体系数学3 数式・関数編 第2章 複素数と方程式 章末テスト20題｜剰余の定理と組立除法

使う道具道具1

(1) 実部どうし、虚部どうしを足す。

(3+1) + (2−4)i ＝ 4−2i。

(2) (3−1) + (2−(−4))i ＝ 2+6i。

(3) 展開する。

(3+2i)(1−4i) ＝ 3 − 12i + 2i − 8i²。

i² ＝ −1 なので −8i² ＝ +8。

3 + 8 − 10i ＝ 11−10i。

(4) 分母の共役 1+4i を分母分子にかける。

(3+2i)(1+4i)(1−4i)(1+4i)。

分母 ＝ 1+16 ＝ 17。

分子 ＝ 3+12i+2i+8i² ＝ 3−8+14i ＝ −5+14i。

−5+14i17。

よくある誤答(4)で分母の共役を使う。(1−4i)(1+4i) ＝ 1−16i² ＝ 1+16 ＝ 17。和と差の積の形なので、必ず実数になる。分母を実数にすることを「分母の実数化」という。（分母の有理化と同じ考え方。）

答え　(1) 4−2i／(2) 2+6i／(3) 11−10i／(4) −5+14i17

使う道具道具1

(1) 虚部の符号を変える。z̄ ＝ 2+5i。

(2) z+z̄ ＝ (2−5i)+(2+5i) ＝ 4。

虚部が打ち消し合って実数になる。

z z̄ ＝ (2−5i)(2+5i) ＝ 4 − 25i² ＝ 4+25 ＝ 29。

これも実数。（＝ 2²+5²）

(3) z−z̄ ＝ (2−5i)−(2+5i) ＝ −10i。

実部が消えるので純虚数になる。

よくある誤答z z̄ ＝ a²+b² は必ず0以上の実数である。（これが |z|² にあたる。）この性質があるから、分母の実数化ができる。また z+z̄ ＝ 2a、z−z̄ ＝ 2bi と、実部と虚部を取り出す道具にもなる。

答え　(1) 2+5i／(2) z+z̄＝4、z z̄＝29（どちらも実数）／(3) −10i（純虚数）

使う道具道具1

複素数の相等は、実部と虚部を別々に比べる。

実部：a+2 ＝ 5 より a ＝ 3。

虚部：b−3 ＝ −1 より b ＝ 2。

確かめ。a＝3、b＝2 を代入すると

(3+2) + (2−3)i ＝ 5 − i。○

よくある誤答a、b が実数であることが前提である。もし a、b が複素数なら、実部・虚部に分けて比べることができない。問題文の「実数 a、b について」という一言が、この解法を使ってよい根拠になっている。答案でも「a、b は実数だから」と書くこと。

答え　a ＝ 3、b ＝ 2

使う道具道具1

(1) (1+i)² ＝ 1 + 2i + i² ＝ 1 + 2i − 1 ＝ 2i。

(2) (1+i)⁴ ＝ {(1+i)²}² ＝ (2i)² ＝ 4i² ＝ −4。

(3) i の累乗は4つで循環する。

i¹ ＝ i、i² ＝ −1、i³ ＝ −i、i⁴ ＝ 1。

100 ÷ 4 ＝ 25 あまり 0 なので、i¹⁰⁰ ＝ (i⁴)²⁵ ＝ 1。

よくある誤答(2)を最初から4乗展開しない。2乗の結果を2乗するほうが圧倒的に速い。(3)は指数を4で割った余りを見る。余り0なら1、1なら i、2なら −1、3なら −i。この循環は、複素数平面（数C）で90°ずつの回転として意味づけられる。

