体系数学2 幾何編 第1章 図形と相似 章末テスト20題＋オリジナル類題20題｜相似条件から面積比・体積比まで全解説

使う道具長さの比は相似比のまま、面積の比は相似比の2乗。三角形でも五角形でも、この規則は変わりません。

(1)　辺は「長さ」なので比は 4:7 のまま。12 × (7/4) = 21cm。

(2)　周の長さも辺を足したものなので「長さ」。32 × (7/4) = 56cm。

(3)　面積比は 4²:7² = 16:49。48 × (49/16) = 147cm²。

よくある誤答五角形だから規則が変わると思ってしまう答案。2乗・3乗の規則は図形の形に関係なく成り立ちます。三角形で覚えた規則をそのまま使って大丈夫です。

答え　(1) 21cm　(2) 56cm　(3) 147cm²

使う道具相似条件は3つ。3組の辺の比／2組の辺の比とその間の角／2組の角。(2)と(3)の差は「その間の角かどうか」だけです。

(1)　2組の角がそれぞれ等しいので相似といえる（2組の角がそれぞれ等しい）。

(2)　∠B は辺 AB と辺 BC ではさまれた角。比のわかっている2辺の間の角なので相似といえる（2組の辺の比とその間の角が等しい）。

(3)　∠A は辺 AB と辺 AC ではさまれた角で、BC との間の角ではありません。間の角でない以上、条件を満たさず相似とはいえない。

よくある誤答(3) を「2辺の比と1つの角が等しいからOK」としてしまう答案。角が「その間」にあるかどうかを、必ず指で辺をなぞって確かめること。ここは合同条件のときと全く同じ注意点です。

答え　(1) いえる（2組の角がそれぞれ等しい）　(2) いえる（2組の辺の比とその間の角が等しい）　(3) いえない

使う道具共通の角＋等しい1角で相似。ただし対応が「たすきがけ」になる型なので、対応順を先に確定させてから比の式を立てます。

(1)　∠A は共通、∠ADE = ∠ACB。2組の角がそれぞれ等しいので相似。∠A と∠A、∠ADE と∠ACB が対応するから、△ADE ∽ △ACB。

(2)　対応順どおりに AD:AC = AE:AB。4:AC = 5:10 なので 5 × AC = 40、AC = 8cm。

(3)　相似比は AD:AC = 4:8 = 1:2。DE と CB が対応するので、DE:BC = 1:2。

よくある誤答AD:AB = AE:AC と書いてしまう答案。それは DE // BC のときの式です。この問題は DE と BC が平行ではありません。∠ADE = ∠ACB という条件は、D が C に、E が B に対応するという意味です。

答え　(1) △ACB　(2) 8cm　(3) 1:2

使う道具平行線にはさまれて向かい合う2つの三角形（砂時計型）。錯角が2組できるので、いつでも相似になります。

(1)　AB // DC より ∠OAB = ∠OCD（錯角）、∠OBA = ∠ODC（錯角）。2組の角がそれぞれ等しいので、△OCD。

(2)　相似比は AB:CD = 6:9 = 2:3。AO:CO = 2:3 だから 4:OC = 2:3、2 × OC = 12、OC = 6cm。

(3)　同じ相似比が対角線の一方にもそのまま出るので、BO:OD = 2:3。

よくある誤答△OAB ∽ △ODC と書いてしまう答案。A の相手は C、B の相手は D です。頂点の順を間違えると(2)以降の式が全部ずれます。錯角の図を指でなぞって対応を確かめてください。

答え　(1) △OCD　(2) 6cm　(3) 2:3

使う道具直角三角形＋斜辺への垂線は、3つの相似な三角形ができる。この章で一番よく出る型です。図を3枚に描き分けると迷いません。

(1)　∠AHB = ∠CHA = ∠BAC = 90° で、∠B や∠C が共通に使えるので、△HAC と △ABC。つまり △HBA ∽ △HAC ∽ △ABC。

(2)　△HBA ∽ △HAC より HB:HA = HA:HC。よって AH² = BH × CH = 9 × 16 = 144、AH > 0 なので AH = 12cm。

