数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第16章
第2部の最終章です。 を展開すると、なぜ が出てくるのか。答えはシンプルで、展開するときに私たちは”数えている”からです。この章では、二項定理を「覚える公式」から「当たり前の事実」に変えます。そして、係数に を代入するだけで、驚くような等式が次々に出てくる遊びも紹介します。
展開とは、実は「選ぶ」作業である
藤原です。第16章です。
いきなりですが、これを展開してください。
答えは ですね。では、なぜ の係数が3なのかを説明できますか。
展開するとき、私たちは何をしているでしょうか。3つのカッコそれぞれから、 か を1つずつ選んで掛け合わせ、それを全部足しています。
選び方は 通り。書き出すとこうです。
このうち になるのは、 の3つ。だから係数が3です。
そして「3つのカッコのうち、どれで を選ぶか」を決めれば、その項が1つ決まります。だから
展開の係数とは「そうなる選び方が何通りあるか」である。
だから、展開の係数は必ず組合せの数になる。それが二項定理の正体です。
二項定理を、自分の手で作る
一般化しましょう。
（下線の は、カッコが 個あるという意味です。）
個のカッコそれぞれから か を選びます。 をちょうど 個選べば、項は 。
そして「 個のカッコのうち、どの 個で を選ぶか」は 通り。したがって
【二項定理】
証明終わり。覚えることは何もありません。「カッコから1つずつ選ぶ」という当たり前の事実を書いただけです。
ちなみに を二項係数と呼びます。名前の由来は、まさにこの定理です。
前章の反復試行と、同じ形をしている理由
第15章の最後に、こんな式が出てきました。
二項定理の項と、まったく同じ形です。偶然でしょうか。
偶然ではありません。二項定理で 、 とすると
左辺は です。つまり
「成功回数が 回から 回までの確率を全部足すと1になる」という、確率として当然の事実が、二項定理から出てきました。
どちらも「 個のうちどれを選ぶか」を数えているので、同じ構造になるのです。展開も確率も、根っこは数え上げ。第12章の主張が、ここでも生きています。
代入するだけで、面白い等式が出てくる
二項定理の等式は、 に好きな値を代入できます。ここから遊びが始まります。
その1： を代入
意味を考えましょう。左辺は「 個のものそれぞれについて、選ぶ／選ばないを決める方法の数」。右辺は「0個選ぶ場合＋1個選ぶ場合＋……」。どちらも「部分集合の個数」を数えているので、一致するのは当然です。
その2： を代入
（ のとき。左辺は です。）
移項すると、こうなります。
「偶数個選ぶ方法の数」と「奇数個選ぶ方法の数」がぴったり同じ。面白い事実です。しかも、その2つの合計が なので、それぞれ 通りだと分かります。
その3： を代入
この形は、「 の係数を取り出す装置」として使えます。次の例を見てください。
例題 の展開式における定数項を求めよ。
二項定理で一般項を書きます。
定数項は の指数が のとき。 より 。
答え：240
「〜の項の係数を求めよ」型の問題は、必ずこの手順です。
① 一般項を の形で書く
② の指数を の式で表す
③ 欲しい指数になる を求める
④ 代入する
全部展開する必要はありません。欲しい項だけ狙い撃ちするのがコツです。
パスカルの三角形も、同じ話
第12章の問題9で示した関係式を思い出してください。
これを表にすると、パスカルの三角形になります。
| 1 | |||||
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 2 | 1 | |||
| 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
この三角形の 行目が、そのまま の展開係数です。
なぜ「上の2つを足すと下ができる」のか。第12章で「特定の1個に注目して、選ぶか選ばないかで場合分けする」と説明しました。展開の言葉で言えば、 と分けて、最後のカッコから を取るか を取るかで場合分けしている、ということです。同じ構造を、違う言葉で言っているだけです。
【原理】この章の芯
① 展開とは、各カッコから1つずつ選んで掛けること。
② だから展開の係数は「そうなる選び方の数」＝組合せの数になる。
③ 二項定理は覚える公式ではなく、数え上げの記録。
④ に値を代入すると、いろいろな等式が自動的に出てくる。
⑤ 特定の項の係数は、一般項を書いて指数から を逆算する。
オリジナル問題で確かめる
問題1（展開）
次の式を展開せよ。
問題2（係数を求める）
次の展開式における、指定された項の係数を求めよ。
- における の係数
- における の係数
問題3（定数項）
の展開式における定数項を求めよ。
問題4（代入して等式を作る）
二項定理を用いて、次の等式を示せ。
- （）
問題5（3で割ったときの値）
二項定理を用いて を で割った余りを求めよ。
問題6（近似）
の値を、小数第3位まで概算せよ。（ を展開し、 を代入して、小さすぎる項を無視してよい。）
問題7（多項定理への拡張）
の展開式における の係数を求めよ。
問題8（係数の意味を考える）
の両辺で の係数を比べることにより、次の等式が成り立つことを示せ。
問題9（微分を使う・発展）
の両辺を で微分することにより、次の等式を示せ。
解答と解説
問題1の解答
(1) 係数はパスカルの三角形の4行目 。
(2) として、係数は 。
