000045、n = 100 ではほぼ 3 です。
やってはいけないのは、(1) で「sin n は −1 と 1 の間だから極限は 0」と一気に書くことです。sin n 自体は極限を持ちません。不等式で押さえてから、両端の極限を示すという順序が、そのまま答案の形になります。
n で割るときに n > 0 を断っておくと、不等号の向きが変わらない理由まで書けます。

例題3-1（三角関数の極限）　lim_x→0 (sin 3x)/x を求めてください。

考え方：基本極限を使うには、sin の中身と分母をそろえる必要があります。

(sin 3x)/x = 3 × (sin 3x)/(3x)

x → 0 のとき 3x → 0 なので、(sin 3x)/(3x) → 1。よって
= 3 × 1 = 3

答え：3

確認：x = 0.01 で計算すると sin(0.03)/0.01 ≒ 0.0299955/0.01 ≒ 2.9996。3 に近づいています。

覚え方：x → 0 のとき sin x ≒ x。だから sin 3x ≒ 3x で、3x/x = 3。この「近似で見当をつけて、式で確かめる」やり方を身につけると、答えの見当が先につきます。

例題3-2（1 − cos の極限）　lim_x→0 (1 − cos x)/x² を求めてください。

考え方：そのままだと 0/0。分子に 1 + cos x を掛けて有理化すると、sin が現れます。

(1 − cos x)/x² = {(1 − cos x)(1 + cos x)} / {x²(1 + cos x)}
= (1 − cos²x) / {x²(1 + cos x)} = sin²x / {x²(1 + cos x)}

ここで sin²x / x² = {(sin x)/x}² → 1² = 1、また 1 + cos x → 2 なので
= 1/2

答え：1/2

確認：x = 0.01 なら (1 − cos 0.01)/0.0001 ≒ 0.00005/0.0001 = 0.5。合っています。

この結果は覚えておく価値がある：1 − cos x ≒ x²/2。sin x ≒ x と並べて持っておくと、極限の見当が一瞬でつきます。

例題3-3（e に関する極限）　lim_x→∞ (1 + 2/x)^x を求めてください。

考え方：1^∞ の不定形です。(1 + 1/t)^t → e の形にそろえます。

t = x/2 とおくと 2/x = 1/t、x = 2t。x → ∞ のとき t → ∞。
(1 + 2/x)^x = (1 + 1/t)^2t = {(1 + 1/t)^t}²

中身が e に近づくので
→ e²

答え：e²（約 7.389）

確認：x = 10000 で計算すると (1.0002)¹⁰⁰⁰⁰ ≒ 7.3882。e² ≒ 7.3891 に近づいています。

一般化：lim_x→∞(1 + a/x)^x = e^a。中に入っている数が、そのまま e の肩に乗ると覚えておくと速い。ただし答案では、置きかえの過程を書いてください。

例題3-4（中間値の定理）　方程式 x³ − 3x + 1 = 0 が 0 < x < 1 の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示してください。

証明　f(x) = x³ − 3x + 1 とおきます。

① 連続性：f(x) は多項式なので、すべての実数で連続です。とくに閉区間 [0, 1] で連続。

② 両端の符号：
f(0) = 0 − 0 + 1 = 1 > 0
f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0

③ 結論：f(0) と f(1) の符号が異なるので、中間値の定理より 0 < x < 1 に f(x) = 0 となる x が少なくとも1つ存在します。（証明終わり）

確認：実際、この方程式の解のひとつは約 0.347 で、確かに 0 と 1 の間にあります。

「少なくとも1つ」の意味：中間値の定理は存在しか保証しません。「ちょうど1つ」を示したいなら、f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1) が 0 < x < 1 で常に負、つまりこの区間で単調減少だと付け加えます。単調なら解は多くても1つなので、合わせて「ちょうど1つ」が言えます。

