数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第18章
この講座の山場です。入試数学で最後まで差がつくのは、「文字が2つ以上動く問題」。ここで多くの受験生が沈みます。でも、方針はたった1つです。動く文字を1つずつ処理する。そして、その最強の道具が逆像法です。第1章から積み上げてきたものが、ここで全部つながります。
なぜ「動く文字」で手が止まるのか
藤原です。第18章です。
こういう問題で、手が止まったことはありませんか。
- 「 が を満たすとき、 のとりうる値の範囲を求めよ」
- 「 が実数全体を動くとき、直線 が通りうる点の範囲を求めよ」
- 「、 のとき、 の最大値を求めよ」
手が止まる理由は、はっきりしています。動くものが2つあるので、どちらから手をつけていいか分からないからです。
そして、答えもはっきりしています。
動く文字は、必ず1つずつ処理する。
2つ同時に動かそうとするから、頭が破裂する。1つを止めて、もう1つだけ動かす。
そして「1つずつ処理する」やり方には、2つの流儀があります。
2つの流儀──順像法と逆像法
【順像法（予選決勝法）】
片方を止めて、もう片方を動かして「予選」を行う。
次に、止めていたほうを動かして「決勝」を行う。
【逆像法】
求めたい値を とおき、「 が実現できるか？」を問う。
「実現できる」＝「条件を満たす文字の値が存在する」に翻訳して解く。
第17章の最後で、こう書きました。
が値域に入る ⟺ を満たす が存在する
これを2文字に広げたのが逆像法です。
が の値として実現できる
⟺ 「条件」かつ「」を満たす が存在する
「存在する」と言えれば勝ちです。なぜなら、第3章と第7章で「実数が存在する条件＝判別式」という道具を、すでに手に入れているからです。
まずは1つ、最後までやってみる
例題1 実数 が を満たすとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。
【逆像法での解答】
求める値を とおきます。すると
が実現できる ⟺ 「」かつ「」を満たす実数 が存在する
ここで を第1式に代入して、文字を1つ減らします。
この2次方程式が実数解をもつ条件を求めればよい。
答え：
第2章で、この問題を「円と直線が共有点を持つ条件」として解きました。まったく同じ答えです。実は同じことをやっています。「共有点が存在する」も「実数解が存在する」も、同じ「存在」の話だからです。
逆像法の手順は、いつも同じ3ステップです。
① 求めたい値を とおく
② 「 が実現できる」を「条件を満たす文字が存在する」に翻訳する
③ 存在条件（判別式、値域、グラフの共有点など）を計算する
考えることは何もありません。手順を覚えるのではなく、この3ステップを毎回書くだけで解けます。
「実数」という言葉を、絶対に落とさない
ここが、逆像法での最大の失点ポイントです。
私たちが求めたのは「 が実数解をもつ条件」でした。もし が複素数でもよければ、判別式は要りません。 が実数だからこそ、判別式という条件が生まれるのです。
第7章でやった「実数条件」を思い出してください。、 とおくと が必要でした。あれと同じ話です。
置き換えたら、置き換えた先の文字が動ける範囲を必ず調べる。
この一言が、第7章から第18章まで一貫しています。「 と置いた」なら、 が実数であることを忘れない。忘れた瞬間に、答えが広がりすぎます。
範囲に制限があるときは、判別式だけでは足りない
次はレベルを1つ上げます。
例題2 実数 が 、、 を満たすとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。
第7章でも扱いましたが、今回は逆像法の型で処理します。
とおくと、「 かつ かつ かつ 」を満たす実数 が存在する条件を求めればよい。
は2次方程式 の2解です。求めるのは、この方程式が0以上の実数解を2つもつ条件。
ここで「判別式だけ」では足りません。解が0以上かどうかも見ないといけないからです。3つの条件を書きます。
- 実数解をもつ： →
- 2解の和が0以上： → 常に成立
- 2解の積が0以上：
合わせて 。
答え：
【2解がともに0以上である条件】
かつ （2解の和） かつ （2解の積）
理由：積が0以上なら「両方0以上」か「両方0以下」。そこに和が0以上を足せば「両方0以上」に絞れる。
この3条件は、暗記ではなくその場で作れるようにしてください。「積の符号で同符号を確保し、和の符号でどちら側か決める」。第2章でやった積の符号の話と同じ発想です。
もう1つの流儀──順像法（予選決勝法）
逆像法が万能かというと、そうでもありません。逆像法は「存在条件が式で書ける」ときに強いのですが、書けない場合もあります。そのときは順像法です。
例題3 、 のとき、 の最大値と最小値を求めよ。
【順像法での解答】
予選： を止めて、 だけ動かす。
について整理します。