答え　(1) 2i／(2) −4／(3) 1

使う道具道具2

D ＝ b²−4ac で判定する。

(1) D ＝ 25 − 24 ＝ 1 ＞ 0。

異なる2つの実数解。（実際 x＝2、3）

(2) D ＝ 16 − 16 ＝ 0。

重解。（実際 x＝2）

(3) D ＝ 1 − 4 ＝ −3 ＜ 0。

実数解なし（異なる2つの虚数解）。

（解の公式で x ＝ −1±√3 i2。）

よくある誤答(3)を「解なし」で終えない。実数の範囲では解なし、複素数まで広げれば解は2つ。数IIでは複素数を扱うので、「異なる2つの虚数解をもつ」と答えるのが正確である。（数Iの範囲では「実数解なし」でよい。）

答え　(1) 異なる2つの実数解／(2) 重解／(3) 異なる2つの虚数解

使う道具道具2

D ＝ 36 − 4k。

(1) 重解は D ＝ 0 のとき。36−4k ＝ 0 より k ＝ 9。

そのとき x²−6x+9 ＝ (x−3)² ＝ 0 で x ＝ 3。

(2) D ＞ 0 より 36−4k ＞ 0、k ＜ 9。

(3) D ＜ 0 より k ＞ 9。

確かめ。k＝8 なら x²−6x+8 ＝ (x−2)(x−4) で実数解2つ。○

k＝10 なら D ＝ −4 で虚数解。○

よくある誤答不等式を解くとき −4k の符号に注意する。36−4k ＞ 0 → −4k ＞ −36 → 負の数で割るので向きが変わって k ＜ 9。ここで向きを間違えると、答えが正反対になる。不安なら k＝0 を入れて確かめる（D＝36＞0 で2実解）。

答え　(1) k＝9、解は x＝3／(2) k＜9／(3) k＞9

使う道具道具3

解と係数の関係より

(1) α+β ＝ 5。（−ba ＝ 5）

(2) αβ ＝ 3。（ca ＝ 3）

(3) α²+β² ＝ (α+β)² − 2αβ

＝ 25 − 6 ＝ 19。

(4) 1α+1β ＝ α+βαβ ＝ 53。

解を求めずに計算できるのがこの関係の利点。

（実際の解は 5±√132 で扱いにくい。）

よくある誤答(3)で α²+β² ＝ (α+β)² としない。2αβ を引くのを忘れない。(α+β)² ＝ α²+2αβ+β² なので、α²+β² を出すには 2αβ を引く。この変形は「対称式を和と積で表す」というこの単元の核心である。

答え　(1) 5／(2) 3／(3) 19／(4) 53

使う道具道具3

(1) 和は 3+(−2) ＝ 1、積は 3×(−2) ＝ −6。

x² − 1x + (−6) ＝ 0、つまり x²−x−6 ＝ 0。

（(x−3)(x+2) ＝ 0 を展開しても同じ。）

(2) 和は (1+2i)+(1−2i) ＝ 2（実数）。

積は (1+2i)(1−2i) ＝ 1 − 4i² ＝ 1+4 ＝ 5（実数）。

x²−2x+5 ＝ 0。

理由：2つの解が共役なので、和では虚部が打ち消し合い、積は a²+b² の形になって、どちらも実数になる。

だから係数（和と積で決まる）も実数になる。

よくある誤答x² − (和)x + (積) ＝ 0 の形。和の前がマイナスである。(1)なら x² − 1x − 6。符号を間違えると解が変わる。作ったら必ず解を代入して確かめること。

答え　(1) x²−x−6＝0／(2) x²−2x+5＝0。共役な2解は和も積も実数になるため

使う道具道具2

実数係数なので、虚数解は共役の対で現れる。

よってもう1つの解は 1−i。

和は (1+i)+(1−i) ＝ 2。

解と係数の関係より −a ＝ 2、a ＝ −2。

積は (1+i)(1−i) ＝ 1−i² ＝ 2。

b ＝ 2。

方程式は x²−2x+2 ＝ 0。

確かめ。1+i を代入すると

(1+i)² − 2(1+i) + 2 ＝ 2i − 2 − 2i + 2 ＝ 0。○

よくある誤答「実数を係数にもつ」という条件が決定的である。これがあるから、もう1つの解が共役だと言える。（係数が複素数でよいなら、もう1つの解は何でもあり得る。）答案では「係数が実数だから、共役 1−i も解」と根拠を書くこと。