使いどころ：解の値が求められない方程式でも、「ある」ことは言える——これが中間値の定理の価値です。存在を示す問題を見たら、まずこの定理を疑ってください。

例題3-5（片側極限と連続）　(1) lim_x→0 |x| / x を調べてください。(2) f(x) = (x² − 1)/(x − 1)（x ≠ 1）、f(1) = a と定めるとき、f(x) が x = 1 で連続になる a を求めてください。

考え方：絶対値や場合分けを含む関数では、右から近づくときと左から近づくときで答えが変わることがあります。だからまず両側を別々に調べる——これが片側極限です。
連続かどうかも、定義は「極限値と、その点での値が一致すること」。極限を出してから、値と比べるという順です。

(1)　x > 0 なら |x| = x なので |x|/x = 1。x < 0 なら |x| = −x なので |x|/x = −1。よって
　lim_x→+0 |x|/x = 1、lim_x→−0 |x|/x = −1
2つが一致しないので、x → 0 での極限は存在しません。

(2)　x ≠ 1 では約分できて (x² − 1)/(x − 1) = x + 1。よって
　lim_x→1 f(x) = 1 + 1 = 2
連続になるには f(1) = a がこの極限値と等しければよいので a = 2。

答え：(1) 極限は存在しない（右極限 1、左極限 −1）　(2) a = 2

確認：(2) は x = 0.99 で 1.99、x = 1.01 で 2.01。両側から 2 に寄っているので、極限値 2 は妥当です。
気をつけたいのは、約分できるからといって x = 1 を代入してよいわけではないことです。もとの式は x = 1 で 0/0 になり定義されていません。「x ≠ 1 のもとで約分し、その式の極限を見る」という順序を書き落とさないでください。
また (1) のように極限が存在しないこともあります。「極限を求めよ」と言われても、まず存在するかを疑う——絶対値・ガウス記号・場合分けのある関数では、これが最初の一手になります。

例題4-1（積の微分＋合成）　y = x²e^3x を微分してください。

考え方：x² と e^3x の積なので積の微分。さらに e^3x は合成なので中身の微分 3 が掛かります。

y′ = (x²)′ · e^3x + x² · (e^3x)′
= 2x · e^3x + x² · 3e^3x

xe^3x でくくって
= xe^3x(2 + 3x)

答え：y′ = xe^3x(3x + 2)

確認：x = 0 のとき y′ = 0。実際 y = x²e^3x は x = 0 で最小値0をとるので、傾きが0になるのは正しい。特別な点で確かめるのが、微分の検算の定番です。

くくる意味：最後にくくるのは見栄えのためだけではありません。くくった形にすると、y′ = 0 となる x がすぐ読めます（ここでは x = 0 と x = −2/3）。第5章の増減表につながる準備です。

例題4-2（合成関数）　次の関数を微分してください。
(1) y = log(x² + 1)　(2) y = sin²x

(1)　外側が log、中身が x² + 1。
外側の微分：1/(x²+1)
中身の微分：2x
y′ = 2x/(x² + 1)

(2)　sin²x = (sin x)² なので、外側が2乗、中身が sin x。
外側の微分：2(sin x)
中身の微分：cos x
y′ = 2 sin x cos x = sin 2x

答え：(1) 2x/(x²+1)　(2) sin 2x

(2)の検算：半角の公式で sin²x = (1 − cos 2x)/2 と直してから微分すると −(−2 sin 2x)/2 = sin 2x。同じ答えです。2通りで出せる問題は、必ず両方で確かめてください。

(1)の注意：真数 x² + 1 は常に正なので、この関数はすべての実数で定義されます。もし中身が符号を変えるなら、定義域を確認してください。

例題4-3（商の微分）　y = (x² + 1)/(x − 1) を微分してください。

公式に当てはめる。f = x²+1、g = x−1 とすると f′ = 2x、g′ = 1。

y′ = {2x(x − 1) − (x² + 1) · 1} / (x − 1)²

分子を整理して
= (2x² − 2x − x² − 1)/(x−1)² = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²

