【第7章】同値変形③──連立方程式と「文字を消す」の正体

数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第7章
同値変形の最終章です。「代入して文字を消す」「式を足したり引いたりする」。中学校からずっとやってきたこの操作が、なぜ答えを変えないのか。そして、どこで事故が起きるのか。ここを押さえると、入試で頻出の「対称式」「文字消去」で二度と迷わなくなります。

連立方程式は「かつ」である

藤原です。第7章です。

まず、いちばん大事な確認から。

\[\begin{cases} x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}\]

この中カッコは、何を意味しているでしょうか。

答えは「かつ」です。「\(x+y=5\) かつ \(x-y=1\)」。だから第1章の言葉でいえば、連立方程式の真理集合は2つの真理集合の共通部分です。

第2章の絵で見れば、\(x+y=5\) は直線、\(x-y=1\) も直線。共通部分は交点。「連立方程式を解く＝2直線の交点を求める」というのは、こういう意味だったわけです。

なぜ「2つの式を足してよい」のか

加減法では、2つの式を足したり引いたりします。この操作で真理集合は変わらないのでしょうか。

結論から言うと、やり方によります。

2つの条件を \(A = 0\)、\(B = 0\) と書きます（移項すれば必ずこの形にできます）。

【安全な変形】\(k \ne 0\) のとき
「\(A = 0\) かつ \(B = 0\)」　⟺　「\(A = 0\) かつ \(A + kB = 0\)」

なぜ同値か、両方向を確かめます。

（→）　\(A=0\) かつ \(B=0\) なら、\(A + kB = 0 + 0 = 0\)。当たり前です。

（←）　\(A=0\) かつ \(A+kB=0\) なら、引き算して \(kB = 0\)。\(k \ne 0\) なので \(B = 0\)。

両方向とも言えたので同値です。

ここがポイント：片方の式を、そのまま残しておくことが重要です。
「\(A = 0\) かつ \(B = 0\)」を「\(A + kB = 0\)」だけに置き換えたら、それは情報を1つ捨てたことになります。式が2本から1本に減った時点で、真理集合は必ず大きくなる。

実際、\(x+y=5\) と \(x-y=1\) を足して \(2x = 6\) を得たとき、\(x=3\) は分かりますが \(y\) は決まりません。足した式だけでは足りないのは、当たり前ですよね。だから元の式のどちらかを一緒に持っておく必要がある。

ちなみに「足した式と引いた式に、両方入れ替える」のも同値です。

「\(A=0\) かつ \(B=0\)」　⟺　「\(A+B=0\) かつ \(A-B=0\)」

（→）は明らか。（←）は、2式を足して \(2A=0\) より \(A=0\)、引いて \(2B=0\) より \(B=0\)。元に戻せるから同値です。「行って帰ってこられるか」を確かめる、という同値変形の考え方が、ここでも効いています。

なぜ「代入して文字を消してよい」のか

代入法も、同じように確かめられます。

「\(y = f(x)\) かつ \(g(x,\ y) = 0\)」　⟺　「\(y = f(x)\) かつ \(g(x,\ f(x)) = 0\)」

（→）\(y\) が \(f(x)\) に等しいのだから、\(g\) の中の \(y\) を \(f(x)\) に書き換えても値は同じ。

（←）同様に、\(y = f(x)\) のもとで書き戻せる。

ここでも同じ落とし穴：「\(y = f(x)\)」を消してはいけません。
代入した後も、この式は生き残っています。「\(y\) を消した」つもりでも、\(y\) の情報は \(y=f(x)\) という形でずっと持っておく必要があるのです。

実際の答案では、\(x\) が求まった後に「このとき \(y = f(x) = \cdots\)」と書いて \(y\) を復元しますよね。あれは捨てていなかった式を使っているだけなんです。

最大の事故：対称式と「実数条件」

ここからが、この章のいちばん大事なところです。入試で最も多い「同値でない変形」の事故を扱います。

2つの実数 \(x,\ y\) について、和と積を

\[s = x + y, \qquad p = xy\]

とおきます。\(x+y\) や \(xy\) のように、\(x\) と \(y\) を入れ替えても変わらない式を対称式といい、対称式はすべて \(s\) と \(p\) で書けることが知られています。たとえば

\[x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy = s^2 – 2p\]

これは非常に便利な道具です。ところが、ここに落とし穴があります。

\(s\) と \(p\) は、好き勝手な値をとれるわけではない。

たとえば \(s = 1,\ p = 1\) となる実数 \(x,\ y\) は存在するでしょうか。

\(x,\ y\) は2次方程式 \(t^2 – st + p = 0\)、つまり \(t^2 – t + 1 = 0\) の2解です。判別式は \(1 – 4 = -3 \lt 0\) なので、実数解がありません。つまり、そんな実数 \(x,\ y\) は存在しないのです。