答え　a ＝ −2、b ＝ 2、もう1つの解は 1−i

使う道具道具2

(1) x＝1 を代入すると 1−1+1−1 ＝ 0。x−1 で割り切れる。

x³−x²+x−1 ＝ (x−1)(x²+1)。

x²+1 ＝ 0 より x ＝ ±i。

解は 1、i、−i。

(2) 実数解 1個、虚数解 2個。

(3) 実数係数なら、虚数解は必ず共役の対で現れる。

つまり虚数解の個数は必ず偶数。

3次方程式の解は全部で3個なので、虚数解が0個か2個。どちらの場合も実数解が少なくとも1つ残る。

よくある誤答(3)は「グラフが必ず x軸と交わるから」でもよい（3次関数は x→±∞ で y→±∞ になるため）。どちらの説明でも正しいが、「虚数解は偶数個」という論法のほうが5次・7次でもそのまま使える。（奇数次の実数係数方程式は必ず実数解をもつ。）

答え　(1) 1、i、−i／(2) 実数解1個、虚数解2個／(3) 虚数解は共役の対で偶数個なので、奇数次では実数解が残る

使う道具道具4

(1) 剰余の定理より、余りは P(2)。

P(2) ＝ 8 − 8 + 6 − 5 ＝ 1。

(2) x+1 ＝ x−(−1) なので、余りは P(−1)。

P(−1) ＝ −1 − 2 − 3 − 5 ＝ −11。

(3) 理由：P(x) を x−a で割った商を Q(x)、余りを r とすると

P(x) ＝ (x−a)Q(x) + r。

ここに x＝a を代入すると、(a−a)Q(a) ＝ 0 なので P(a) ＝ r。

つまり余りは P(a) に等しい。

よくある誤答(2)で x+1 は x−(−1) と読む。P(1) としてしまう誤りが多い。「割る式を 0 にする値」を代入すると覚えるとよい。x+1 ＝ 0 なら x ＝ −1。x−2 ＝ 0 なら x ＝ 2。この読み方なら間違えない。

答え　(1) 1／(2) −11／(3) P(x)＝(x−a)Q(x)+r に x＝a を代入すると P(a)＝r になるため

使う道具道具4

定数項 −6 の約数を候補にする。

±1、±2、±3、±6。

P(1) ＝ 1 − 6 + 11 − 6 ＝ 0。見つかった。

因数定理より x−1 で割り切れる。

組立除法で割ると、商は x²−5x+6。

x³−6x²+11x−6 ＝ (x−1)(x²−5x+6)。

さらに x²−5x+6 ＝ (x−2)(x−3)。

(x−1)(x−2)(x−3)。

解は x ＝ 1、2、3。

確かめ。3解の和は 6（＝ x² の係数の符号を変えたもの）。○

3解の積は 6（＝ 定数項の符号を変えたもの）。○

よくある誤答候補を定数項の約数に絞ること。やみくもに代入しない。（理由は道具4のとおり、整数解 α があれば α は定数項を割り切る。）また、1つ見つけたら必ず割って次数を下げる。2次まで下がれば、あとは因数分解か解の公式で終わる。

答え　(x−1)(x−2)(x−3)／解は x ＝ 1、2、3

使う道具道具5

係数を並べる：2、−3、4、−5。

最初の 2 を下ろす。

2 × 2 ＝ 4 を次に足す：−3 + 4 ＝ 1。

1 × 2 ＝ 2 を次に足す：4 + 2 ＝ 6。

6 × 2 ＝ 12 を次に足す：−5 + 12 ＝ 7。

出た数は 2、1、6、7。

最後の 7 が余り、残りが商の係数。

商は 2x²+x+6、余りは 7。

剰余の定理で確認：

P(2) ＝ 2×8 − 3×4 + 4×2 − 5 ＝ 16 − 12 + 8 − 5 ＝ 7。○

よくある誤答組立除法で使う数は a（＝2） であって−2 ではない。（x−2 で割るなら 2 を使う。x+2 なら −2。）また、欠けている次数には 0 を入れる。x³−7x+6 なら 1、0、−7、6 と並べる。これを忘れると全部ずれる。