答え：y′ = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²

別解（商を避ける）：x² + 1 = (x−1)(x+1) + 2 なので y = x + 1 + 2/(x−1)。これを微分すると 1 − 2/(x−1)² = {(x−1)² − 2}/(x−1)² = (x² − 2x − 1)/(x−1)²。一致しました。

どちらが速いか：分数関数は「商＋余りに直してから微分」のほうが、計算が軽くなることがよくあります。第1章で使った変形が、そのまま微分でも効いています。公式を使う前に、式を軽くできないか一度考えてください。

例題4-4（媒介変数と陰関数）　(1) x = t²、y = t³ のとき dy/dx を t で表してください（t ≠ 0）。(2) x² + y² = 4 のとき dy/dx を求めてください。

(1)　それぞれ t で微分して割ります。
dx/dt = 2t、dy/dt = 3t²
dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2

(2)　y は x の関数だと考えて、両辺を x で微分します。y² の微分には連鎖律が効いて y′ が付きます。
2x + 2y · y′ = 0
y′ = −x/y（y ≠ 0）

答え：(1) 3t/2　(2) −x/y

(2)の意味を確かめる：この式は半径2の円です。円上の点 (x, y) における接線の傾きが −x/y ——これは「半径と接線は垂直」を式にしたものです。半径の傾きが y/x なので、垂直な直線の傾きは −x/y。数学IIの図形と方程式で習った性質が、微分でも出てきました。

(1)の検算：t = 1 のとき点は (1, 1) で傾きは 3/2。t = 1.01 なら点は (1.0201, 1.0303) で、2点を結ぶ傾きは 0.0303/0.0201 ≒ 1.507。3/2 に近い値です。

例題4-5（対数微分法）　次の関数を微分してください。(1) y = x^x（x > 0）　(2) y = (x + 1)²(x + 2)³ / (x + 3)⁴

考え方：指数に文字がある形と、掛け算・割り算が何段も重なった形。この2つを見たら対数微分法です。両辺の対数をとると、積は和に、商は差に、指数は前の係数になる——だから式が一段やさしくなります。

(1)　y = x^x は、xⁿ でも a^x でもないので、そのままではどの公式も使えません。両辺の自然対数をとります。
　log y = x log x
両辺を x で微分します。左辺は合成関数なので y′ / y、右辺は積の微分で
　y′ / y = log x + x × (1/x) = log x + 1
　y′ = y(log x + 1) = x^x(log x + 1)

(2)　このまま商の微分を使うと式が大きくなります。対数をとると
　log|y| = 2 log|x + 1| + 3 log|x + 2| − 4 log|x + 3|
　y′ / y = 2/(x + 1) + 3/(x + 2) − 4/(x + 3)
　y′ = (x + 1)²(x + 2)³/(x + 3)⁴ × { 2/(x + 1) + 3/(x + 2) − 4/(x + 3) }

答え：(1) y′ = x^x(log x + 1)　(2) 上の式

確認：(1) は x = 1 を入れると y′ = 1 × (0 + 1) = 1。y = x^x のグラフは x = 1/e で極小になるので、x = 1 では増加中——符号が正で矛盾しません。
(2) は x = 1 を入れると y′ = 27/64。商の微分で正面から計算しても同じ値になります。対数微分法は「別の道」ではなく「同じ答えに早く着く道」です。
なお log y と書けるのは y > 0 のときだけなので、(2) のように符号が変わりうる式では絶対値をつけて log|y| と書きます。ここを飛ばすと、定義域の外で議論したことになります。

例題5-1（原点から引く接線）　曲線 y = e^x に原点 O(0, 0) から引いた接線の方程式と、接点の座標を求めてください。

手順1：接点を文字でおく。接点を (t, e^t) とします。y′ = e^x なので、この点での傾きは e^t。

手順2：接線の式。
y = e^t(x − t) + e^t

手順3：原点を通る条件。x = 0, y = 0 を代入して
0 = e^t(0 − t) + e^t = e^t(1 − t)

e^t > 0 なので 1 − t = 0、すなわち t = 1。

手順4：代入する。接点は (1, e)、傾きは e。接線は
y = e(x − 1) + e = ex

答え：接線 y = ex、接点 (1, e)

