体系数学1 代数編 第3章「方程式」を、章末問題のかたちで20題にまとめました。中高一貫校では中1の後半から中2にかけて進む章です。この章は計算はできるのに文章題で止まる生徒がとても多い。原因は読解力ではなく、「何を x とおくか」と「等しいものは何か」を決める順番が身についていないことです。この20題は、計算を確認したあとに文章題を10題（1次方程式5題・連立5題）置いてあります。全問オリジナルで、解答は立式の理由まで書きました。
この回の範囲 ① 方程式とその解 ② 1次方程式の解き方 ③ 1次方程式の利用 ④ 連立方程式 ⑤ 連立方程式の利用（体系数学1 代数編 第3章の全5節）
目安 50分／100点満点／全20題。答えを写して終わりにしないで、必ず「使う道具」の行を自分の言葉で言い直してください。
先に確認する道具
移項は「等式の性質」の略記
移項を「符号を変えて反対側へ」とだけ覚えていると、分数や小数が混ざったとたんに手が止まります。やっているのは両辺に同じ数を足す・引くことだと分かっていれば、両辺を10倍する・分母をはらうといった操作も同じ仲間だと見えます。
文章題は「x を決める → 等しいものを1つ書く」
式が立たないときは、たいてい等しいものを決めていない状態です。代金、道のり、食塩の重さ、人数——2通りの言い方ができる量を1つ見つけて、それを＝で結びます。連立にするときは、この「2通りに言える量」を2つ見つけます。
割合は「もとにする量」を書いてから
「5%増」は 1.05倍、「4%減」は 0.96倍。食塩水では食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度。文章題では、もとにする量がどれなのかを式の横にメモしてから立式すると取り違えません。
答えが出たら、必ず問題文に戻す
方程式の答えは「x の値」であって「問題の答え」ではありません。人数・個数なら整数か、長さなら正か、問題文の条件を満たしているかを最後に確認します。この一手が入っているかどうかで、部分点が変わります。
第1節 方程式とその解・1次方程式の解き方（第1問〜第5問）
まず計算を確実に。分数・小数は「はらってから」進めます。
第1問5点
次のア〜エのうち、x=−3 が解であるものをすべて選びなさい。
ア 2x＋1=−5 イ x²=9 ウ 5−x=8 エ 3x−2=7
使う道具「解」とは代入すると等式が成り立つ値。ひとつずつ代入して確かめる。
ア 左辺=2×(−3)＋1=−5。右辺=−5。成り立つ。○
イ 左辺=(−3)²=9。右辺=9。成り立つ。○（x=3 も解ですが、聞かれているのは x=−3 が解かどうかです）
ウ 左辺=5−(−3)=8。右辺=8。成り立つ。○
エ 左辺=3×(−3)−2=−11。右辺=7。成り立たない。×
よくある誤答ウで 5−(−3) を 2 としてしまう答案。負の数を引くと足し算になります。
答え ア、イ、ウ
第2問5点
次の方程式を解きなさい。
(1) 5x−7=3x＋9 (2) 4−3x=x＋16 (3) 7x＋2=2(3x−5)
使う道具かっこをはずす → 文字を左、数を右へ → 両辺を x の係数でわる。
(1) 5x−3x=9＋7 より 2x=16、x=8。
(2) −3x−x=16−4 より −4x=12、x=−3。
(3) 右辺を展開して 7x＋2=6x−10。7x−6x=−10−2 より x=−12。
よくある誤答(2) で −4x=12 を x=3 とする答案。負の数でわるので符号が変わります。
答え (1) x=8 (2) x=−3 (3) x=−12
第3問5点
次の方程式を解きなさい。
(1) 0.3x−0.8=0.1x＋0.2 (2) x−12−2x＋15=1
使う道具小数は10倍、分数は分母の最小公倍数倍。両辺のすべての項にかける。
(1) 両辺を10倍して 3x−8=x＋2。2x=10 なので x=5。
(2) 両辺を10倍します。5(x−1)−2(2x＋1)=10。
5x−5−4x−2=10 より x−7=10、x=17。
検算：162−355=8−7=1。合っています。
よくある誤答(2) で右辺の 1 を10倍し忘れる答案。かけるのは両辺のすべての項です。
答え (1) x=5 (2) x=17
第4問5点
比例式 (x＋2):(x＋8)=2:3 を満たす x の値を求めなさい。
使う道具a:b=c:d のとき ad=bc（外項の積＝内項の積）。
3(x＋2)=2(x＋8)
3x＋6=2x＋16
x=10。
検算：12:18=2:3。合っています。
