数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第5章
ここから3章にわたって、この講座のいちばんの目玉である同値変形をやります。「方程式を解く」とは何をしていることなのか。なぜ移項していいのか。なぜ両辺を割ってはいけない場面があるのか。中学1年生から使ってきた操作の正体に、ここで決着をつけます。
そもそも「方程式を解く」とは、何をしているのか
藤原です。第5章です。
いきなりですが、質問です。
「方程式 を解け」と言われたとき、あなたは何を求めているのでしょうか。
「 を求めている」。それはそうなんですが、もう少し正確に言えます。
第1章を思い出してください。 は条件でした。条件には真理集合がありました。つまり──
方程式を解く ＝ その条件の真理集合を求めること
「」という答えは、じつは「真理集合は です」という報告なのです。
この見方に立つと、「解く」という作業の意味が変わって見えてきます。
私たちは を に変え、さらに に変えました。式の見た目はどんどん変わっています。でも、真理集合はずっと のままだったはずです。もし途中で真理集合が変わってしまっていたら、最後に出た は元の方程式の答えではなくなってしまう。
「解く」とは、真理集合を変えずに、式の見た目だけを簡単にしていく作業である。
この「真理集合を変えない変形」のことを同値変形といい、 で結びます。
そして、あなたが今まで感じてきた「なんとなく気持ち悪い」の正体は、ここにあります。真理集合を変えてしまう変形が、混ざっていたからです。
やっていい変形、ダメな変形
まず、いつでも安全な変形を確認します。
【いつでも同値】
① 両辺に同じ数（同じ式）を足す・引く
② 両辺に 0でない 同じ数を掛ける・割る
③ 左辺と右辺を入れ替える
①が、みなさんが「移項」と呼んでいるものの正体です。 の両辺から を引くと 。「符号を変えて反対側へ動かす」という魔法ではなく、両辺に同じ操作をしているだけです。
なぜ①が同値なのか。 ならば は当たり前です。そして逆に ならば両辺に を足して 。行って帰ってこられる。だから同値なのです。
そして、ここが山場です。
【同値でない変形】
④ 両辺に 0かもしれないもの を掛ける → 解が増える
⑤ 両辺を 0かもしれないもの で割る → 解が消える
⑤から見ましょう。中学生でも解ける、この方程式です。
両辺を で割ってしまうと が出ます。……本当にそれだけでしょうか。
を元の式に入れてみてください。。成り立ちますよね。 も答えなのに、消えてしまったのです。
なぜ消えたか。私たちは「 で割る」という操作をしました。でも は かもしれない。 で割ることはできないので、この操作はこっそり「」という条件を付け加えていたのです。条件を付け加えたら、真理集合は小さくなります。だから解が消えた。
正しくは、こうです。
ここで、実数についての大切な性質を使います。
または
（実数では、掛けて0になるのは、少なくとも一方が0のときだけ）
したがって または 。答え：。
因数分解して の形にするのは、暗記した手順ではありません。「割ると解が消える」という事故を避けるための、唯一安全な道なのです。だから数学の先生は「移項して0にしてから因数分解」と口を酸っぱくして言うわけです。
逆に、解が「増える」パターン
今度は④です。分母を払うときによく起きます。
両辺に を掛けると 、整理して 、つまり より 。
ところが、 を元の式に代入すると、分母が になってしまいます。元の式では、 はそもそも考えられない値だったのです。
何が起きたか。元の条件には、書かれていないけれど「」という前提が隠れていました（分母は0にできないので）。両辺に を掛けたとき、その前提が消えてしまった。だから、本来ありえない解が紛れ込んだのです。
正しくは、隠れていた条件を表に出してから変形します。
元の条件 ⟺ 「」かつ「」
この形にしておけば事故りません。答案ではこう書きます。
分母より 。このもとで両辺に を掛けると 。
整理して より 。しかしこれは に反する。
よって解なし。
「解なし」という答えに驚いたかもしれません。でも、これが正しい答えです。分母を払ったら、必ず分母が0でないという条件を書き添える。これを習慣にしてください。
同値でない変形をしてしまったら、どうするか
ここで、第4章とつながります。
変形が の一方通行になってしまったとき、出てきた答えは「答えの候補」にすぎません。つまり、必要条件を満たしているだけ。