確認：y = ex は原点を通ります ✓。x = 1 で y = e となり、曲線上の点と一致します ✓

e^t > 0 が効いている：e^t(1 − t) = 0 から t = 1 だけが出るのは、指数関数は決して0にならないからです。ここを「e^t = 0 または t = 1」と書いてしまうと、余分な場合を考えることになります。

この結果が使える：y = e^x と y = kx の位置関係が、この1本の接線で決まります。k = e のときちょうど接し、k > e なら2点で交わり、0 < k < e なら交わりません。接線は「境目」を教えてくれます。

例題5-2（増減と凹凸）　y = xe^−x の増減・凹凸を調べ、極値と変曲点を求めてください。また x → ∞ のときの様子を答えてください。

手順1：定義域。すべての実数。

手順2：第1次導関数。積の微分で
y′ = 1 · e^−x + x · (−e^−x) = e^−x(1 − x)

e^−x > 0 なので、符号は 1 − x だけで決まります。x < 1 で正（増加）、x > 1 で負（減少）。

手順3：第2次導関数。
y″ = −e^−x(1 − x) + e^−x(−1) = e^−x(x − 1 − 1) = e^−x(x − 2)

x < 2 で負（上に凸）、x > 2 で正（下に凸）。

手順4：増減表。

手順5：極限。x → ∞ のとき、指数関数の減り方のほうが多項式の増え方より強いので
lim_x→∞ xe^−x = 0
つまり x 軸が漸近線です。（x → −∞ では −∞ に発散します）

答え：x = 1 で極大値 1/e（約 0.368）、変曲点は (2, 2/e²)（約 (2, 0.271)）。x → ∞ で 0 に近づく。

グラフの姿：左から上がってきて x = 1 で山を作り、そのあとゆっくり0に近づいていく。山を越えてしばらくは急に落ち、x = 2 を過ぎると落ち方がゆるやかになる——それが変曲点の意味です。

この関数が出てくる場面：薬の血中濃度や、放射性物質の崩壊など「増えてから減る」現象のモデルとしてよく現れます。変曲点は「減り方が変わる時点」を表しています。

例題5-3（最大値）　y = (log x)/x（x > 0）の最大値を求めてください。

手順1：定義域を確認。x > 0（真数条件）。両端は含まれていないので、あとで極限を調べます。

手順2：微分する。商の微分で
y′ = {(1/x) · x − log x · 1}/x² = (1 − log x)/x²

x² > 0 なので、符号は 1 − log x だけで決まります。
1 − log x > 0 ⇔ log x < 1 ⇔ x < e

手順3：増減表。

手順4：端の様子を調べる。
x → +0 のとき log x → −∞、1/x → +∞ なので y → −∞
x → ∞ のとき y → 0（対数の増え方より x の増え方が強い）

どちらも 1/e より小さいので、極大値がそのまま最大値です。

答え：x = e のとき最大値 1/e（約 0.368）

確認：x = 2 なら 0.347、x = e ≒ 2.718 なら 0.368、x = 3 なら 0.366。確かに e の付近が山です。

この結果の応用：(log x)/x の最大が x = e だという事実から、e^π と π^e はどちらが大きいかという有名な問題が解けます。両辺の対数をとると π log e と e log π の比較になり、これは (log e)/e と (log π)/π の比較。x = e が最大なので (log e)/e > (log π)/π、よって e^π > π^e です。

例題5-4（不等式の証明と解の個数）　(1) x > 0 のとき e^x > 1 + x を示してください。(2) 定数 k > 0 に対して、方程式 e^x = kx の実数解の個数を求めてください。

