数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第6章
「両辺を2乗する」。この操作で、なぜか答えが増える。増えた答えを「無縁解」と呼んで捨てる、と習ったけれど、なぜ増えるのかは教わらなかった。この章で、その謎を完全に解体します。2乗は、情報を捨てる操作です。
2乗すると、何が失われるのか
藤原です。第6章です。
まず、いちばん簡単な例から。
の両辺を2乗すると
この2つは同値でしょうか。違いますよね。 の答えは と の2つ。 という、元にはなかった答えが増えています。
なぜ増えたか。答えはシンプルです。
2乗するとき、私たちは「符号」という情報を捨てている。
も も、2乗すれば同じ になる。だから2乗した後の式からは、元がプラスだったのかマイナスだったのかが読み取れない。
情報を捨てれば、条件はゆるくなります。ゆるくなれば、真理集合は大きくなる。だから解が増えるのです。第4章の言葉で言えば、2乗した式は元の式の「必要条件」ということになります。
では、いつなら2乗していいのか
情報が捨てられるのが問題なら、もともと捨てる情報がなければいいわけです。つまり、両辺の符号が最初から分かっていればいい。
かつ のとき、
かつ のとき、
これが2乗の正しい使い方です。両辺が0以上だと分かっていれば、2乗は完全に安全な同値変形になります。
第2章で、 という変形をこっそり使いましたが、あれが成り立っていたのは も も0以上だったからです。
大事なのは「2乗してはいけない」ではありません。「両辺が0以上かどうかを確認してから2乗する」です。確認さえすれば、2乗は最強の道具になります。
ルートの方程式を、同値変形で片づける
いよいよ本題です。
まず、この式が意味を持つために必要なことを、全部書き出します。
- ルートの中は0以上：
- ルートの値は0以上なので、右辺も0以上でなければならない：
この2つのもとでは、両辺とも0以上です。だから2乗しても同値。
そして、②の があれば①の は自動的に成り立ちます。だから条件は だけで足ります。
⟺ 「」かつ「」
あとは計算です。
より または 。ここで を思い出すと、 は失格。
答え：
確認しておきます。。たしかに右辺と一致。一方 なら ですが、右辺は 。一致しませんね。
【ルートの方程式の型】
⟺ 「」かつ「」
※ は から自動的に従うので、書かなくてよい。
この型を覚えておくと、「無縁解を捨てる」という後始末が要らなくなります。最初から捨てないで済む道を通るのが、同値変形の思想です。
絶対値も、まったく同じ構造をしている
じつは絶対値とルートは、ほとんど同じものです。なぜなら
だからです（ルートは0以上の値を返すので、）。
だから、絶対値の方程式・不等式も同じ型で処理できます。
【絶対値の型】
⟺ 「」かつ「 または 」
⟺
⟺ 「 または 」
2つ目と3つ目に が要らない理由も、考えてみると面白いです。
で、もし だったら？ 左辺は0以上なので、この不等式は成り立ちません。一方、右辺の「」も のときは となって成り立ちません。どちらも成り立たないので、結果的に同値なんです。うまくできていますね。
のほうも同様に、 ならどちらも常に成り立つので同値です。
場合分けは「同値変形の一種」である
絶対値を見ると「場合分けだ」と反射的に思う人が多いと思います。それも正しい。ただ、場合分けが何をしているのかを正確に理解しておきましょう。
を考えます。中身の符号で分けると
- のとき
- のとき
これは、全体集合を の部分と の部分に分割し、それぞれの上で別の式に置き換えている、ということです。
元の条件 ⟺ 「 かつ（ で書き直した条件）」または「 かつ（ で書き直した条件）」
場合分けの答えを最後に「または」でつなぐのは、これが理由です。真理集合を2つに割って調べ、最後に合体させている。だから和集合になる。
よくある事故：場合分けの中で出した答えが、その場合の前提条件を満たしているかを確認し忘れる。
「 のとき」で計算した結果が だったら、それはこの場合の答えではありません。前提と照らして捨ててください。
不等式で2乗するときの、もう一段の注意
不等式では、さらに気をつけることがあります。