(3)　BC = 9 + 16 = 25cm。△HBA ∽ △ABC より BH:BA = BA:BC。よって AB² = BH × BC = 9 × 25 = 225、AB = 15cm。

よくある誤答AH² = BH × CH を「公式」として丸暗記し、どの2辺だったか思い出せなくなる答案。覚えるのは式ではなく「HB:HA = HA:HC」という対応です。相似の式から毎回作れば間違えません。

答え　(1) △HAC、△ABC　(2) 12cm　(3) 15cm

使う道具表面積は2乗、体積は3乗。表面積は「面積」の仲間なので、立体でも2乗どまりです。

(1)　2²:5² = 4:25。

(2)　2³:5³ = 8:125。

(3)　24 × (125/8) = 375cm³。

よくある誤答立体だからと、表面積まで3乗して 8:125 としてしまう答案。「表面”積”」という字を見れば2乗と判断できます。3乗するのは体積（と容積）だけ。

答え　(1) 4:25　(2) 8:125　(3) 375cm³

使う道具この問題は逆向き。与えられた比からいったん相似比に戻してから、聞かれている量へ進みます。面積比なら平方根、体積比なら3乗根。

(1)　9:49 = 3²:7² なので、相似比は 3:7。

(2)　周の長さは「長さ」なので比は 3:7 のまま。24 × (7/3) = 56cm。

(3)　27:64 = 3³:4³ なので相似比は 3:4。表面積は2乗して 9:16。

よくある誤答(2) で面積比 9:49 をそのまま周の長さに使い、24 × (49/9) としてしまう答案。与えられた比が何の比かを確認し、必ず相似比に戻すのが逆向き問題の鉄則です。

答え　(1) 3:7　(2) 56cm　(3) 9:16

使う道具底面に平行に切ると、切り取られた小さい円錐ともとの円錐は相似。相似比は高さの比で読み取れます。円錐台は「もと − 小」で求めます。

(1)　高さの比がそのまま相似比なので、3:9 = 1:3。

(2)　体積比は 1³:3³ = 1:27。108 × (1/27) = 4cm³。

(3)　円錐台 = もとの円錐 − 小さい円錐 = 108 − 4 = 104cm³。

よくある誤答円錐台の体積比を 1:3 や 1:27 としてしまう答案。円錐台はそれ単体ではどの立体とも相似ではありません。小さい円錐ともとの円錐の体積比が 1:27 なので、円錐台との比は 1:26 になります。必ず引き算で出しましょう。

答え　(1) 1:3　(2) 4cm³　(3) 104cm³

使う道具比が等しい＋間の角が共通 → 相似 → 同位角が等しい → 平行。この流れは「平行を示す」ときの定番ルートです。

(1)　AD:AB = 1:3、AE:AC = 1:3 で等しく、∠A は共通。2組の辺の比とその間の角が等しいので △ADE ∽ △ABC。よって ∠ADE = ∠ABC。同位角が等しいので DE // BC。

(2)　相似比 1:3 より面積比は 1²:3² = 1:9。45 × (1/9) = 5cm²。

(3)　四角形 DBCE = △ABC − △ADE = 45 − 5 = 40cm²。

よくある誤答(2) で相似比 1:3 をそのまま面積比に使い、45 × (1/3) = 15cm² としてしまう答案。面積を聞かれたら必ず2乗。ここを落とす人が本当に多い場所です。

答え　(1) AD:AB = AE:AC = 1:3 で∠A が共通だから △ADE ∽ △ABC。よって∠ADE = ∠ABC となり、同位角が等しいので DE // BC　(2) 5cm²　(3) 40cm²

使う道具縮尺は長さの比。面積を出すときは2乗します。最後に単位をそろえるところまでが問題です。

(1)　長さが 500倍なので、面積は 500² = 250000倍。

(2)　32 × 250000 = 8000000cm²。

(3)　1m = 100cm より 1m² = 100 × 100 = 10000cm²。8000000 ÷ 10000 = 800m²。

よくある誤答1m² = 100cm² と思い込み、80000m² と答えてしまう答案。面積の単位換算も2乗です。長さが100倍なら面積は10000倍。ここは相似比の考え方とまったく同じ理屈だと気づけると、二度と間違えません。