答え x=10
第5問5点
x についての方程式 2x＋a=5x−7 の解が x=4 であるとき、a の値を求めなさい。
使う道具解が分かっているなら代入して a の方程式にする。
x=4 を代入すると 2×4＋a=5×4−7。
8＋a=13 より a=5。
検算：2×4＋5=13、5×4−7=13。両辺が一致します。
よくある誤答a を求めずに x を解こうとして手が止まる答案。未知数がどれなのかを見分けるのがこの問題の主題です。
答え a=5
第2節 1次方程式の利用（第6問〜第10問）
定番の5型（代金・過不足・速さ・濃度・整数）。どれも「等しいもの」を1つ見つければ式になります。
第6問5点
1個120円のりんごと1個80円のみかんを、合わせて15個買ったところ、代金は1480円でした。りんごを何個買いましたか。
使う道具りんごを x 個とすると、みかんは (15−x) 個。等しいのは代金。
りんごを x 個とすると、みかんは 15−x 個です。
120x＋80(15−x)=1480
120x＋1200−80x=1480 より 40x=280、x=7。
検算：りんご7個で840円、みかん8個で640円。合計1480円。
よくある誤答みかんの個数を y とおいて式を1本しか作らない答案。1次方程式では、片方を (15−x) と書いて文字を1つに減らします。
答え りんご 7個
第7問5点
何人かの生徒にえんぴつを配ります。1人に4本ずつ配ると9本余り、1人に5本ずつ配ると6本足りません。生徒の人数と、えんぴつの本数を求めなさい。
使う道具えんぴつの本数を2通りに書く。余る＝＋、足りない＝−。
生徒を x 人とします。
4本ずつ配ると9本余るので、本数は 4x＋9。
5本ずつ配ると6本足りないので、本数は 5x−6。
同じ本数なので 4x＋9=5x−6。これを解いて x=15。
本数は 4×15＋9=69（本）。検算：5×15−6=69。一致します。
よくある誤答「足りない」を ＋6 と書いてしまう答案。足りないぶんは、配るのに必要な数より少ないので引き算です。
答え 生徒 15人、えんぴつ 69本
第8問5点
弟が家を出発して分速60mで歩き始めました。その12分後に、兄が同じ道を分速180mで追いかけました。兄が家を出てから何分後に弟に追いつきますか。
使う道具追いつく＝2人の進んだ道のりが等しい。時間の基準をそろえる。
兄が出発してから x 分後に追いつくとします。
そのとき弟は (12＋x) 分歩いているので、道のりは 60(12＋x)。
兄の道のりは 180x。追いつくとき、この2つが等しい。
60(12＋x)=180x
720＋60x=180x より 120x=720、x=6。
検算：弟 60×18=1080m、兄 180×6=1080m。一致します。
よくある誤答弟の時間も x としてしまう答案。弟は12分ぶん多く歩いています。
答え 6分後
第9問5点
8%の食塩水200gに水を加えて、5%の食塩水にします。加える水は何gですか。
使う道具水を加えても食塩の重さは変わらない。そこを＝で結ぶ。
はじめの食塩の重さは 200×0.08=16（g）。
加える水を x g とすると、できる食塩水は (200＋x) g で、濃度は5%。
食塩の重さは変わらないので 16=(200＋x)×0.05。
16=10＋0.05x より 0.05x=6、x=120。
検算：320g の5%は16g。合っています。
よくある誤答「8−5=3%ぶん薄める」と考えて 200×0.03 のような式を書く答案。濃度は引き算できません。比べるのは食塩の重さです。
答え 120g
第10問5点
連続する3つの奇数があり、その和は141です。3つの奇数を求めなさい。
使う道具まん中を x とおくと、両側は x−2 と x＋2 で、足すと 3x になる。
まん中の奇数を x とすると、3つは x−2、x、x＋2。
(x−2)＋x＋(x＋2)=141 より 3x=141、x=47。
よって 45、47、49。
検算：45＋47＋49=141。
よくある誤答いちばん小さい数を x とおいて x、x＋1、x＋2 とする答案。奇数は2ずつ増えます。
答え 45、47、49
第3節 連立方程式の解き方（第11問〜第15問）
加減法と代入法。どちらが速いかを1秒で選べるようにします。
第11問5点
次の連立方程式を解きなさい。
2x＋3y=13 …① 2x−y=1 …②
使う道具同じ形の項があるので加減法。①−② で x が消える。