「実数 \(x,\ y\) が存在して \(x+y=s\) かつ \(xy=p\)」　⟺　\(s^2 – 4p \ge 0\)
この条件を実数条件といいます。対称式で置き換えるときは、これを書き落とすと答えが変わります。

なぜこれが同値なのか。\(x,\ y\) が \(t^2 – st + p = 0\) の2解であることと、この2次方程式が実数解をもつことは同じ。判別式 \(D = s^2 – 4p \ge 0\) がその条件です。

この「実数条件」は、第18章の逆像法でもう一度、主役として登場します。文字を置き換えたら、置き換えた文字が動ける範囲を必ず調べる。これが、この章から持ち帰ってほしい最大の教訓です。

実例で、事故が起きる瞬間を見る

例題　実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 2\) を満たすとき、\(xy\) のとりうる値の範囲を求めよ。

雑な解答（間違い）：「\(xy\) は \(p\) で、何でもとれるから、すべての実数」

正しい解答：\(s = 2\) は決まっています。実数条件は

\[s^2 – 4p \ge 0\]
\[4 – 4p \ge 0\]
\[p \le 1\]

答え：\(xy \le 1\)

確認してみましょう。\(x+y=2\) のとき \(y = 2-x\) なので

\[xy = x(2-x) = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1\]

これは \(x=1\) で最大値 \(1\) をとり、そこから下にいくらでも小さくなります。たしかに \(xy \le 1\) と一致しました。

2通りの方法で同じ答えが出る。これが検算です。実数条件を使う方法と、直接代入して2次関数にする方法。両方できるようにしておくと、片方で不安なときにもう片方で確かめられます。

【原理】この章の芯

① 連立方程式は「かつ」であり、真理集合は共通部分。
② 加減法・代入法が同値なのは「行って帰ってこられる」から。
③ 式の本数を減らしたら、その瞬間に情報が消える。片方は必ず残す。
④ 対称式で置き換えたら、実数条件 \(s^2 – 4p \ge 0\) を必ず添える。
⑤ 文字を置き換えたら、その文字が動ける範囲を調べる。

オリジナル問題で確かめる

問題1（同値性の確認）

次の各変形は同値か。同値でないものは理由を述べよ。

1. 「\(x+y=3\) かつ \(x-y=1\)」から「\(2x = 4\)」を導いた
2. 「\(x+y=3\) かつ \(x-y=1\)」から「\(x+y=3\) かつ \(2x=4\)」を導いた
3. 「\(y = x+1\) かつ \(x^2+y^2=5\)」から「\(x^2 + (x+1)^2 = 5\)」を導いた

問題2（基本の連立）

次の連立方程式を解け。

\[\begin{cases} x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}\]

問題3（実数条件を使う）

実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 4\) を満たすとき、\(xy\) のとりうる値の範囲を求めよ。

問題4（逆向きに使う）

実数 \(x,\ y\) が \(xy = 3\) を満たすとき、\(x + y\) のとりうる値の範囲を求めよ。

問題5（対称式の計算）

実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 3\)、\(xy = 1\) を満たすとき、次の値を求めよ。

1. \(x^2 + y^2\)
2. \(x^3 + y^3\)
3. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)

問題6（文字消去と最小値）

実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 2\) を満たすとき、\(x^2 + y^2\) の最小値を求めよ。

問題7（範囲つきの文字消去）

実数 \(x,\ y\) が \(x + y = 2\)、\(x \ge 0\)、\(y \ge 0\) を満たすとき、\(xy\) のとりうる値の範囲を求めよ。

問題8（3文字の対称式）

実数 \(x,\ y,\ z\) が \(x + y + z = 3\) と \(xy + yz + zx = 3\) を満たすとき、\(x,\ y,\ z\) の値を求めよ。

問題9（証明）

実数 \(a,\ b\) が \(a + b = 1\) を満たすとき、\(a^2 + b^2 \ge \dfrac{1}{2}\) が成り立つことを示せ。また等号が成り立つのはどのようなときか。

解答と解説

問題1の解答

1. 同値でない。式が2本から1本に減っており、情報が失われている。\(2x=4\) だけでは \(y\) が定まらない（たとえば \((x,y)=(2,100)\) も満たしてしまう）。
2. 同値。片方の式（\(x+y=3\)）を残したうえで、もう片方を「2式の和」に置き換えている。逆に \(x+y=3\) と \(2x=4\) から \(x-y = 2x – (x+y) = 4-3 = 1\) と復元できる。
3. 同値でない。\(y = x+1\) という式が消えてしまっている。\(x\) は求まっても \(y\) が求まらない。正しくは「\(y=x+1\) かつ \(x^2+(x+1)^2 = 5\)」。