(1) 証明　f(x) = e^x − 1 − x とおきます。
f′(x) = e^x − 1

x > 0 のとき e^x > e⁰ = 1 なので f′(x) > 0。つまり f は x > 0 で単調増加です。

また f(0) = 1 − 1 − 0 = 0。

よって x > 0 では f(x) > f(0) = 0、すなわち e^x > 1 + x。（証明終わり）

(2)　y = e^x と直線 y = kx（原点を通る傾き k の直線）の交点の個数を数えます。

例題5-1から、原点から引ける接線は y = ex の1本だけで、接点は (1, e)。

直線の傾き k を0から大きくしていくと
・0 < k < e　→　直線が曲線の下を通り抜けるので　0個
・k = e　→　接する　1個
・k > e　→　突き抜けて2点で交わる　2個

答え：0 < k < e のとき0個、k = e のとき1個、k > e のとき2個

確認：k = 3 > e ≒ 2.718 のとき e^x = 3x の解は約 0.62 と約 1.51 の2個。k = 2 < e なら解なし。合っています。

(1)と(2)のつながり：(1)は「k = 1 のときは交わらない」ことの証明にあたります。接線が「境目」を作り、その境目の前後で個数が変わる——第6章（数学II）の3次関数と横線の話と、構造はまったく同じです。関数が変わっても、型は変わりません。

例題5-5（速度・加速度と道のり）　数直線上を動く点 P の時刻 t（t ≥ 0）における位置が x = t³ − 6t² + 9t です。(1) 速度 v と加速度 α を求めてください。(2) P が運動の向きを変える時刻を求めてください。(3) t = 0 から t = 4 までに P が動いた道のりを求めてください。

考え方：位置を微分すると速度、速度を微分すると加速度。ここまでは機械的です。注意がいるのは (3) で、「位置の変化」と「動いた道のり」は別物だという点です。行って戻ってくると、位置は元に近づきますが道のりは足し算で増えていきます。

(1)　v = dx/dt = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3)、α = dv/dt = 6t − 12

(2)　向きが変わるのはv の符号が変わるときです。v = 3(t − 1)(t − 3) は t = 1 と t = 3 で 0 になり、その前後で符号が変わります（正 → 負 → 正）。よって t = 1, 3。

(3)　向きが変わる時刻で区切り、各区間での位置の変化の絶対値を足します。
　x(0) = 0、x(1) = 4、x(3) = 0、x(4) = 4
　道のり = |4 − 0| + |0 − 4| + |4 − 0| = 4 + 4 + 4 = 12

答え：(1) v = 3t² − 12t + 9、α = 6t − 12　(2) t = 1, 3　(3) 12

確認：t = 0 から t = 4 での位置の変化は x(4) − x(0) = 4 です。道のり 12 とはまったく違う値——ここが分かれ目です。
道のりは ∫₀⁴|v| dt でも求められ、同じ 12 になります。絶対値がついているので、結局は v の符号で区間を分けることになります。|v| を見た瞬間に「符号の変わり目で切る」と決めてしまってください。
なお α = 0 となる t = 2 は速度が最小になる時刻で、向きが変わる時刻ではありません。「加速度が0」と「向きが変わる」を混同しないようにしてください。

例題6-1（置換積分）　∫₀¹ x√(x² + 1) dx を求めてください。

手順1：置換する形かを見る。根号の中 x²+1 の微分は 2x。外に x があるので、この形は置換が効きます。

手順2：置く。t = x² + 1 とおくと dt = 2x dx、すなわち x dx = dt/2。

手順3：区間を書き換える。
x = 0 のとき t = 1／x = 1 のとき t = 2

手順4：t で積分する。
∫₁² √t · (1/2)dt = (1/2)∫₁² t^1/2dt = (1/2)[（2/3）t^3/2]₁² = (1/3)[t^3/2]₁²
= (1/3)(2√2 − 1)