方程式のときと同じように考えます。
- ルートの中：
- 左辺は0以上。それより大きい右辺は正でなければならない：
- 両辺とも0以上なので、2乗して
②があれば①は自動的なので、条件は「 かつ 」。
より または 。 と合わせて
答え：
もし のように不等号が逆向きだったら、話はもっと複雑になります。右辺 が負のときは、左辺が0以上なので自動的に成立してしまうからです。この場合は次のように分けます。
⟺ 「 かつ 」または「 かつ 」
覚える必要はありません。「右辺が負なら自動的に成立、右辺が0以上なら2乗して比較」と、そのつど考えれば導けます。
【原理】この章の芯
① 2乗は「符号という情報を捨てる」操作。だから解が増える。
② 両辺が0以上と分かっていれば、2乗は同値変形になる。
③ 「」かつ「」。
④ 。絶対値とルートは同じ構造。
⑤ 場合分けとは、全体集合を分割して調べ、最後に「または」で合体すること。
⑥ 場合分けの答えは、その場合の前提を満たすかを必ず確認する。
オリジナル問題で確かめる
問題1（同値かどうかの判定）
次の各変形は同値か。同値でないものは理由を述べよ。 は実数とする。
- から
- のもとで、 から
- から
- から
問題2（ルートの方程式）
次の方程式を解け。
問題3（絶対値の方程式）
次の方程式を解け。
問題4（絶対値の不等式）
次の不等式を解け。
問題5（ルートの不等式）
不等式 を解け。
問題6（不等号が逆向きの場合）
不等式 を解け。
問題7（2乗が有効に使える場面）
を正の実数とする。 と の大小を比較せよ。
問題8（同値変形で証明する）
実数 について、次の不等式を示せ。
問題9（総合）
方程式 について、次の問いに答えよ。
- この方程式を解け。
- 「両辺を2乗して を解いた」だけでは、なぜ不十分なのかを説明せよ。
解答と解説
問題1の解答
- 同値でない。 には も含まれる。一方通行（ のみ）。
- 同値。 という前提があるので、 から が確定する。前提が1つ加わるだけで、同値になるという好例。
- 同値。 も も0以上なので2乗してよい。逆に からは が従う（ より）。
- 同値でない。 は を満たすが は より大きい。負の数が混ざると、2乗で大小がひっくり返るため。
問題2の解答
(1)
型どおり、「」かつ「」。
より 。 より 。
確認： ○
(2)
「」かつ「」。
より 。 より 。
(3)
「」かつ「」。
より 。 を満たすのは 。
確認：、 ○
問題3の解答
(1)
右辺 なのでOK。 または 。
よって 。
(2)
「」かつ「 または 」。
- →
- → →
を満たすのは 。
(3)
両辺とも絶対値なので、どちらも0以上です。だからそのまま2乗してよい。
ここで を使うと計算が速いです。
より 。
確認： のとき 、 ○。 のとき 、 ○
両辺が絶対値のときは、場合分けせず2乗が最速です。覚えておく価値があります。
問題4の解答
(1)
答え：
意味も確認しておきます。 は「 と の距離」。それが 未満ということは、 から3以内の範囲。たしかに から までです。
(2)
または 。
- →
- →
答え： または
(3)
絶対値が2つあるので、場合分けします。区切りは と 。
- ： → → 。この場合の前提と合わせて 。
- ： → 。常に成立。よって すべて。
- ： → → 。合わせて 。
3つを「または」で合体して
答え：
第3章の問題8でやったのと同じ構造です。 は「 と までの距離の和」。間にいれば常に 、外に出ると2倍で増える。だから 以下になるのは、両端から1ずつはみ出したところまで。意味が分かっていれば、場合分けせずに答えが見えます。
問題5の解答
。左辺は0以上なので、右辺は正でなければなりません。
条件は「」かつ「」（両辺0以上なので2乗して同値）。
ただし、ルートの中も0以上である必要があります：。
2つ目の不等式を計算します。
より または 。
これと「」「」を合わせると
答え：
検算： のとき ○。 のとき は偽 ×。合っています。
問題6の解答
今度は不等号が逆です。ルートの中の条件 、つまり はまず必要。そのうえで右辺の符号で分けます。