だから、最後に十分性の確認をします。出てきた候補を元の式に代入して、本当に成り立つかを見る。成り立たないものは捨てる。
道は2つしかない。
（A）最初から最後まで でつなぐ（同値変形を貫く）
（B） で候補を出して、最後に代入して確かめる
どちらでも正解にたどり着けます。危険なのは、 で進んだのに (B) の確認をしないことです。
入試の答案では、(A) のほうが美しく、記述量も少なくて済むことが多い。でも複雑な問題では (A) が難しいこともあります。そのときは迷わず (B) にしてください。大事なのは、自分が今どちらの道を歩いているかを自覚していることです。
答案での の書き方
実際の答案では、こう書くのがおすすめです。
または
を各行の左端に書く。こうすると、どの変形が同値なのかが一目で分かり、自分でも間違いに気づきやすくなります。採点者にも「この生徒は分かっている」と伝わります。
もし途中に同値でない変形が入ったら、そこだけ にして、最後に確認を書く。この書き分けができる高校生は、実はかなり少数派です。だからこそ差がつきます。
【原理】この章の芯
① 方程式を解くとは、真理集合を求めること。
② 同値変形とは、真理集合を変えずに見た目を変えること。
③ 0かもしれないもので割ると、解が消える。
④ 0かもしれないものを掛けると、解が増える。
⑤ または 。だから「=0 にして因数分解」が安全。
⑥ で進んだら、最後に必ず代入して確かめる。
オリジナル問題で確かめる
問題1（変形の誤りを見つける）
次の各変形について、同値であるかどうかを判定せよ。同値でないものは、どこがおかしいかを指摘せよ。ただし は実数とする。
- から を導いた
- から を導いた
- から「 または 」を導いた
- から を導いた
- から を導いた
問題2（割ってはいけない）
次の方程式を解け。
問題3（分母を払う）
次の方程式を解け。分母が0にならない条件に注意すること。
問題4（絶対値を同値変形で外す）
方程式 を解け。
問題5（連立方程式の同値変形）
連立方程式
を満たす実数の組 をすべて求めよ。
問題6（因数分解して=0にする）
方程式 を解け。
問題7（「または」と「かつ」を正しく使う）
次の条件を、 についての「または」「かつ」を使った形に書き直せ。
- （ は実数）
問題8（隠れた条件を見抜く）
方程式 を解け。
問題9（同値変形で解く不等式）
不等式 を解け。
解答と解説
問題1の解答
- 同値でない。両辺を で割っているが、 は0かもしれない。実際 も解なので、解が1つ消えている。正しくは より 。
- 同値でない。 は真だが、逆は偽（ が を満たすのに ではない）。一方通行なので は書けても は書けない。
- 同値。 または をそのまま使っている。
- 同値。元の式には が隠れているが、答えの はそれを満たす。より丁寧に書けば「 のもとで 」となり、結局 。
- 同値。両辺に を足しただけ。いつでも安全な変形。
問題2の解答
(1)
よって 。
(2) 両辺に という共通因数がありますが、割ってはいけません。左辺に集めます。
よって または 。。
もし両辺を で割っていたら、 から だけが出て、 を落としていました。
(3)
よって 。
ここで両辺を で割ると となり だけ。やはり が消えます。
問題3の解答
(1) 分母より かつ 。このもとで両辺に を掛けると
これは矛盾なので、条件を満たす はありません。解なし。
分数の形のまま見ても分かります。 と が等しくなるには分母が等しくなければならず、 は起こりえないからです。
(2) 分母より 。このもとで
より 。しかしこれは に反します。解なし。
実は （ただし ）なので、方程式は 、つまり 。やはり除外されます。約分できるからといって、 という条件まで消えるわけではありません。
(3) 分母より 。このもとで両辺に を掛けて
より 。これは を満たすのでOK。。
(2) と (3) は同じ手順ですが、結果が違いました。条件を満たすかどうかは、毎回確かめないと分からないということです。
問題4の解答
絶対値の同値変形には、次の形を使います。
⟺ かつ（ または ）
なぜ が要るか。左辺の絶対値は必ず0以上なので、右辺も0以上でなければ等号は成立しないからです。
これを使います。 は
「 かつ（ または ）」
と同値です。それぞれ計算すると
- →
- → →
そして 、つまり を満たすのは だけ。
答え：
確認：、。一致します。
