数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第23章
「面積を求めるのに、なぜ微分の逆をするのか」。冷静に考えると、これは相当不思議な話です。面積と微分に、何の関係があるのでしょうか。この章でその橋を架けます。そして、第9章でやった「Σは引き算」が、そのまま積分の話だったことが見えてきます。
面積は「細かく切って足す」しかない
藤原です。第23章です。
曲線の下の面積を求めたい。長方形や三角形なら公式がありますが、曲線で囲まれた形には公式がありません。
どうするか。細かい長方形に切って、足す。これしかありません。
区間 を 等分して、それぞれの区間で高さを の値にとった細長い長方形を作ります。幅を とすると、面積の近似値は
そして を大きくして、長方形をどんどん細くしていく。その極限が定積分です。
記号を見てください。 は「S」を縦に伸ばした形で、Sum（和）の頭文字です。 は「限りなく細くした幅 」。積分記号そのものが「細かく切って足す」と言っているのです。
なぜ、これが「微分の逆」になるのか
ここが本題です。面積を、なぜ原始関数の差で求められるのか。
面積を関数だと思うのがコツです。左端 を固定して、右端を にします。
これは「 から までの面積」を表す関数です。 が右に動けば面積が増える。 の関数になっているわけです。
では、この を微分すると何になるでしょうか。
微分は「 を少し（ だけ）増やしたときの、増加分を で割ったもの」でした。 を だけ増やすと、面積は幅 、高さ くらいの細長い長方形の分だけ増えます。
両辺を で割って とすると
【微分積分の基本定理】
「面積を表す関数」を微分すると、もとの関数に戻る。
これで橋が架かりました。 は の原始関数のひとつです。だから、 を の任意の原始関数とすると （定数差）と書けて、 から 。よって
面積が、原始関数の差で求まる理由がこれです。「微分の逆をやれ」と丸暗記していたものの、正体は「面積関数を微分すると元に戻る」という一点でした。
第9章と、まったく同じ形をしている
ここで、第9章を思い出してください。あのとき、こう書きました。
のとき
そして今回は
のとき
まったく同じ形です。整理すると、こういう対応になっています。
| 数列（とびとび） | 関数（つながっている） | |
| 小さく見る | 差分 | 微分 |
| 集めて足す | シグマ | 積分 |
| 基本定理 |
差分とΣ、微分と積分。この4つは1つの正方形をなしている。
とびとびの世界と、つながった世界。同じ話を2通りの言葉で語っていただけなのです。
第9章で「Σは引き算です」と言ったとき、意味が分からなかったかもしれません。いまなら分かるはずです。積分だって引き算です。 ですから。
面積を求めるときの、ただ1つのルール
実戦の話をします。面積を求める問題は、結局これだけです。
（面積）＝ ∫（上にある関数 − 下にある関数）
なぜ 軸が出てこないのか。それは「 軸より上の面積」が、たまたま「 と の差」だっただけだからです。本質は「上 − 下」。
だから 軸より下にある部分でも、慌てる必要はありません。 が下、 が上なので 。マイナスを付けるだけです。
そして、グラフが交差している場合は、交点で区間を切って、上下が入れ替わるごとに別々に計算します。
よく使う「6分の1公式」も、自分で作れる
放物線と直線で囲まれた面積には、有名な公式があります。
これも導けます。 と置き換えると、 として
置き換えて、素直に積分するだけでした。
放物線 と直線が で交わるとき、差の関数は の形になります（2次の係数が で、 を根にもつので）。だから囲まれた面積は
この公式のご利益は、交点の座標を求めなくてよいことです。 は解と係数の関係から で出せるので、汚い交点でも計算できます。第7章の対称式が、こんなところで効きます。
【原理】この章の芯
① 積分は「細かく切って足す」。記号 は Sum の S。
② 面積を関数と見て微分すると、もとの関数に戻る（基本定理）。
③ だから面積は原始関数の差 で求まる。
④ 差分とΣ、微分と積分は同じ構造。とびとびか、つながっているかの違いだけ。
⑤ 面積は「上 − 下」。交点で区間を切る。
オリジナル問題で確かめる
問題1（定積分の計算）
次の定積分を計算せよ。
問題2（基本定理の確認）
とするとき、 を2通りの方法で求め、一致することを確かめよ。
問題3（面積・上−下）
放物線 と直線 で囲まれた図形の面積を求めよ。
問題4（ 軸より下の部分）
曲線 と 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
問題5（6分の1公式を使う）
放物線 と直線 で囲まれた図形の面積を求めよ。
問題6（上下が入れ替わる）
曲線 と 軸で囲まれた図形の面積をすべて合わせた値を求めよ。
問題7（絶対値を含む積分）
定積分 を計算せよ。
問題8（積分方程式）
関数 が、すべての実数 について
を満たすとき、 を求めよ。
問題9（Σと積分の対応）
第9章で を導いた。これと を比べて、気づいたことを述べよ。
解答と解説
問題1の解答
(1)
(2)
答え：(1) (2)
問題2の解答
方法1（基本定理をそのまま使う）：。
方法2（実際に積分してから微分する）：
これを微分すると 。一致しました。