これは の1次式です（ は止めているので定数扱い）。1次式は単調なので、最大最小は端点で起こります。ただし傾き の符号で向きが変わるので場合分けします。
- （傾き正）： で最大 、 で最小
- （傾き負）： で最大 、 で最小
- （傾き0）： で一定
決勝：予選の結果を、 を動かして比べる。
最大値の候補は、 では 、 では 。
- で が最大になるのは のときで、値は
- で が最大になるのは のときで、値は
したがって最大値は （ または のとき）。
最小値も同様に、 と の小さいほうを追いかけて、最小値は （ または のとき）。
検算： なら ○ なら ○ なら ○
順像法のコツは「1文字について何次式か」を見ることです。
この問題では、 について見ると1次式でした（ の項があるので2次に見えますが、 を止めれば の1次）。1次式なら端点だけ調べればよい。
2文字の式は、片方を止めると急に簡単になる。これが順像法の威力です。
どちらを使うか、の判断基準
逆像法を使う：文字を消したときに2次方程式になる（判別式が使える）／分数式の値域／「〜が存在する」と書かれている
順像法を使う：片方を止めると1次式や扱いやすい2次関数になる／変域が長方形などで区切られている／逆像の存在条件が式で書きにくい
迷ったらまず逆像法を試すのがおすすめです。手順が固定されていて、思考の負荷が低いからです。うまくいかなければ順像法に切り替える。
逆像法のもう1つの顔──「定数分離」
次の問題を考えます。
例題4 方程式 の実数解の個数を、実数 の値によって分類せよ。
左辺に が集まり、右辺は定数。これは「 が実現できるか」だけでなく、「何通りの で実現できるか」を聞いています。
そこで、こう読み替えます。
実数解の個数 ＝ 曲線 と横線 の共有点の個数
横線を上下に動かして、交点の数を数えるだけです。
の増減を調べます。 より、 で極大値 、 で極小値 。
グラフを見ながら、横線 を上から下へ動かします。
- ：右上の部分と1回だけ交わる → 1個
- ：極大点で接し、さらに右側で1回交わる → 2個
- ：山と谷の間を通るので3回交わる → 3個
- ：極小点で接し、さらに左側で1回交わる → 2個
- ：左下の部分と1回だけ交わる → 1個
「定数分離」は、逆像法の一種です。「 が実現できるか」だけでなく「何回実現できるか」まで一気に見えるので、実数解の個数を問う問題では最強です。
方程式に文字定数が入っていたら、まず定数だけを片側に集められないかを考えてください。
【原理】この章の芯
① 動く文字は1つずつ処理する。同時に動かそうとしない。
② 逆像法：求める値を とおき、「存在するか」に翻訳する。
③ 「実数が存在する」条件を落とさない（判別式・変域）。
④ 解に範囲の制限があるときは、判別式だけでなく和と積の符号も見る。
⑤ 順像法：片方を止めると1次式や2次関数になる。予選をやって決勝をやる。
⑥ 定数分離は逆像法の一種。実数解の個数まで一気に見える。
オリジナル問題で確かめる
問題1（逆像法の基本）
実数 が を満たすとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。
問題2（逆像法・和が一定）
実数 が を満たすとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。
問題3（範囲つき）
実数 が 、、 を満たすとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。
問題4（分数関数の値域）
が実数全体を動くとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。
問題5（順像法・1次式に落とす）
、 のとき、 の最大値と最小値を求めよ。
問題6（定数分離・実数解の個数）
方程式 の実数解の個数を、実数 の値によって分類せよ。
問題7（定数分離・範囲つき）
方程式 が の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような実数 の範囲を求めよ。
問題8（存在条件で領域を出す・通過領域の予告）
実数 が全体を動くとき、直線 が通る点 の全体を求め、図示せよ。
問題9（2解の配置）
2次方程式 が、異なる2つの正の実数解をもつような実数 の範囲を求めよ。
解答と解説
問題1の解答
とおくと 。これを に代入します。
実数 が存在する条件は
答え：
第2章の問題8で、点と直線の距離を使って同じ答えを出しました。2通りの方法で一致しています。
問題2の解答
とおきます。 を代入して
実数解をもつ条件は
答え：
第7章の問題9で示した不等式 と同じ結果です。あちらは平方完成、こちらは逆像法。道具が増えると、同じ事実に複数の道からたどり着けるようになります。
問題3の解答
とおくと、 は の2解です。求めるのは2解がともに0以上となる条件。
- 実数解： →
- 和： → 常に成立
- 積：
合わせて
答え：