(3) は非常に多い事故です。「代入したから \(y\) は消えた」と思ってしまう。消えていません。\(y\) の定義式は最後まで持ち歩きます。

問題2の解答

対称式なので、\(s = x+y = 1\)、\(p = xy\) とおきます。

\[x^2 + y^2 = s^2 – 2p = 1 – 2p = 5\]

より \(p = -2\)。

実数条件を確認します。\(s^2 – 4p = 1 – 4(-2) = 9 \ge 0\)　○

したがって \(x,\ y\) は \(t^2 – t – 2 = 0\) の2解です。

\[(t-2)(t+1) = 0\]

より \(t = 2,\ -1\)。

答え：\((x,\ y) = (2,\ -1),\ (-1,\ 2)\)

代入法でも解けます。\(y = 1-x\) を第2式に入れて \(x^2 + (1-x)^2 = 5\)、整理して \(2x^2 – 2x – 4 = 0\)、\(x^2 – x – 2 = 0\)、\(x = 2,\ -1\)。そして \(y = 1-x\) を使って \(y\) を復元します。式を残しておいたから復元できる、というのが (3) の教訓ですね。

問題3の解答

\(s = 4\) は固定。実数条件は

\[s^2 – 4p \ge 0\]
\[16 – 4p \ge 0\]
\[p \le 4\]

答え：\(xy \le 4\)

検算：\(y = 4-x\) より \(xy = x(4-x) = -(x-2)^2 + 4\)。最大値は \(x=2\) のときの \(4\)。一致します。

ちなみに \(x=y=2\) のとき最大になる、というのは「和が一定なら、積は等しいときに最大」という有名な事実です。相加平均・相乗平均の不等式そのものですね。

問題4の解答

今度は \(p = 3\) が固定で、\(s\) の範囲を求めます。実数条件は

\[s^2 – 4 \cdot 3 \ge 0\]
\[s^2 \ge 12\]

両辺とも0以上なので、ルートを取って（第6章の考え方です）

\[|s| \ge 2\sqrt{3}\]

答え：\(x + y \le -2\sqrt{3}\) または \(x + y \ge 2\sqrt{3}\)

意味を確認しましょう。\(xy = 3 \gt 0\) なので \(x,\ y\) は同符号です。両方正なら、相加相乗平均より \(x+y \ge 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}\)。両方負なら符号が逆になって \(x+y \le -2\sqrt{3}\)。実数条件が、相加相乗平均の不等式とまったく同じことを言っていたわけです。

問題5の解答

まず実数条件を確認しておきます。\(s^2 – 4p = 9 – 4 = 5 \ge 0\) なので、そのような実数は実際に存在します。

1. \(x^2 + y^2 = s^2 – 2p = 9 – 2 = \mathbf{7}\)
2. \(x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y) = s^3 – 3ps = 27 – 3 \cdot 1 \cdot 3 = \mathbf{18}\)
3. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{s}{p} = \dfrac{3}{1} = \mathbf{3}\)

(2) で使った \(x^3+y^3 = s^3 – 3ps\) は、\((x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)\) を移項したものです。公式として覚えてもいいですが、展開すれば必ず作れるので、忘れても困りません。

(3) では \(x,\ y \ne 0\) が必要ですが、\(xy = 1 \ne 0\) なので大丈夫です。分数を見たら分母をチェック、という第5章の習慣がここでも生きます。

問題6の解答

解法1：対称式で。

\(s = 2\) なので \(x^2+y^2 = s^2 – 2p = 4 – 2p\)。これを最小にするには \(p\) を最大にすればよい。

実数条件より \(p \le \dfrac{s^2}{4} = 1\)。よって \(p\) の最大値は \(1\) で、そのとき

\[x^2 + y^2 = 4 – 2 \cdot 1 = 2\]

解法2：代入で。

\(y = 2-x\) より

\[x^2 + (2-x)^2 = 2x^2 – 4x + 4 = 2(x-1)^2 + 2\]

最小値は \(x=1\) のときの \(2\)。このとき \(y = 1\)。

答え：最小値 \(2\)（\(x=y=1\) のとき）

2通りで一致しました。解法2のほうが確実で速いことが多いので、迷ったら代入してください。対称式は「和と積の情報しか与えられていないとき」に真価を発揮します。

問題7の解答

条件が増えました。\(x \ge 0\) かつ \(y \ge 0\) です。

\(y = 2 – x\) なので \(y \ge 0\) は \(x \le 2\) と同じ。したがって \(x\) の動ける範囲は

\[0 \le x \le 2\]