答え　(1) 250000倍　(2) 8000000cm²　(3) 800m²

使う道具DE // BC のとき AD:AB = AE:AC = DE:BC（頂点からの比）と、AD:DB = AE:EC（分けられた比）。この2つは別物なので、どちらを聞かれているかを見極めます。

(1)　AB = AD + DB = 6 + 4 = 10cm。よって AD:AB = 6:10 = 3:5。

(2)　DE:BC = AD:AB = 3:5 だから 9:BC = 3:5。3 × BC = 45、BC = 15cm。

(3)　AE:EC = AD:DB = 3:2。

よくある誤答(2) で DE:BC = AD:DB = 3:2 としてしまう答案。DE と BC は「頂点 A から見た比」で対応します。使うのは 3:5 であって 3:2 ではありません。(1) をわざわざ先に聞いているのは、この取り違えを防ぐためです。

答え　(1) 3:5　(2) 15cm　(3) 3:2

使う道具平行線が切り取る線分の比は等しい。つまり AB:BC = DE:EF。2本の直線がどこで交わっていても、平行でありさえすれば成り立ちます。

(1)　6:9 = 2:3。

(2)　DE:EF = AB:BC = 2:3 だから DE:12 = 2:3。3 × DE = 24、DE = 8cm。

(3)　DF = DE + EF = 8 + 12 = 20cm。

よくある誤答AB:BC = DE:EF ではなく AB:DE = BC:EF と書いてしまう答案。比べるのは「同じ直線の上でとなり合う線分どうし」です。p の上の 6 と 9、q の上の DE と 12。この対応をそろえてから式にしましょう。

答え　(1) 2:3　(2) 8cm　(3) 20cm

使う道具中点連結定理——2辺の中点を結ぶと、残りの辺と平行で、長さは半分。「平行」と「半分」はセットで覚えます。

(1)　MN = BC ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7cm。

(2)　MN // BC（平行）。

(3)　相似比は AM:AB = 1:2 なので、面積比は 1²:2² = 1:4。

よくある誤答(3) を 1:2 としてしまう答案。長さが半分なら面積は4分の1です。△AMN が △ABC の中にどのくらいの大きさで入っているか、図をかいて確かめると納得できます。

答え　(1) 7cm　(2) MN // BC　(3) 1:4

使う道具四角形に対角線を1本ひくと三角形が2つできます。そこで中点連結定理を使うのがこの型の入り口です。

(1)　△ABC で P は AB の中点、Q は BC の中点。中点連結定理より PQ = AC ÷ 2 = 5cm。

(2)　同じく △ACD で SR = AC ÷ 2 = 5cm、SR // AC。PQ // AC でもあるから PQ // SR かつ PQ = SR。1組の対辺が平行で長さが等しいので 平行四辺形。

(3)　もう1本の対角線 BD で考えると、△BCD より QR = BD ÷ 2 = 6cm、△ABD より SP = BD ÷ 2 = 6cm。周の長さは (5 + 6) × 2 = 22cm。

よくある誤答(2) を「ひし形」や「長方形」と答えてしまう答案。もとの四角形 ABCD にどんな条件もついていないので、いえるのは平行四辺形までです。ひし形になるのは AC = BD のとき、長方形になるのは AC ⊥ BD のとき。条件がないなら言い切らないこと。

答え　(1) 5cm　(2) 平行四辺形　(3) 22cm

使う道具台形でも、対角線を1本ひけば三角形が2つできて中点連結定理が使えます。(3) はその考え方を、そのまま途中で止めた形です。

(1)　MN // AD // BC（どちらとも平行）。

(2)　対角線 BD をひくと、△ABD で MP = AD ÷ 2 = 4cm、△BCD で PN = BC ÷ 2 = 7cm。よって MN = 4 + 7 = 11cm。上底と下底の平均 (8 + 14) ÷ 2 = 11 と同じ結果です。