(i) 、つまり のとき
左辺は0以上、右辺は負なので、不等式は自動的に成立します。よってこの範囲はすべて解。
(ii) 、つまり のとき
両辺とも0以上なので2乗して
より 。 と合わせて 。
(i)(ii) を合体して
答え：
問題5と6を並べてみてください。不等号の向きが変わっただけで、場合分けの必要性が変わりました。「左辺が0以上である」という事実が、片方では自動成立を生み、もう片方では条件を強めている。この非対称性を、機械的な暗記ではなく理屈で処理できるようになってください。
問題7の解答
なので、 も も正です。両辺が正なら2乗して比較してよい。
差を取ると
（ より ）
よって 。両辺とも正なので、2乗を外しても大小は変わりません。
答え：
この「両辺が正なら、2乗して比べる」は、ルートを含む大小比較の定番です。ルートを直接比べるのは難しいが、2乗すればただの多項式になる。これが2乗の正しい使い道です。
問題8の解答
両辺とも0以上です（絶対値なので）。だから2乗して比較すれば同値です。
右辺の2乗から左辺の2乗を引きます。
ここで 、、 を使いました。展開を続けます。
ここで、どんな実数 についても が成り立ちます（ なら等号、 なら左辺は正で右辺は負）。したがって なので
両辺とも0以上だったので、2乗を外して
が示されました。等号成立は 、つまり のとき（ と が同符号か、少なくとも一方が0のとき）です。
この不等式は三角不等式と呼ばれ、数学のあらゆる場面で顔を出します。証明の骨格が「両辺0以上 → 2乗して比較」であることを、しっかり味わってください。
問題9の解答
(1) 型どおり、「」かつ「」。
より 。 を満たすのは 。
確認：、 ○
(2) 2乗した式 は、元の方程式の必要条件にすぎないからです。
2乗すると符号の情報が失われるので、この式は元の だけでなく、 の解も拾ってしまいます。実際 を入れると で、右辺 とは一致しませんが、符号を無視すれば絶対値が同じです。
したがって、2乗して出た は「答えの候補」であり、「」という捨てた情報を最後に取り戻す（または元の式に代入して確かめる）まで、答えとは言えません。
よくある誤解
誤解1：2乗は絶対にやってはいけない
そんなことはありません。両辺が0以上なら完全に安全です。むしろ強力な武器です。
誤解2：ルートの中が0以上、だけ確認すればよい
足りません。右辺（ルートでない側）の符号のほうが本質です。 では が主役。
誤解3： だと思っている
正しくは です。 が負のときに差が出ます。この誤解は積分や極限でも事故を起こします。
誤解4：場合分けの結果をそのまま全部答えにする
各場合の前提条件と照らして、はみ出したものを捨ててから合体してください。
よくある質問
Q. 「無縁解」という言葉を使ってもいいですか？
使っても構いませんが、この講座ではあまり使いません。「無縁解が出た」という言い方は、なぜ出たのかを説明していないからです。「2乗で符号の情報を捨てたから、候補が増えた」と理解しているほうが、応用が利きます。
Q. 同値変形で解くのと、最後に代入で確認するのと、どちらがいいですか？
どちらでも正解になります。ただ、解の個数が多いときは同値変形のほうがラクで、式が複雑なときは代入確認のほうが安全です。両方できるようにしておいて、その場で軽いほうを選んでください。
Q. 絶対値が3つ以上あったらどうしますか？
中身が0になる点で数直線を区切って、区間ごとに場合分けします。絶対値が 個なら区間は最大 個。増えても手順は同じです。ただ、問題7・問題4(3) のように「距離の和」という意味で読むと、場合分けせずに済むことも多いので、まず意味を考えてみてください。
次の章へ
2乗と絶対値に決着がつきました。次の第7章では、同値変形の最後の山場、連立方程式と「文字を消す」を扱います。「代入して を消す」という操作は、いつでも安全なのか。加減法で式を足し引きすると、なぜ答えが変わらないのか。ここまで来ると、入試の「文字消去」で迷うことがなくなります。
◀ 第5章：同値変形①──式を変えても答えが変わらない一本の線
▶ 第7章：同値変形③──連立方程式と「文字を消す」の正体
▶ 『数学の原理』全24章の目次に戻る
