【第14章】「確率」のいちばん大切なこと──「同様に確からしい」を疑う

数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第14章
確率は「場合の数の割り算」だと教わります。それは半分正しくて、半分危険です。分母と分子は同じルールで数えないといけない。そして、そのルールを決めているのが「同様に確からしい」という一言です。この章では、この言葉を疑えるようになります。ここができると、確率の正答率が変わります。

確率の定義を、正確に読む

藤原です。第14章です。

教科書の定義は、こう書かれています。

起こりうるすべての場合が 通りあり、そのどれもが同様に確からしいとする。
事象 の起こる場合が 通りあるとき、 の確率は

多くの人は「」だけを見て、太字の部分を読み飛ばします。でも、この講座を第1章から読んできたあなたなら分かるはずです。条件には必ず前提がある。

「同様に確からしい」とは、 通りのそれぞれが、すべて同じ確率で起こるということです。この前提が崩れていたら、 は確率になりません。

同じ問題で、答えが2つ出てしまう例

いちばん有名な例を見ましょう。

問題　2枚のコインを同時に投げるとき、表と裏が1枚ずつ出る確率を求めよ。

答えその1（間違い）

「起こりうるのは『表2枚』『表と裏』『裏2枚』の3通り。だから確率は 」

答えその2（正しい）

「2枚のコインを A、B と区別すると、 (表,表), (表,裏), (裏,表), (裏,裏) の4通り。表と裏が1枚ずつなのは2通りなので 」

どちらが正しいでしょうか。実際にコインを100回投げてみれば、答えはおよそ50回。正しいのは です。

では、答えその1の何が間違っていたのか。

「表2枚」「表と裏」「裏2枚」の3つが、同様に確からしくないからです。「表と裏」は (表,裏) と (裏,表) の2通りを含んでいるので、他の2倍起こりやすい。それなのに、同じ1つとして数えてしまった。

確率では、たとえ見た目が同じでも、区別できるものは必ず区別して数える。
場合の数では「同じものは区別しない」ことがあっても、確率では原則すべて区別する。これが最大の違いです。

「区別しない」と書いてあっても、区別する

これがいちばん誤解されるところなので、はっきり言っておきます。

例題　袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。この中から2個を同時に取り出すとき、2個とも赤である確率を求めよ。

「赤玉3個は同じ色だから区別しない」と考えると、取り出し方は「赤2個」「赤1白1」「白2個」の3通り。それではさっきのコインと同じ間違いです。

正しくは、赤玉に 、白玉に と名前をつけて区別します。すると

• 全体：5個から2個を選ぶ　 通り
• 2個とも赤：赤3個から2個を選ぶ　 通り

答え：

「同じ色の玉」「同じ形のサイコロ」でも、物理的には別の物体です。別の物体である以上、それぞれが選ばれる確率は等しい。だから区別して数えると「同様に確からしい」が保証されます。
迷ったら区別する。これで事故はほぼゼロになります。

分母と分子は、同じルールで数える

もう1つ、重要な原則があります。

分母を「順序を区別して」数えたなら、分子も「順序を区別して」数える。
分母を「選ぶだけ」で数えたなら、分子も「選ぶだけ」で数える。

さっきの問題を、順序を区別して数え直してみます。

• 全体：5個から2個を順に取る　 通り
• 2個とも赤：赤3個から2個を順に取る　 通り

同じ答えになりました。ルールさえ揃っていれば、どちらで数えても構いません。逆に、分母を 、分子を のように混ぜると、必ず間違えます。

確率の基本性質は、集合の話そのもの

第1章でやった集合が、ここでも効きます。

①
② 余事象　
③ 加法定理　
　　とくに （排反）のとき

③は、第13章でやった包除原理を、全体の個数 で割っただけです。確率の公式は、場合の数の公式を で割ったものだと思って構いません。

②の余事象は、確率でも最強の道具です。第8章・第12章と同じで、「少なくとも1つ」を見たら余事象。

直感が裏切られる場面を、体験しておく

確率は、直感が驚くほど当てにならない分野です。1つ有名な例を挙げます。

例題　ある部屋に 人がいる。この中に誕生日が同じ人のペアが少なくとも1組いる確率が を超えるのは、 がいくつ以上のときか。（1年は365日とし、どの日に生まれる確率も等しいとする。）