そして

\[xy = x(2-x) = -(x-1)^2 + 1\]

この2次関数を \(0 \le x \le 2\) で調べます。頂点 \(x=1\) は区間の中にあるので最大値は \(1\)。端点は \(x=0\) で \(0\)、\(x=2\) で \(0\) なので最小値は \(0\)。

答え：\(0 \le xy \le 1\)

問題3と比べてください。あちらは \(xy \le 4\)（下に限りなし）でしたが、こちらは下にも限界ができました。「\(x,\ y\) が動ける範囲」が変われば、答えも変わる。ここで「置き換えた文字の範囲を調べる」ことの重要性が、はっきり見えると思います。

問題8の解答

3文字ですが、対称式の考え方が使えます。次の恒等式を使いましょう。

\[(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)\]

与えられた値を代入すると

\[9 = x^2+y^2+z^2 + 2 \cdot 3\]
\[x^2 + y^2 + z^2 = 3\]

ここで、次の有名な不等式を使います。

\[x^2+y^2+z^2 – (xy+yz+zx) = \frac{1}{2}\{(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\} \ge 0\]

（右辺が正しいことは、展開すれば確かめられます。）

いま左辺は \(3 – 3 = 0\) です。したがって

\[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0\]

0以上のものの和が0なので、第5章でやったとおりすべて0。つまり \(x=y=z\)。

これと \(x+y+z=3\) から \(3x = 3\)、よって

答え：\(x = y = z = 1\)

確認：\(1+1+1=3\)　○、\(1+1+1=3\)　○

この問題の骨格は「0以上のものの和が0 ⟺ すべて0」です。第5章の問題7でやった道具が、そのまま3文字の入試問題に効きました。

問題9の解答

\(b = 1 – a\) を代入します。

\[a^2 + b^2 = a^2 + (1-a)^2 = 2a^2 – 2a + 1\]

平方完成すると

\[= 2\left(a – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\]

\(\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0\) なので、この式は \(\dfrac{1}{2}\) 以上です。よって

\[a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}\]

等号が成り立つのは \(a = \dfrac{1}{2}\) のとき、すなわち \(b = \dfrac{1}{2}\) のときです。

答え：示された。等号成立は \(a = b = \dfrac{1}{2}\) のとき。

「不等式を示せ」と言われたら、差を取って平方完成するのが基本の型です。「（実数）² ≥ 0」以外に、不等式を示す出発点はほとんどありません。難しく見える不等式も、たどっていくと必ずここに行き着きます。

よくある誤解

誤解1：代入したら元の式は用済み
用済みではありません。もう一方の文字を復元するのに使います。最後まで持っておいてください。

誤解2：\(s\) と \(p\) は自由に値をとれる
とれません。実数条件 \(s^2 – 4p \ge 0\) を満たす範囲でしか動けません。これを書き忘れると、実際には起こりえない値まで答えに入ってしまいます。

誤解3：文字を消したら、その文字の範囲も忘れてよい
忘れてはいけません。問題7のように、\(y \ge 0\) という条件は \(x \le 2\) に姿を変えて生き残ります。

誤解4：連立方程式で式を足したら、元の式は捨ててよい
捨てると情報が減ります。必ず片方は残してください。

よくある質問

Q. 対称式と代入、どちらで解けばいいですか？

和と積の形で条件が与えられていたら対称式、1つの文字について解ける式があったら代入。これが目安です。代入のほうが素直で確実なので、迷ったら代入してください。

Q. 実数条件はいつ書けばいいですか？

「\(x+y=s\)、\(xy=p\) とおく」とやった瞬間に書いてください。後から思い出そうとすると、必ず忘れます。置いた直後に書くのが唯一の対策です。

Q. 3文字以上の対称式でも実数条件はありますか？

あります（3次方程式が3実解をもつ条件など）が、高校範囲では複雑になるので直接は使いません。問題8のように「0以上のものの和が0」に持ち込むか、文字を減らして2文字に帰着させるのが実戦的です。

次の章へ

これで同値変形は一通り終わりました。第1部の最後、第8章では証明の型を扱います。対偶と背理法。この2つを使いこなせるようになると、「示せ」と言われたときに手が止まらなくなります。そして第3章でやった「すべて」と「ある」が、ここでもう一度効いてきます。

◀ 第6章：同値変形②──2乗する・分母を払う・場合分けする
▶ 第8章：対偶と背理法──「証明」の型はこの2つで足りる
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