方法2で定数 が出てきましたが、微分すると消えます。下端 をどこに変えても は変わらないということです。基本定理が「下端によらない」ことも、ここで確認できます。
問題3の解答
まず交点を求めます。 より
よって 。この間では直線が上、放物線が下です（たとえば で直線 、放物線 ）。
答え：
6分の1公式でも確かめられます。差の関数は 、つまり 、。
一致しました。公式のほうが圧倒的に速いですね。
問題4の解答
より、 軸との交点は 。この間では放物線は 軸より下にあります。
したがって面積は「上（ 軸、つまり ）− 下（放物線）」の積分。
答え：
6分の1公式でも同じです。差の関数は なので ○
面積は必ず0以上です。 と負の値が出たら、それは「積分の値」であって「面積」ではありません。符号が負になったら、上下を取り違えていないか確認してください。
問題5の解答
交点を求めます。 より
これは因数分解できませんが、6分の1公式なら交点を求めなくても計算できます。
解を とすると、解と係数の関係より 、。したがって
差の関数「（放物線）−（直線）」は なので、2次の係数は 。よって
答え：
交点が無理数でも、第7章の対称式を使えば計算できました。この講座で学んだ道具が、こうして合流します。
問題6の解答
より、 軸との交点は 。
符号を調べます。
- ：、、 なので積は正（曲線が上）
- ：、、 なので積は負（曲線が下）
上下が入れ替わるので、区間を分けて計算します。
それぞれ計算します。
2つ目は符号を反転して 。したがって
答え：
ここで を計算してはいけません。値は になってしまいます（ は奇関数なので）。上と下が打ち消し合うからです。
面積を求めるときは、必ず交点で区間を切る。これがこの単元の最大の失点ポイントです。
問題7の解答
絶対値は場合分けして外すのが基本です（第6章）。
- ：
- ：
区間を分けて計算します。
答え：
検算： のグラフは V 字。 で、左側は底辺1・高さ1の三角形（面積 ）、右側は底辺2・高さ2の三角形（面積 ）。合わせて ○ 図で確かめられる問題は、必ず図で確かめてください。
問題8の解答
ポイントは「 は定数である」ことです。積分区間が数字で固定されているので、計算すれば1つの数になります。
そこで
とおくと、条件は 。
これを の定義式に代入します。
ここで であることに注意してください（ は定数なので、幅1の長方形の面積です）。
したがって 、つまり 。これは矛盾です。つまり、そのような は存在しません。
答え：条件を満たす は存在しない
意地悪な問題に見えますが、「解なし」も立派な答えです（第5章でもやりました）。
試しに問題を に変えてみると、 より 、。このときは と解が求まります。係数の違いで、解けたり解けなかったりするのが面白いところです。
問題9の解答
2つを並べてみます。
気づくこと：どちらも「3で割る」形をしている。
右辺を見比べると、 と が対応しています。 が大きいとき なので、この2つはほぼ同じ値です。
これは偶然ではありません。第9章で見たとおり、「連続する 個の積」は、数列の世界における の役割を果たしています。
- 関数の世界： を積分すると （次数が1上がって3で割る）
- 数列の世界： を「和」すると 型（因子が1つ増えて3で割る）
答え：連続積の和は、多項式の積分とまったく同じ構造をしている
差分・Σ・微分・積分が1つの正方形をなす、というこの章の主張が、具体的な式でも確認できました。とびとびの世界と、つながった世界。数学は同じ話を2通りの言葉で語っています。
よくある誤解
誤解1：積分の値＝面積だと思う
曲線が 軸より下にあると、積分の値は負になります。面積は必ず0以上。「上 − 下」で計算してください。
誤解2：上下が入れ替わるのに、一気に積分する
打ち消し合って0になったりします。交点で必ず区間を切る。
誤解3： を の関数だと思う
これは定数です。積分区間に文字が入っていない限り、値は1つの数です。
誤解4：6分の1公式を、放物線と放物線でも同じ形で使う
差の関数の2次の係数が変わるので、 の部分に注意が必要です。「差の関数を因数分解した形」から係数を読むのが安全です。
よくある質問
Q. 6分の1公式は答案で使っていいですか？
使って構いません。ただし結果だけを書くのではなく、「差の関数は の形なので」と一言添えると安全です。心配なら、途中の積分計算を1行だけ書いておけば完璧です。
Q. 積分定数 はいつ書くのですか？
不定積分のときだけです。定積分では で消えるので書きません。「」（区間なし）なら が要る、と覚えてください。
Q. 区分求積法は必要ですか？
理系では必要です（ の形）。この章で扱った「細かく切って足す」の考え方そのものなので、意味さえ分かっていれば公式は導けます。文系範囲では出ませんが、積分の意味を理解するうえで知っておく価値があります。
次の章へ
いよいよ最終章です。第24章では、この講座で手に入れたすべての道具を「最大最小」という1つのテーマに集約します。1文字の場合、範囲がある場合、2文字以上の場合、条件がついている場合。どの問題も、結局は同じ1本の方針に乗っていることを見て、この講座を締めくくります。
◀ 第22章：微分の直観──変化率・接線・増減はひとつの話
▶ 第24章：最大最小のすべて──文字を減らす・範囲を出す・同値で追う
▶ 『数学の原理』全24章の目次に戻る