検算： を代入すると左辺は 。右辺は ○
この「 代入検算」は、展開問題では必ずやってください。係数の和が一致するかを見るだけで、ミスの大半が見つかります。
問題2の解答
(1) 一般項は 。 なので 、。
答え：945
(2) 一般項は 。 なので 、このとき の指数も で条件を満たします。
答え：60
符号に注意してください。 は で正になりますが、もし を聞かれていたら で符号が反転します。
問題3の解答
一般項は
定数項は 、つまり のとき。
答え：
問題4の解答
(1) 二項定理 に を代入します。
左辺は なので、示された。（証明終）
(2) 今度は を代入します。
より左辺は 。したがって
ここで、偶数番目の和を 、奇数番目の和を とおくと 、つまり 。
また (1) より 。この2式から
（証明終）
連立方程式を作って解いただけです。「和が分かっていて、差も分かっている」なら、それぞれが求まる。第7章でやった対称式の考え方と同じですね。
問題5の解答
と書くのがポイントです。
の項だけが で、それ以外の項はすべて の因数を含みます。そこで の項の和を とおくと、 は の倍数であり
したがって を で割った余りは 。
検算：（余り1）、（余り1）。たしかに常に1です。
この「割る数＋1の形に分解して二項展開する」テクニックは、整数問題で非常によく使います。 を で割った余りなども、同じ手で一瞬です。
問題6の解答
を代入します。
- 第1項：
- 第2項：
- 第3項：
- 第4項：
- 第5項以降： 以下で、小数第3位には影響しない
足すと 。
答え：約
実際の値は なので、ぴったり合っています。二項定理は「1に近い数のべき乗」を手計算するための道具でもあるのです。第22章で扱う微分の近似（）とも、実はつながっています。
問題7の解答
3つ以上の項でも、考え方は同じです。5個のカッコそれぞれから のどれかを選ぶ。 になるのは、 を2個、 を2個、 を1個選んだとき。
「5個のカッコのうち、どの2個で 、どの2個で 、どの1個で を選ぶか」を数えます。これは第12章の「同じものを含む順列」です。
答え：30
これを一般化したものが多項定理です。 の （）の係数は 。公式として覚えるより、「カッコから選ぶ」と考えて自分で作るほうが確実です。
問題8の解答
右辺から。 の の係数は、二項定理より 。
左辺から。 の の係数は 、 の の係数は 。この2つを掛け合わせると の項ができます。
は から まで動くので、 の係数は
同じ多項式の同じ次数の係数なので、両者は等しい。（証明終）
この等式はヴァンデルモンドの畳み込みと呼ばれます。数え上げの言葉でも説明できます。「男子 人・女子 人の合計から 人選ぶ」方法を、「男子を何人選ぶか」で分類したのが左辺、そのまま数えたのが右辺。同じものを2通りに数えたわけです。
「同じものを2通りに数えて等式を作る」は、組合せの等式を示すときの王道です。
問題9の解答
両辺を で微分します。
左辺：
右辺：
（ の項は定数なので微分すると消えます。だから和が から始まります。）
したがって
ここで を代入すると
（証明終）
検算： なら左辺 。右辺は ○
「等式の両辺を微分する」「両辺に値を代入する」という操作で、新しい等式が次々に生まれます。二項定理は、等式製造機なのです。
よくある誤解
誤解1： の符号を間違える
を と考えて、 をきちんと掛けてください。 が奇数のとき負になります。
誤解2：係数を求めるのに全部展開する
一般項を書いて、指数から を逆算するだけです。全部展開する必要はありません。
誤解3：分数や負の指数が入ると混乱する
と書き換えて、指数の足し算にしてしまえば同じです。
誤解4： の が「どちらの文字の個数か」を取り違える
では は の個数です。書くときに必ず確認してください。
よくある質問
Q. パスカルの三角形は覚えるべきですか？
くらいまで書けると計算が速くなりますが、覚える必要はありません。「上の2つを足す」というルールさえ知っていれば、その場で30秒で書けます。実際、試験中に を計算するより、三角形を書いたほうが速いこともあります。
Q. 二項定理は、指数が分数や負でも使えますか？
高校範囲では使いません（大学で「一般二項定理」として学びます）。ただし問題6でやったような近似計算では、 という1次近似が、指数が何であっても成り立つことを、第22章で見ることになります。
Q. 組合せの等式を示す問題が苦手です。
3つの道があります。①階乗の式で計算する（力技だが確実）②二項定理に代入する（問題4・9の方法）③同じものを2通りに数える（問題8の方法）。まず③を考えて、思いつかなければ②、それでもダメなら①という順で試してみてください。
第2部、おつかれさまでした
数列と数え上げが終わりました。差分とΣ、漸化式、1対1対応、確率、二項定理。バラバラに見えた話が、「差を取る」「対応をつける」という2つの発想でつながっていたことを感じてもらえたと思います。
第3部からは、いよいよ関数の世界に入ります。第17章のテーマは「関数とは何か」。答えは「対応」です。そして、この見方を手に入れると、入試の最難関テーマである逆像法・通過領域が、すっと理解できるようになります。
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▶ 第17章：関数とは「対応」である──写像の原理
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