①−② を計算します。(2x＋3y)−(2x−y)=13−1 より 4y=12、y=3。
y=3 を②に代入して 2x−3=1、2x=4、x=2。
検算：①に代入すると 4＋9=13。合っています。
よくある誤答①−② のときに右辺を引き忘れる答案。両辺とも引きます。
答え x=2、y=3
第12問5点
次の連立方程式を解きなさい。
y=2x−3 …① 3x＋2y=15 …②
使う道具片方が「y=」の形なので代入法が速い。
①を②に代入します。3x＋2(2x−3)=15。
3x＋4x−6=15 より 7x=21、x=3。
①に戻して y=2×3−3=3。
検算：②に代入すると 9＋6=15。合っています。
答え x=3、y=3
第13問5点
次の連立方程式を解きなさい。
0.2x＋0.3y=1.3 …① x2−y3=0 …②
使う道具小数は10倍、分数は6倍。係数を整数にしてから加減法へ。
①を10倍して 2x＋3y=13 …①′
②を6倍して 3x−2y=0 …②′
①′×2＋②′×3 で y を消します。(4x＋6y)＋(9x−6y)=26＋0 より 13x=26、x=2。
②′に代入して 6−2y=0、y=3。
検算：①に代入すると 0.4＋0.9=1.3。合っています。
よくある誤答②を6倍するときに右辺の 0 を書き忘れて式を崩す答案。右辺が0でも「0」と書いておくと、加減法で混乱しません。
答え x=2、y=3
第14問5点
次の方程式を解きなさい。
x＋2y=3x−y=7
使う道具A=B=C は2本の式に分ける。いちばん扱いやすい組を選ぶ。
x＋2y=7 …① と 3x−y=7 …② に分けます。
②より y=3x−7。これを①に代入して x＋2(3x−7)=7。
x＋6x−14=7 より 7x=21、x=3。
y=3×3−7=2。
検算：3＋4=7、9−2=7。どちらも7になります。
答え x=3、y=2
第15問5点
連立方程式 2x＋ay=8、bx−y=1 の解が x=3、y=2 であるとき、a、b の値を求めなさい。
使う道具解が分かっているので代入して a、b の方程式にする。
x=3、y=2 を1本目に代入して 6＋2a=8、2a=2、a=1。
2本目に代入して 3b−2=1、3b=3、b=1。
検算：2×3＋1×2=8、1×3−2=1。どちらも成り立ちます。
答え a=1、b=1
第4節 連立方程式の利用（第16問〜第20問）
ここが章末の山場です。式が2本必要なときは、「2通りに言える量」が2つあります。
第16問5点
ある動物園の入園料は、大人1人500円、子ども1人300円です。ある日、大人と子ども合わせて24人が入園し、入園料の合計は9200円でした。大人と子どもはそれぞれ何人ですか。
使う道具2通りに言える量が2つ（人数の合計と、代金の合計）。だから式も2本。
大人を x 人、子どもを y 人とします。
人数について x＋y=24 …①
代金について 500x＋300y=9200 …②
②を100でわって 5x＋3y=92 …②′
①×3 は 3x＋3y=72。②′から引くと 2x=20、x=10。
①より y=14。
検算：500×10＋300×14=5000＋4200=9200。
よくある誤答②を100でわるときに右辺だけ忘れる答案。わり算もすべての項に行います。
答え 大人 10人、子ども 14人
第17問5点
36km 離れた2つの地点を、船が川を上るのに3時間、下るのに2時間かかりました。静水時の船の速さと、川の流れの速さを求めなさい。
使う道具上りは（船−流れ）、下りは（船＋流れ）。速さ＝道のり÷時間。
静水時の船の速さを時速 x km、流れの速さを時速 y km とします。
上り x−y=36÷3=12 …①
下り x＋y=36÷2=18 …②
①＋② より 2x=30、x=15。
②に代入して y=3。
検算：上り12km/時で3時間＝36km、下り18km/時で2時間＝36km。
よくある誤答道のりのまま 36=3(x−y) と書いても正しいですが、先に速さに直すほうが式が軽くなります。
答え 船 時速15km、流れ 時速3km
第18問5点
ある中学校の昨年の生徒数は、男女合わせて500人でした。今年は男子が5%増え、女子が4%減ったので、全体では7人増えました。昨年の男子と女子の人数を求めなさい。
使う道具増えた分だけで式を作ると軽い。5%増＝＋0.05x、4%減＝−0.04y。
昨年の男子を x 人、女子を y 人とします。
人数について x＋y=500 …①
増減について 0.05x−0.04y=7 …②