(3)　(2) の途中で出したとおり、△ABD において M は AB の中点、MP // AD だから P は BD の中点。中点連結定理より MP = 4cm。

よくある誤答(2) を「上底と下底の差の半分」と覚えていて (14 − 8) ÷ 2 = 3cm としてしまう答案。台形の中点を結んだ線は「平均」です。公式があやしくなったら、いまのように対角線を1本ひいて中点連結を2回使う——こちらが本筋の解き方です。

答え　(1) MN // AD // BC　(2) 11cm　(3) 4cm

使う道具太陽の光線は平行とみなせます。だから同じ時刻なら、どの物体でも「光線と地面のなす角」が等しくなり、相似な直角三角形が並びます。

(1)　太陽の光線は平行だから、光線と地面のなす角は等しい。また人も木も地面に垂直に立っているので、その角はどちらも 90°。2組の角がそれぞれ等しいので相似。

(2)　高さ:影 = 1.6:2 が木でも成り立つ。1.6:2 = x:10 より 2x = 16、x = 8m。

(3)　1.6:2 = y:5 より 2y = 8、y = 4m。

よくある誤答比の向きを取り違えて 1.6:2 = 10:x としてしまう答案。左辺と右辺で「高さ:影」の順をそろえるのが鉄則です。式を書く前に「高さ:影」と紙の端にメモしておくと事故が減ります。

答え　(1) 太陽の光線は平行なので光線と地面のなす角が等しく、どちらも地面に垂直で 90° が等しい。2組の角がそれぞれ等しいから相似　(2) 8m　(3) 4m

使う道具平行四辺形は平行な辺が2組。延長線が出てきたら、どの辺とどの辺が平行かを書き込んでから同位角・錯角を探します。

(1)　AB // DC だから AB // FC。∠E は共通、∠EBA = ∠ECF（同位角）。2組の角がそれぞれ等しいので △EFC。

(2)　EB = BC + CE = 8 + 4 = 12cm、EC = 4cm。相似比は EB:EC = 12:4 = 3:1。AB:FC = 3:1 だから 6:FC = 3:1、FC = 2cm。

(3)　平行四辺形なので DC = AB = 6cm。DF = DC − FC = 6 − 2 = 4cm。

よくある誤答(2) で相似比を BC:CE = 8:4 = 2:1 としてしまう答案。相似比は頂点 E から測った長さの比なので、使うのは EB = 12 であって BC = 8 ではありません。延長のある図では「どこからどこまで」を必ず図に書き込んでください。

答え　(1) △EFC　(2) 2cm　(3) 4cm

使う道具平行線が何本もあるときは、そのつど頂点 A を含む三角形だけを取り出すのがコツ。台形は「大きい三角形 − 小さい三角形」で求めます。

(1)　AQ:AB = 2:4 = 1:2 なので △AQT ∽ △ABC、相似比 1:2。QT = 16 × (1/2) = 8cm。

(2)　AP:AB = 1:4 なので相似比 1:4、面積比は 1:16。64 × (1/16) = 4cm²。

(3)　△AQT は相似比 1:2、面積比 1:4 なので 64 × (1/4) = 16cm²。台形 PQTS = △AQT − △APS = 16 − 4 = 12cm²。

よくある誤答(3) で台形 PQTS を「△ABC の 4分の1」などと当てずっぽうに出す答案。台形は単独では相似の相手がいません。必ず「頂点 A を含む三角形どうしの引き算」に直してから計算します。

答え　(1) 8cm　(2) 4cm²　(3) 12cm²

使う道具頂点を下にした円錐では、水の部分もまた円錐で、容器全体と相似。相似比は高さの比で読めます。

(1)　8:12 = 2:3。

(2)　体積比は 2³:3³ = 8:27。よって 8/27倍。

(3)　270 × (8/27) = 80cm³。

よくある誤答水の高さが全体の 3分の2 だから、水の量も 3分の2 の 180cm³ と答えてしまう答案。高さの比と体積の比は違います。3分の2 の深さでも、入っている水は 27分の8——つまり3割ほどしかありません。円錐は下が細いので、感覚とずれるところです。