直感的には「365日あるんだから、100人くらい必要では」と思いませんか。

計算してみましょう。「少なくとも1組」なので余事象です。「全員の誕生日が互いに異なる」確率を求めます。

1人目はどの日でもよい。2人目は1人目と違う日なので 。3人目は 。…… 人目は 。

全員の誕生日が異なる事象を とすると

実際に計算すると

• ：　→　同じ誕生日がいる確率 約
• ：　→　約
• ：　→　約
• ：　→　約

答え：23人

たった23人で50%を超えます。100人どころではありません。

なぜ直感と違うのか。「自分と同じ誕生日の人」を探しているのではなく、「どの2人でもいいから同じ」を探しているからです。23人からペアを作る方法は 通り。253回もチャンスがあると考えれば、納得できるはずです。

確率では、直感を信じないでください。必ず「何が同様に確からしいのか」を決め、数えて計算する。直感は最後の検算に使うくらいがちょうどいいです。

【原理】この章の芯

① 確率の定義には「同様に確からしい」という前提がある。必ず確認する。
② 確率では、見た目が同じでも物理的に別のものは区別して数える。
③ 分母と分子は、同じルールで数える。混ぜたら必ず間違える。
④ 確率の公式は、場合の数の公式を全体数で割ったもの。
⑤ 「少なくとも1つ」は余事象。

オリジナル問題で確かめる

問題1（同様に確からしいかを判定する）

次の数え方は「同様に確からしい」といえるか。理由とともに答えよ。

1. 2個のさいころを投げるとき、「出た目の和」を から までの11通りとして数える。
2. 2個のさいころを投げるとき、大きいさいころと小さいさいころの目の組を36通りとして数える。
3. 赤玉2個・白玉1個の袋から1個取り出すとき、「赤」「白」の2通りとして数える。

問題2（基本）

袋の中に赤玉4個、白玉3個、青玉2個が入っている。この中から3個を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。

1. 3個とも赤である確率
2. 3個の色がすべて異なる確率
3. 少なくとも1個は赤である確率

問題3（さいころ）

2個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。

1. 出た目の和が7になる確率
2. 出た目の積が偶数になる確率
3. 少なくとも一方が6である確率

問題4（順序を区別するかどうか）

10本のくじの中に当たりが3本ある。A と B の2人がこの順に1本ずつ引く（引いたくじは戻さない）。

1. A が当たる確率を求めよ。
2. B が当たる確率を求めよ。
3. (1) と (2) の結果について、気づいたことを述べよ。

問題5（加法定理）

1から100までの整数から1つを無作為に選ぶとき、それが3の倍数または4の倍数である確率を求めよ。

問題6（並べる確率）

男子3人、女子2人の計5人を1列に並べる。並べ方はすべて同様に確からしいとする。

1. 女子2人が隣り合う確率を求めよ。
2. 両端がともに男子である確率を求めよ。

問題7（余事象）

さいころを4回投げるとき、少なくとも1回は6の目が出る確率を求めよ。

問題8（誕生日問題の縮小版）

1週間が7日であるような星がある。この星の住人5人が集まったとき、誕生曜日が同じ人が少なくとも1組いる確率を求めよ。（どの曜日に生まれる確率も等しいとする。）

問題9（数えるルールを揃える）

赤玉3個、白玉2個の袋から2個を同時に取り出す。「2個とも赤である確率」を、次の2通りの数え方でそれぞれ求め、一致することを確かめよ。

1. 取り出す順序を区別しない数え方
2. 取り出す順序を区別する数え方

解答と解説

問題1の解答

1. いえない。和が になるのは の1通りだが、和が になるのは の6通り。起こりやすさが6倍違うので、同様に確からしくない。
2. いえる。2個のさいころは物理的に別物で、それぞれの目が1から6まで等しく出る。36通りのどれも確率 。
3. いえない。赤が出る確率は 、白は 。赤玉を と区別して3通りとすれば、同様に確からしくなる。