答え：(2√2 − 1)/3（約 0.609）

確認：被積分関数は 0 ≤ x ≤ 1 で 0 から √2 ≒ 1.41 まで増える関数です。平均をだいたい 0.6 と見れば、幅1の区間の積分は 0.6 程度。桁の見当が合っています。

区間を変えたので x に戻さない：定積分では t の世界で計算を終えられます。不定積分なら最後に t = x²+1 を代入して戻す必要があります。この違いを混同しないでください。

例題6-2（部分積分）　∫₀¹ xe^x dx を求めてください。

手順1：どちらを微分する側にするか。x は微分すると 1 になって簡単になります。だから f = x、g′ = e^x（したがって g = e^x）。

手順2：公式に当てはめる。
∫₀¹ xe^xdx = [xe^x]₀¹ − ∫₀¹ 1 · e^xdx

手順3：計算する。
[xe^x]₀¹ = 1 · e − 0 = e
∫₀¹e^xdx = [e^x]₀¹ = e − 1

= e − (e − 1) = 1

答え：1

確認：xe^x の不定積分は (x−1)e^x です（微分すると e^x + (x−1)e^x = xe^x ✓）。よって [(x−1)e^x]₀¹ = 0 − (−1) = 1。合っています。

もし逆に選んだら：f = e^x、g′ = x とすると ∫ = [e^x·x²/2] − ∫ e^x·x²/2 dx となり、次数が上がって悪化します。「やってみて悪くなったら逆」——それで判断できます。

例題6-3（部分分数分解）　∫₂³ dx/(x² − 1) を求めてください。

手順1：分母を因数分解する。x² − 1 = (x−1)(x+1)

手順2：部分分数に分ける。
1/{(x−1)(x+1)} = (1/2){1/(x−1) − 1/(x+1)}

（確かめ：1/(x−1) − 1/(x+1) = {(x+1) − (x−1)}/{(x−1)(x+1)} = 2/(x²−1)。半分にすれば一致します）

手順3：積分する。
= (1/2)[log|x−1| − log|x+1|]₂³ = (1/2)[log|(x−1)/(x+1)|]₂³

= (1/2){log(2/4) − log(1/3)} = (1/2){log(1/2) + log 3} = (1/2)log(3/2)

答え：(1/2)log(3/2)（約 0.203）

確認：被積分関数は 2 ≤ x ≤ 3 で 1/3 から 1/8 まで減ります。平均を 0.2 程度と見れば、幅1の積分は 0.2 ほど。合っています。

分け方の作り方：1/{(x−a)(x−b)} = 1/(a−b) × {1/(x−a) − 1/(x−b)}。ここでは a = 1, b = −1 なので係数は 1/2。数学Bの部分分数（第8章の telescoping）とまったく同じ操作です。使い道が違うだけで、技術は同じものです。

例題6-4（三角関数の次数下げ）　∫₀^π/2 sin²x dx を求めてください。

手順1：次数を下げる。半角の公式より
sin²x = (1 − cos 2x)/2

手順2：積分する。
∫₀^π/2(1 − cos 2x)/2 dx = (1/2)[x − (sin 2x)/2]₀^π/2

x = π/2 のとき sin π = 0、x = 0 のとき sin 0 = 0 なので、sin の項は消えます。
= (1/2)(π/2 − 0) = π/4

答え：π/4（約 0.785）

対称性を使った別解：∫₀^π/2sin²x dx と ∫₀^π/2cos²x dx は、区間内で sin と cos の役割が対称なので等しい値です。そして2つを足すと ∫₀^π/21 dx = π/2。よってそれぞれ π/4。計算せずに答えが出ます。

覚えておくと速い：∫₀^π/2sin²x dx = ∫₀^π/2cos²x dx = π/4。この値は、回転体の体積の計算で何度も出てきます。

例題6-5（絶対値を含む定積分）　∫₀³ |x² − 2x| dx を求めてください。

考え方：絶対値は、そのままでは積分できません。中身の符号が変わる場所で区間を切り、それぞれで絶対値を外してから積分します。やることは「符号の調査 → 区間を分ける → 足す」の3段です。