検算： のとき で最大。 のとき で最小。和が一定なら、等しいときに積が最大という第7章の事実とも合っています。
問題4の解答
分母 なので、いつでも払えます。 とおくと
(i) のとき： より 。実数解があるので は値域に入る。
(ii) のとき：2次方程式なので
の形に見て因数分解します。
両辺に を掛けて より
(i)(ii) を合わせて
答え：
検算： のとき （下限）、 のとき （上限）。両端が実現できているので正しいと分かります。
問題5の解答
について整理します。
なので 。つまり傾きは常に0以下で、場合分けが要りません。
予選（ を止めて を動かす）
- 最大： のとき
- 最小： のとき
決勝（ を動かす）
- 最大の候補 は、 で のとき最大となり、値は
- 最小の候補 は、 のとき最小となり、値は
答え：最大値 （）、最小値 （）
検算： なら ○ なら ○ なら （範囲内） ○
問題6の解答
と の共有点の個数を数えます。
より で極大値 、 で極小値 。
横線 を動かして
- ：1個
- ：2個
- ：3個
- ：2個
- ：1個
検算： なら より （重解）と 。異なる解は2個 ○
問題7の解答
この問題は、素直に「2次関数の解の配置」でやると場合分けが多くなります。 について解いて、定数分離してしまうのが速いです。
は1次で入っているので解けます。
のとき：左辺 、右辺 で成り立ちません。よって は解になりえない。
のとき：
したがって「（ただし ）における の値域」が答えです。
微分します。
区間 では：、 より で減少。 で 、 で分母が に近づき 。よってこの区間での値域は 。
区間 では： で 。 では で減少し、 で最小値 。その後 で増加し、 で に近づく（ は含まない）。
したがってこの区間での値域は 。
2つを合わせて
答え： または
検算： のとき より 。たしかに ○
のとき は実数解なし ○（範囲外なので不適で正しい）
のとき より 。 は に入ります ○
問題8の解答
「直線が通る点」とは、その点を通るような が存在する点のことです。だから逆像法がそのまま使えます。
点 が通過されるための条件は
を満たす実数 が存在すること。これを についての方程式と見ます。
の2次方程式なので、実数解が存在する条件は
答え：放物線 とその下側の領域（境界を含む）
これが「通過領域」の問題です。手順は逆像法そのもの。「 を固定して、パラメータ についての存在条件を書く」。次の第19章で、この考え方を本格的に展開します。
ちなみに、この という直線は、放物線 の における接線です（接線の方程式は ）。放物線の接線を全部集めると、放物線の下側が埋め尽くされる——きれいな事実ですね。
問題9の解答
「異なる2つの正の解」なので、3つの条件を書きます。
- 異なる2実数解：
→ または - 2解の和が正： →
- 2解の積が正： →
3つの共通部分を取ると
答え：
検算： のとき より 。 なので、2解は約 と 。ともに正で異なる ○
のとき で重解。「異なる」に反するので除外されるのが正しい ○
「異なる」が付いたら 、付かなければ 。この1文字で答えが変わるので、問題文を丁寧に読んでください。
よくある誤解
誤解1：文字を消したら、消した文字の条件も消えると思う
消えません。「実数である」「0以上である」といった条件は、判別式や和・積の符号として生き残ります。
誤解2：範囲つきなのに判別式だけで済ませる
「2解がともに正」なら和と積の符号も要ります。判別式だけでは、負の解も許してしまいます。
誤解3：どの文字について整理するかを間違える
逆像法ではパラメータ（動く定数）について整理するのが基本です。問題8で について2次式と見たのがポイントでした。
誤解4：2次の係数が0になる場合を忘れる
のように、係数に文字が入っていたら必ず場合分けしてください。
よくある質問
Q. 逆像法と順像法、どちらを先に試すべきですか？
逆像法です。手順が「 とおく → 存在条件を書く → 計算する」と固定されているので、思考の負荷が低い。うまく式が書けないと感じたら順像法に切り替えてください。
Q. 「予選決勝法」という言葉は答案で使えますか？
使わないほうがよいでしょう。俗称なので、採点者に伝わらない可能性があります。答案では「 を固定して を動かすと……」「次に を動かすと……」と、やっていることを日本語で書けば十分です。
Q. 逆像法の答案は、どこまで書けばいいですか？
「 が実現できる ⟺ 〜を満たす実数 が存在する」という同値の一行を必ず書いてください。ここが逆像法の心臓部です。この一行がないと、判別式を書いている理由が採点者に伝わりません。
次の章へ
逆像法が手に入りました。次の第19章では、この道具をそのまま軌跡と通過領域に使います。「点が動いた跡」と「直線が通った跡」は、まったく同じ問題です。問題8で見た「パラメータの存在条件」が、そのまま主役になります。
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