(1) は「和」というまとめた見方をしたせいで前提が崩れました。まとめると危ないのです。バラバラのまま数えるのが安全です。

問題2の解答

玉は全部で9個。すべて区別して数えます。全体は 通り。

(1)　赤4個から3個： 通り。

(2)　赤・白・青から1個ずつ： 通り。

(3)　余事象「1個も赤でない」＝赤以外の5個から3個： 通り。

問題3の解答

2個のさいころは区別して、全体を36通りとします。

(1)　和が7： の6通り。

(2)　積が偶数の余事象は「積が奇数」＝「両方とも奇数」。奇数の目は3個なので 通り。

(3)　余事象は「両方とも6でない」＝ 通り。

(3) を「6が出るのは一方が 、もう一方も だから足して 」とやると間違いです。両方6の場合を二重に数えているから。加法定理で書けば で、たしかに一致します。

問題4の解答

(1)　A は10本から1本引き、そのうち3本が当たり。

(2)　B が当たるのは、次の2つの場合です（排反）。

• A が当たり、B も当たり：
• A がはずれ、B が当たり：

(3)　A と B の当たる確率が同じです。「先に引いたほうが有利」という直感は間違いだった、ということになります。

理由を対応で説明できます。10本のくじを1列に並べて、A が1本目、B が2本目を取ると考えます。並べ方は 通りで、どれも同様に確からしい。このとき「1本目が当たり」である並べ方と「2本目が当たり」である並べ方は、1本目と2本目を入れ替えるという1対1対応でぴったり対応します。だから個数が等しく、確率も等しい。

これは「くじ引きの順番は結果に影響しない」という有名な事実です。入試でも頻出なので、結果だけでなく理由（対応で説明できること）まで押さえておいてください。

問題5の解答

3の倍数は 個、4の倍数は 個、12の倍数（両方）は 個。加法定理より

答え：

問題6の解答

全体は 通り。

(1)　女子2人を1つのかたまりとみなすと、4個のものの並べ方 通り。かたまりの中で女子2人の並び方が 通り。

(2)　両端に男子を並べる：男子3人から2人を選んで並べるので 通り。真ん中3か所に残り3人を並べて 通り。

問題7の解答

余事象は「4回とも6以外」。各回とも なので

答え：（約 ）

「6回投げれば1回は出るだろう」という直感を確かめてみましょう。6回なら 。約66.5%であって、100%ではありません。「6分の1だから6回で1回」というのは平均の話であって、確率が1になるわけではないのです。

問題8の解答

余事象「5人の誕生曜日がすべて異なる」を計算します。

1人目はどの曜日でもよい（）。2人目は残り6曜日（）。3人目は 、4人目は 、5人目は 。

すべて異なる確率は

したがって求める確率は

答え：（約 ）

たった5人で85%。しかも7曜日しかないので、8人いれば確率1になります（鳩の巣原理）。誕生日問題の直感の狂いが、小さい数だとよく見えます。

問題9の解答

赤を 、白を と区別します。

(1) 順序を区別しない

• 全体： 通り
• 2個とも赤： 通り

(2) 順序を区別する

• 全体： 通り
• 2個とも赤： 通り

一致しました。

なぜ一致するのか。分母も分子も、順序を区別するとちょうど2倍になるからです。分母と分子が同じ倍率で増えるので、割り算すれば消える。

逆に言えば、分母だけ2倍にして分子はそのまま、というのが「ルールを混ぜる」という事故です。 や は、どちらも間違いになります。

よくある誤解

誤解1：問題文に「区別しない」とあるから、確率でも区別しない
確率では区別します。物理的に別のものなら、それぞれが同じ確率で選ばれるからです。

誤解2：分母と分子で数え方を変える
片方を 、もう片方を で数えると必ず間違えます。どちらかに統一してください。

誤解3：「少なくとも一方」を単純に足す
両方の場合を二重に数えます。加法定理で引くか、余事象を使ってください。

誤解4：確率 だから6回で必ず1回起こると思う
6回で少なくとも1回起こる確率は約66.5%です。「平均」と「確率」は別の概念です。

よくある質問

Q. 「同時に取り出す」と「1個ずつ取り出す」で答えは変わりますか？

変わりません（取り出した玉を戻さない場合）。問題9で見たとおり、順序を区別するかどうかは分母と分子で相殺されます。だから計算しやすいほうで数えてよいのです。ただし途中で条件が変わる問題（問題4のような）では、順序を区別して考えたほうが見通しがよくなります。

Q. 確率の問題で、まず何をすればいいですか？

「何が同様に確からしいか」を決めることです。これを1行書いてから数え始めてください。「2個のさいころの目の組36通りは同様に確からしい」と書く。この一行が、事故を防ぎます。

Q. 答えが正しいか、どう確かめますか？

①余事象と足して1になるかを確かめる。②別の数え方でもう一度計算する。③極端な場合を考える（全部当たりなら確率1になるか、など）。この3つで、ほとんどのミスは見つかります。

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確率の土台ができました。次の第15章では条件付き確率を扱います。「情報が増えると、確率はどう変わるのか」。ここは大人でも間違える分野で、実際に医療や裁判の現場でも誤りが起きています。そして「独立」とは何かを、定義から正確に押さえます。

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▶ 第15章：条件付き確率と独立──情報が増えると何が変わるか
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