②を100倍して 5x−4y=700 …②′
①より y=500−x。②′に代入して 5x−4(500−x)=700。
5x−2000＋4x=700 より 9x=2700、x=300。
y=200。
検算：男子は315人、女子は192人で合計507人。昨年より7人増えています。
よくある誤答今年の人数そのもので式を立てて 1.05x＋0.96y=507 とするのも正解ですが、増減だけで立てるほうが計算が軽いです。
答え 昨年の男子 300人、女子 200人
第19問5点
6%の食塩水と11%の食塩水を混ぜて、8%の食塩水を500g作ります。それぞれ何g混ぜればよいですか。
使う道具式は2本。「食塩水全体の重さ」と「食塩の重さ」。
6%の食塩水を x g、11%の食塩水を y g とします。
全体の重さ x＋y=500 …①
食塩の重さ 0.06x＋0.11y=500×0.08=40 …②
②を100倍して 6x＋11y=4000 …②′
①より x=500−y。②′に代入して 6(500−y)＋11y=4000。
3000＋5y=4000 より y=200、x=300。
検算：18g＋22g=40g。500gの8%は40gです。
よくある誤答濃度をそのまま足して (6＋11)÷2 のように考える答案。混ぜてよいのは食塩の重さで、濃度は足せません。
答え 6%を300g、11%を200g
第20問5点
2けたの自然数があります。各位の数の和は12で、十の位と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より18大きくなります。もとの数を求めなさい。
使う道具十の位が a、一の位が b の2けたの数は 10a＋b。入れかえた数は 10b＋a。
十の位を a、一の位を b とします。
各位の和について a＋b=12 …①
入れかえた数について 10b＋a=(10a＋b)＋18 …②
②を整理すると 9b−9a=18、すなわち b−a=2 …②′
①＋②′ より 2b=14、b=7。a=5。
もとの数は 10×5＋7=57。
検算：入れかえると75で、75−57=18。合っています。
よくある誤答もとの数を「ab」と書いて a×b と混同する答案。位取りは 10a＋b と必ず書き下します。
答え 57
解き終えた人へ
20題で100点満点です。80点以上なら、この章は仕上がっています。60〜75点なら、落としたのが第2節・第4節（文章題）に集まっていないかを見てください。集まっていれば、原因は計算力ではなく立式の手順です。「x を決める → 2通りに言える量を見つける → ＝で結ぶ」を、解けた問題でもう一度なぞってから解き直します。55点以下なら、第1節と第3節（計算）だけを完璧にしてから戻ってきてください。方程式は、このあとの1次関数・連立不等式・2次方程式のすべての土台です。ここでの手順のあいまいさは、学年が上がるほど大きく響きます。
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体系数学1 代数編 章末テスト 全5章
中1・中2で使う1冊ぶんを、章ごとに20題・100点でそろえました。どの章も45〜60分で通せます。順番どおりでなくてかまいません。今つまずいている章から取ってください。
- 第1章 正の数と負の数 ── 絶対値と大小、計算の順序、基準を決めて表す仮平均
- 第2章 式の計算 ── 項・係数・次数、単項式の乗除、式の値と等式の変形
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- 第5章 1次関数 ── 変化の割合、グラフ、交点と面積
続きの巻は体系数学2 代数編（全6章）。単元から逆引きしたいときは体系数学 全単元つまずき診断辞典から誤答の形で原因をたどれます。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 中2数学の要点辞典：連立方程式 にまとめてあります。
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この章は「つまずき解説」と「章末テスト」の2ページで対になっています。解説で原因を押さえてからテストで確認すると、どこが抜けていたのかがはっきりします。
この章のつまずき解説方程式全30章の並びと、どの章がどこでつまずくのかは体系数学の危険単元マップ、誤答から原因を逆引きするときは体系数学 全単元つまずき診断辞典から。