答え　(1) 2:3　(2) 8/27倍　(3) 80cm³

使う道具この章の総まとめ。長さは1乗、面積は2乗、体積は3乗。(3) は小→大と大→小の両方向を1問で聞いています。かける向きに注意。

(1)　3²:5² = 9:25。

(2)　3³:5³ = 27:125。

(3)　Q の体積は P より大きいので 125/27 をかける。54 × (125/27) = 250cm³。P の表面積は Q より小さいので 9/25 をかける。100 × (9/25) = 36cm²。

よくある誤答(3) で向きを取り違え、P の表面積を 100 × (25/9) としてしまう答案。相似比 3:5 の 3 が P、5 が Q。求めるほうの数を分子に置く、と決めておくと迷いません。答えが元より大きくなったか小さくなったかを最後に確かめるだけでも防げます。

答え　(1) 9:25　(2) 27:125　(3) Q の体積 250cm³、P の表面積 36cm²

使う道具長さの比は相似比のまま、面積の比は相似比の2乗。周の長さも「長さ」なので2乗しない。

(1)　6 × (5/3) = 10cm。

(2)　周の長さも長さなので、比は 3:5 のまま。21 × (5/3) = 35cm。

(3)　面積比は 3²:5² = 9:25。18 × (25/9) = 50cm²。

よくある誤答(2) で周の長さを2乗して 21×(25/9) とする答案。周は「長さ」を足したものなので、比は相似比と同じです。2乗するのは面積だけ。

答え　(1) 10cm　(2) 35cm　(3) 50cm²

使う道具相似条件は3組の辺の比／2組の辺の比とその間の角／2組の角。どれか1つが言えればよい。

(1)　6÷3=2、8÷4=2、10÷5=2。3組の辺の比がすべて等しいので相似です。相似比は 1:2。

(2)　1つ目は 3:4:5 なので直角三角形。角は 90°、約37°、約53°。

2つ目は直角二等辺三角形なので、角は 90°、45°、45°。

直角は共通ですが、残りの角が一致しません。相似ではありません。

よくある誤答(2) を「どちらも直角三角形だから相似」とする答案。直角が1つ等しいだけでは足りません。相似には「2組の角」が必要です。

答え　(1) 相似（3組の辺の比が等しい）　(2) 相似でない

使う道具DE // BC なら △ADE ∽ △ABC。相似比は AD:AB であって、AD:DB ではないことに注意。

(1)　平行線があるので比が移ります。AE:EC = AD:DB = 2:3。

(2)　△ADE と △ABC の相似比を考えます。AD:AB = 2:(2+3) = 2:5。

DE と BC は対応する辺なので DE:BC = 2:5。

(3)　DE = 15 × (2/5) = 6cm。

よくある誤答(2) を「2:3」とする答案。DE と BC の比は AD:AB（全体との比）です。AD:DB は「分けられた2つの部分の比」で、別のものです。図に AB 全体を 5 と書きこむと防げます。

答え　(1) 2:3　(2) 2:5　(3) 6cm

使う道具中点連結定理：2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分。

(1)　MN // BC で、MN = (1/2)BC。

（△AMN と △ABC は相似比 1:2 で相似だからです。中点連結定理は、相似の特別な場合です。）

(2)　MN = 15 ÷ 2 = 7.5cm。

(3)　四角形 ABCD の対角線 AC を引くと、△ABC と △ACD それぞれで中点連結定理が使えます。

2つの中点を結ぶ線分は、どちらも AC に平行で長さは AC の半分。

BD についても同じことが言えるので、向かい合う辺が平行で長さが等しくなり、平行四辺形になります。

よくある誤答(3) を「もとの四角形と相似な四角形」とする答案。もとの四角形の形によらず、いつでも平行四辺形です。ひし形や正方形になるのは、対角線に条件がついたときだけ。