① 符号を調べる：x² − 2x = x(x − 2) なので、0 < x < 2 では負、2 < x < 3 では正。切れ目は x = 2 です。

② 区間を分けて絶対値を外す：
　∫₀³ |x² − 2x| dx = ∫₀² −(x² − 2x) dx + ∫₂³ (x² − 2x) dx

③ それぞれ計算する：∫(x² − 2x) dx = x³/3 − x² なので
　前半：−[x³/3 − x²]₀² = −(8/3 − 4) = 4/3
　後半：[x³/3 − x²]₂³ = (9 − 9) − (8/3 − 4) = 4/3

答え：4/3 + 4/3 = 8/3

確認：もし絶対値を外さずに ∫₀³ (x² − 2x) dx としてしまうと、答えは 0 になります。面積を求めているのに 0 が出たら、符号の処理を飛ばした合図です。絶対値の積分は必ず正の値になるので、答えが 0 や負になっていないかを最後に見るだけでも気づけます。なお x 軸より下の部分の面積を求めるときも、同じ手順になります。

例題7-1（面積）　曲線 y = log x、x 軸、直線 x = e で囲まれた部分の面積を求めてください。

手順1：範囲を確認する。log x = 0 となるのは x = 1。1 ≤ x ≤ e で log x ≥ 0 なので、この範囲で x 軸より上にあります。

手順2：積分する。
S = ∫₁^e log x dx

log x の積分は部分積分で出します。log x = 1 × log x と見て、f = log x、g′ = 1（g = x）。
∫log x dx = x log x − ∫x · (1/x)dx = x log x − x + C

S = [x log x − x]₁^e = (e · 1 − e) − (1 · 0 − 1) = 0 − (−1) = 1

答え：1

確認：この部分は、幅 e − 1 ≒ 1.72、高さが 0 から 1 まで増える図形です。三角形なら面積は 1.72 × 1 ÷ 2 ≒ 0.86。実際の曲線は直線より上にふくらんでいるので、それより少し大きい 1 という値は妥当です。

log x の積分は覚えておく：∫log x dx = x log x − x + C。よく出るので、その場で部分積分するより覚えたほうが速い式のひとつです。ただし導き方も1度は確認しておいてください。

例題7-2（回転体の体積）　曲線 y = √x（0 ≤ x ≤ 4）と x 軸、直線 x = 4 で囲まれた部分を、x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください。

手順1：断面を考える。位置 x での断面は、半径 y = √x の円。面積は πy² = πx。

手順2：厚み dx を掛けて足す。
V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = π × 8 = 8π

答え：8π（約 25.1）

確認：この立体は、底面の半径が √4 = 2、高さが 4 の「円錐に似た形」です。同じ底面・高さの円錐なら体積は (1/3)π × 4 × 4 = 16π/3 ≒ 16.8、円柱なら π × 4 × 4 = 16π ≒ 50.3。その中間の 8π ≒ 25.1 は妥当な値です。

y² が式を簡単にする：y = √x は根号がありますが、2乗されるので x になって消えます。回転体の体積では、根号つきの関数がかえって計算しやすくなることがよくあります。

例題7-3（曲線の長さ）　曲線 y = (2/3)x^3/2（0 ≤ x ≤ 3）の長さを求めてください。

手順1：微分する。
y′ = (2/3) × (3/2)x^1/2 = x^1/2 = √x

手順2：公式に入れる。
L = ∫₀³√(1 + (√x)²)dx = ∫₀³√(1 + x)dx

根号がきれいに外れました。（この問題は、そうなるように関数が選ばれています）

手順3：積分する。
= [(2/3)(1 + x)^3/2]₀³ = (2/3)(4^3/2 − 1^3/2) = (2/3)(8 − 1) = 14/3

答え：14/3（約 4.67）

確認：両端は (0, 0) と (3, 2√3) ≒ (3, 3.46)。直線距離は √(9 + 12) = √21 ≒ 4.58。曲線の長さは直線距離より必ず長いので、4.67 > 4.58 は妥当です。この比較は、曲線の長さの検算にいつでも使えます。