場合分けで解いても構いませんが、この同値変形の形を覚えておくと、場合分けの書き忘れが起きません。
問題5の解答
和と積が分かっているので、 は2次方程式の2解として表せます。これは解と係数の関係の逆向きの使い方です。
を解にもつ2次方程式は
すなわち
より 。
答え：
組は2つあることに注意してください。 と を区別する問題なので、入れ替えたものも別の答えです。
この変形が同値である理由も押さえておきましょう。「 かつ 」は「 が の2解である」と同じことを言っています。行きも帰りも成り立つので、同値変形です。
問題6の解答
すでに右辺が なので、左辺を因数分解するだけです。
よって から
答え：
3つの数の積が0になるのは、どれか1つが0のとき。因数が増えても考え方は同じです。
問題7の解答
- または または 。積が0なので「または」です。
- これは和が0の形です。2乗はどちらも0以上なので、和が0になるのは両方とも0のとき。よって「 かつ 」。しかしそんな は存在しません。解なし（条件を満たす はない）。
- 同じく「 かつ 」。こちらは実際に存在します。 かつ 。
ここが決定的に大事です。「積が0」ならまたは、「0以上のものの和が0」ならかつ。この2つを取り違えると、答えが根本から変わります。式の形を見て、瞬時に判断できるようにしてください。
問題8の解答
分母より 。分数が0になるのは分子が0のときなので
より または 。しかし は分母を0にするので除外します。
答え：
「分子＝0」だけを見て と答えてしまう事故が非常に多い問題です。分数を見たら、まず分母に印をつける。これを癖にしてください。
問題9の解答
不等式で分母を払うときは、掛ける数の符号で不等号の向きが変わるので、方程式よりさらに慎重になる必要があります。両辺に を掛けるのは危険です。
そこで、符号で場合分けします。
(i) のとき
両辺に正の数 を掛けても不等号の向きは変わらないので
との共通部分は 。
(ii) のとき
は負なので、 は自動的に成り立ちます。よって はすべて解。
(iii) のとき：分母が0なので考えません。
(i)(ii) を合わせて
答え： または
検算： のとき ○。 のとき ○。 のとき は偽 ×。合っています。
別解として、両辺に （これは なら必ず正）を掛ける手もあります。 より 、。よって または 。「必ず正のものを掛ける」なら符号の心配が要らないので、こちらのほうが速いことも多いです。
よくある誤解
誤解1：共通因数があったら割ってよい
その因数が0でないと分かっているときだけです。文字を含む式で割るのは、原則として禁止だと思ってください。
誤解2：約分したら分母の条件も消える
消えません。 は「 のとき」という但し書き付きの等式です。
誤解3：不等式でも自由に分母を払える
掛ける数が負だと不等号がひっくり返ります。場合分けするか、必ず正のもの（ など）を掛けてください。
誤解4：「積が0」と「和が0」を同じように扱う
積が0なら「または」、0以上のものの和が0なら「かつ」。まったく別物です。
よくある質問
Q. 答案に をいちいち書かないといけませんか？
義務ではありません。ただし書いたほうが自分のミスに気づきやすいのは確かです。とくに同値でない変形をしたときに「あ、ここは矢印が片方向だ」と自覚できるので、確認の一行を書き忘れなくなります。慣れるまでは書くことをおすすめします。
Q. 「解なし」という答えは本当にあるんですか？
あります。真理集合が空集合だった、というだけのことです。ただし入試では「解なし」が答えになる問題は多くないので、出たときは計算ミスを一度疑ってから書いてください。
Q. 毎回「分母≠0」を書くのは面倒です。
面倒ですが、これは省略できません。ただし、答えが最初から分母を0にしないことが明らかなら、最後に「これは分母を0にしないので適する」と一行書けば十分です。書くのは1行、落とすのは1問分の点数だと思ってください。
次の章へ
同値変形の基本ができました。次の第6章では、多くの人が最後まで気持ち悪いままにしている「両辺を2乗する」を扱います。ルートの入った方程式、絶対値の不等式。「なぜか答えが増える」あの現象の正体を、完全に説明します。
◀ 第4章：必要条件と十分条件を、生まれて初めて腹落ちさせる
▶ 第6章：同値変形②──2乗する・分母を払う・場合分けする
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