答え　(1) MN // BC で MN=(1/2)BC　(2) 7.5cm　(3) 平行四辺形

使う道具直角三角形に斜辺への垂線を引くと、3つの相似な三角形ができる。対応する頂点の順を、直角の位置でそろえて書く。

(1)　△ACH と △CBH。

△ACH は ∠A が共通で ∠AHC=90°=∠ACB なので △ABC と相似。

△CBH は ∠B が共通で ∠BHC=90°=∠BCA なので △ABC と相似。

(2)　△ABC ∽ △ACH より AB:AC = AC:AH。

13:5 = 5:AH　より　13×AH = 25、AH = 25/13 cm。

(3)　△ABC ∽ △ACH より AB:AC = BC:CH。

13:5 = 12:CH　より　13×CH = 60、CH = 60/13 cm。

確かめ　BH = 13 − 25/13 = 144/13。

CH² = (60/13)² = 3600/169、AH×BH = (25/13)×(144/13) = 3600/169。一致します。

よくある誤答(1) で「△AHC と △ABC」のように対応の順を無視して書く答案。△ABC ∽ △ACH では、A↔A、B↔C、C↔H が対応します。順番が違うと (2)(3) の比がすべて狂います。

答え　(1) △ACH と △CBH　(2) 25/13 cm　(3) 60/13 cm

使う道具面積比は相似比の2乗。2²:3² = 4:9。

面積比は 2²:3² = 4:9。

12 × (9/4) = 27cm²。

確かめ　底辺 4・高さ 3 の三角形（面積 6）を 1.5倍すると、底辺 6・高さ 4.5 で面積 13.5。13.5 ÷ 6 = 2.25 = (3/2)²。合っています。

よくある誤答相似比をそのままかけて 12×(3/2)=18 とする答案。面積は「たて×よこ」なので、両方が 3/2 倍になります。だから (3/2)² 倍です。

答え　27cm²

使う道具表面積は「面積」なので2乗、体積は3乗。単位 cm² と cm³ の右上の数字がそのまま何乗かを表す。

(1)　2²:3² = 4:9。

(2)　2³:3³ = 8:27。

(3)　40 × (27/8) = 135cm³。

確かめ　1辺 2 の立方体は体積 8、1辺 3 なら 27。確かに 8:27 です。

よくある誤答表面積も3乗してしまう答案。表面積は「面」の面積を足したものなので2乗です。「表」の字につられないこと。

答え　(1) 4:9　(2) 8:27　(3) 135cm³

使う道具底面に平行に切ると、上の錐はもとの錐と相似。高さの中点で切れば相似比 1:2。

もとの体積は (1/3)×36×9 = 108cm³。

(1)　上の錐はもとの錐と相似比 1:2 で相似。

体積比は 1³:2³ = 1:8 なので、108 × (1/8) = 13.5cm³。

(2)　108 − 13.5 = 94.5cm³。

(3)　13.5 : 94.5 = 1:7。

確かめ　上の錐は底面積 36÷4=9、高さ 4.5。(1/3)×9×4.5 = 13.5。一致します。

よくある誤答(3) を「1:8」とする答案。1:8 は「上の錐ともとの錐全体」の比です。下の立体は 8−1=7 にあたるので、上と下は 1:7。「何と何を比べているか」を毎回書き出すこと。

答え　(1) 13.5cm³　(2) 94.5cm³　(3) 1:7

使う道具縮尺は「長さ」の比。面積は2乗になる。先に長さを m に直してから2乗すると、けた数を間違えない。

(1)　地図上 1cm は実際 500cm = 5m。

7.2 × 5 = 36m。

(2)　地図上 1cm² は、実際には 5m 四方の正方形。

5 × 5 = 25m²。

4 × 25 = 100m²。

よくある誤答(2) で 500² = 250000 をかけてから単位を直そうとして、けたを間違える答案。先に 1cm が何 m かを出してから2乗する。この順番だけで事故が減ります。