公式の意味：√(1 + (y′)²) の 1 は横方向、(y′)² は縦方向。微小な直角三角形の斜辺を足し集めている——三平方の定理を無限に細かく使っているだけです。

例題7-4（区分求積法）　lim_n→∞ (1/n){1/(1 + 1/n) + 1/(1 + 2/n) + … + 1/(1 + n/n)} を求めてください。

手順1：形を見抜く。この式は
lim_n→∞ (1/n) Σ_k=1ⁿ 1/(1 + k/n)
1/n が外にあり、中身が k/n の関数——区分求積法の形です。

手順2：積分に直す。f(x) = 1/(1 + x) とみて
= ∫₀¹ dx/(1 + x)

手順3：計算する。
= [log(1 + x)]₀¹ = log 2 − log 1 = log 2

答え：log 2（約 0.693）

確認：n = 5 で実際に計算すると (1/5)(1/1.2 + 1/1.4 + 1/1.6 + 1/1.8 + 1/2) ≒ (1/5)(0.833+0.714+0.625+0.556+0.5) = (1/5)(3.228) ≒ 0.646。n を大きくすると 0.693 に近づきます。

なぜ積分になるのか：1/n は短冊の幅、f(k/n) は短冊の高さ。掛けて足せば長方形の面積の合計で、幅を限りなく細くすれば曲線の下の面積、つまり定積分になります。積分の定義そのものを逆向きに使っているだけです。

見分けの練習：lim (1/n)Σ_k=1ⁿ√(k/n) なら ∫₀¹√x dx = 2/3。lim Σ_k=1ⁿ n/(n²+k²) なら、1/n をくくり出して (1/n)Σ 1/(1+(k/n)²) と直せば ∫₀¹dx/(1+x²) = π/4。まず 1/n をくくり出すのが最初の一手です。

例題7-5（速度と道のり）　数直線上を動く点 P の時刻 t における速度が v(t) = 3t² − 12t + 9 で、t = 0 のとき原点にあります。(1) t = 0 から t = 4 までの位置の変化（変位）を求めてください。(2) 同じ区間で P が実際に動いた道のりを求めてください。

考え方：変位と道のりは別物です。変位は ∫v dt、道のりは ∫|v| dt。「行って戻る」動きがあると、その分だけ道のりのほうが長くなります。まず v = 0 となる時刻を出して、向きが変わる場所で区切るところから始めます。

　v(t) = 3(t² − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3)　→　t = 1, 3 で向きが変わる
　0 ≤ t < 1 で v > 0、1 < t < 3 で v < 0、3 < t ≤ 4 で v > 0

(1)　∫₀⁴(3t² − 12t + 9)dt = [t³ − 6t² + 9t]₀⁴ = 64 − 96 + 36 = 4

(2)　区切って、それぞれの絶対値を足します。x(t) = t³ − 6t² + 9t とおくと
　x(0) = 0、x(1) = 4、x(3) = 0、x(4) = 4
　|4 − 0| + |0 − 4| + |4 − 0| = 4 + 4 + 4 = 12

答え：(1) 変位 4　(2) 道のり 12

確認：点 P は原点から 4 まで進み、原点まで戻り、また 4 まで進んでいます。最後の位置は 4 なので変位は 4、実際に動いた長さは 12。数が合っています。
区切らずに絶対値をそのまま外してしまうのが典型的な失敗です。|v| は v の符号が変わるところで必ず切ること。
「道のりを求めよ」なのか「変位（位置の変化）を求めよ」なのかで、答えが 12 と 4 に分かれます。どちらを聞かれているかを、計算の前に確かめておくと間違えません。