答え　(1) 36m　(2) 100m²

使う道具対応する辺は、記号の順。AB↔DE、BC↔EF、CA↔FD。

相似比は AB:DE = 6:9 = 2:3。

(1)　EF = 8 × (3/2) = 12cm、FD = 10 × (3/2) = 15cm。

(2)　6:8:10 は 3:4:5 の2倍なので、△ABC は直角三角形（∠B=90°）。

△ABC = (1/2)×6×8 = 24cm²。

△DEF = (1/2)×9×12 = 54cm²。

確かめ　24:54 = 4:9 = 2²:3²。面積比と合っています。

よくある誤答対応を無視して EF に 10 を対応させる答案。△ABC ∽ △DEF なら、BC の相手は EF。記号の並び順が対応を表しています。

答え　(1) EF=12cm、FD=15cm　(2) 24cm² と 54cm²

使う道具平行線が切り取る線分の比は等しい。まず比を約分してから使う。

6:9 = 2:3 です。

対応する線分も 2:3 になるので、4:x = 2:3。

2x = 12 より x = 6cm。

確かめ　4:6 = 2:3。合っています。

よくある誤答6:9 を約分せずに 4:x = 6:9 として 6x=36、x=6 と出す——これは結果は同じですが、数が大きいと計算ミスが増えます。比は先に約分するのが安全です。

答え　6cm

使う道具角の二等分線は、向かい合う辺をとなりの2辺の比に分ける。BD:DC = AB:AC。

BD:DC = AB:AC = 8:6 = 4:3。

BC = 7cm を 4:3 に分けるので、

BD = 7 × (4/7) = 4cm、DC = 7 × (3/7) = 3cm。

確かめ　4+3 = 7 で、BC と一致します。

よくある誤答BD:DC を AC:AB（逆）にする答案。B に近いほうの辺は ABなので、BD が AB に対応します。図に「B側は AB=8」と書きこむと防げます。

答え　BD=4cm、DC=3cm

使う道具台形の中点連結定理：MN = (AD+BC)÷2。対角線を引いて、三角形2つの中点連結に分けると導ける。

対角線 BD を引き、その中点を P とします。

△ABD で中点連結定理より MP = (1/2)AD = 3cm、MP // AD。

△BCD で中点連結定理より PN = (1/2)BC = 7cm、PN // BC。

AD // BC なので M、P、N は一直線上にあります。

MN = 3 + 7 = 10cm。

（公式では MN = (6+14)÷2 = 10cm。同じ結果です。）

よくある誤答公式を「(BC−AD)÷2」と覚えてしまう答案。平均なので足して2で割ります。AD=BC のとき（平行四辺形）に MN=AD になるか、で確かめられます。

答え　10cm

使う道具高さが共通なら、面積比は底辺の比。A から BC への高さは、どちらの三角形でも同じ。

△ABD と △ADC は、A から BC に下ろした高さが共通です。

底辺が BD:DC = 2:3 なので、面積比も 2:3。

△ABC は2つを合わせたものなので、△ABD : △ABC = 2 : (2+3) = 2:5。

つまり △ABD は △ABC の 2/5 倍。

よくある誤答「相似だから2乗」と考えて 4:9 とする答案。この2つは相似ではありません。高さが共通なだけです。相似なのか、高さが共通なのかを先に見分けてください。

答え　面積比 2:3、△ABC の 2/5 倍

使う道具まず △ADE と △ABC の面積比を出す。台形はその差。

相似比は AD:AB = 1:(1+2) = 1:3。

面積比は 1²:3² = 1:9。

つまり △ADE を 1 とすると △ABC は 9。

台形 DBCE = 9 − 1 = 8。

△ADE : 台形DBCE = 1:8。

よくある誤答「1:9」で答えてしまう答案。聞かれているのは台形との比です。三角形どうしの比（1:9）と、三角形と台形の比（1:8）を取り違えないこと。

答え　1:8

使う道具共通の角＋その角をはさむ2辺の比が相似条件。対応の順に気をつけて記号を書く。

(1)　△ADE と △ACB において、

∠A は共通（∠DAE = ∠CAB）。

AD:AC = 3:5、AE:AB = 3:5 なので、2組の辺の比とその間の角が等しい。

よって △ADE ∽ △ACB。

(2)　相似比が 3:5 なので DE:CB = 3:5。

(3)　面積比は 3²:5² = 9:25。

よくある誤答(1) で「△ADE ∽ △ABC」と書く答案。D は AC 上、E は AB 上なので、D の相手は C、E の相手は B です。順番を入れかえると (2) の答えが 3:5 でなくなります。

答え　(1) 2組の辺の比とその間の角が等しい　(2) 3:5　(3) 9:25

使う道具平行四辺形では AB // DC。平行線があれば相似が見つかる。

AB // DC（平行四辺形の向かい合う辺）なので、AB // FC です。

△ABE と △FCE において、

∠E は共通、AB // FC より ∠BAE = ∠CFE。

よって 2組の角が等しく、△ABE ∽ △FCE。

相似比は BE:CE = (8+4):4 = 12:4 = 3:1。

AB:FC = 3:1 なので、FC = 5 × (1/3) = 5/3 cm。

よくある誤答相似比を BC:CE = 8:4 = 2:1 とする答案。対応するのは BE（=BC+CE）と CE です。△ABE の辺は BE であって BC ではありません。図に E までの全体の長さを書きこむこと。

答え　FC = 5/3 cm

使う道具MN を結ぶと中点連結定理が使える。MN // AB で MN = (1/2)AB。

(3) から考えます。M と N を結びます。

中点連結定理より MN // AB、MN = (1/2)AB。

△GAB と △GMN において、MN // AB なので2組の角が等しく相似。

相似比は AB:MN = 2:1。

(1)　対応する辺なので AG:GM = 2:1。

(2)　G は3本の中線が交わる点で、重心とよばれます。

確かめ　座標で A(0,0)、B(12,0)、C(3,9) とすると、重心は ((0+12+3)/3, (0+0+9)/3) = (5, 3)。

M(7.5, 4.5) なので AG:GM = 2:1 を満たします。

よくある誤答「重心」と答えて理由を書かない答案。2:1 になる理由は中点連結定理です。中線を2本引いて MN を結ぶ、という補助線が出発点。

答え　(1) 2:1　(2) 重心　(3) MN//AB、MN=(1/2)AB より△GAB ∽ △GMN（相似比 2:1）

使う道具太陽光は平行なので、人と木で相似な直角三角形ができる。

(1)　人：影 = 1.5:2 = 3:4。

木の高さを x とすると x:12 = 3:4。

4x = 36 より x = 9m。

(2)　時刻が変わると太陽の高さ（光の角度）が変わるので、影の長さと高さの比も変わってしまいます。

同じ時刻なら光の向きが同じで、できる直角三角形が相似になるから比が使えるのです。

よくある誤答(2) を「明るさが違うから」とする答案。問題は角度です。夕方は影が長く伸びる——この観察が理由そのものです。

答え　(1) 9m　(2) 太陽の光の角度が同じで、相似な三角形ができるから

使う道具座標に置くと確実。A を原点、B と D を基準にとると、C は B+D の位置。

A を原点として、AB を b、AD を d と見ます。

C は b+d の位置、M は b/2、N は d/3。

P は直線 MN 上にあるので、P = (1−t)×(b/2) + t×(d/3) と書けます。

また P は直線 AC 上にあるので、P = s(b+d) とも書けます。

b と d の係数を比べます。

(1−t)/2 = s　……①

t/3 = s　……②

②より t = 3s。①に代入して (1−3s)/2 = s。

1−3s = 2s より s = 1/5。

P = (1/5)(b+d) = (1/5)AC なので、AP:PC = 1:4。

確かめ　A(0,0)、B(12,0)、D(3,9) とすると C(15,9)。

M(6,0)、N(1,3)。直線 MN と AC の交点は (3, 1.8)。

AC の 1/5 の位置です。

よくある誤答「MN が対角線を1:2に分ける」と見た目で決める答案。図の目分量では決まりません。座標かベクトルで、2通りの表し方を係数比較するのが確実です。

答え　AP:PC = 1:4