答え　商 2x²+x+6、余り 7（P(2)＝7 と一致）

使う道具道具4

剰余の定理より、

P(1) ＝ 4：1 + a + b ＝ 4 …①

P(−2) ＝ −5：−8 − 2a + b ＝ −5 …②

①より a + b ＝ 3。

②より −2a + b ＝ 3。

辺々引くと 3a ＝ 0、a ＝ 0。

①に代入して b ＝ 3。

確かめ。P(x) ＝ x³+3 とすると

P(1) ＝ 1+3 ＝ 4。○　P(−2) ＝ −8+3 ＝ −5。○

よくある誤答P(−2) の計算で (−2)³ ＝ −8。符号を落とさない。また a の項は a×(−2) ＝ −2a。負の値を代入するときは、必ずかっこを付けて書く。暗算で進めると、この2か所で必ず事故が起きる。

答え　a ＝ 0、b ＝ 3

使う道具道具4

2次式で割った余りは1次以下なので、余りを ax+b と置く。

P(x) ＝ (x−1)(x−2)Q(x) + ax + b。

x＝1 を代入：P(1) ＝ a + b ＝ 3 …①

（(1−1)(1−2)Q(1) ＝ 0 になる。）

x＝2 を代入：P(2) ＝ 2a + b ＝ 5 …②

②−① より a ＝ 2。

①に代入して b ＝ 1。

余りは 2x+1。

確かめ。x＝1 で 3、x＝2 で 5。○

よくある誤答余りの次数は、割る式より低い。2次式で割ったら余りは1次以下なので ax+b。（定数と決めつけて b だけにすると解けない。）また、代入すると (x−1)(x−2)Q(x) の部分が0 になって消えるのがこの解法の要点。Q(x) が分からなくても答えが出る。

答え　2x+1

使う道具道具4

定数項 6 の約数 ±1、±2、±3、±6 を試す。

P(1) ＝ 1 − 7 + 6 ＝ 0。

x−1 で割る。x² の項が無いので、係数は 1、0、−7、6。

組立除法（a＝1）：

1 を下ろす → 0+1 ＝ 1 → −7+1 ＝ −6 → 6+(−6) ＝ 0。

商は x²+x−6、余りは 0。

x³−7x+6 ＝ (x−1)(x²+x−6) ＝ (x−1)(x+3)(x−2)。

解は x ＝ −3、1、2。

確かめ。3解の和は 0（x² の係数が0だから）。○

3解の積は −6 …ではなく、(−3)×1×2 ＝ −6。定数項6の符号を変えたもの。○

よくある誤答x² の項が無いので 0 を入れる。1、−7、6 の3つで組立除法をすると、次数がずれて答えが出ない。4次なら5個、3次なら4個の係数を並べる。個数を数えてから始めると、この事故を防げる。

答え　x ＝ −3、1、2

使う道具道具4

x³ − 1 ＝ 0 と移項する。

因数分解の公式 a³−b³ ＝ (a−b)(a²+ab+b²) を使う。

(x−1)(x²+x+1) ＝ 0。

（P(1) ＝ 0 から因数定理で割ってもよい。）

x−1 ＝ 0 より x ＝ 1。

x²+x+1 ＝ 0 は判別式 1−4 ＝ −3 ＜ 0 なので虚数解。

解の公式より x ＝ −1±√3 i2。

答えは 1、−1+√3 i2、−1−√3 i2 の3つ。

（これを「1の3乗根」という。）

よくある誤答「x³ ＝ 1 だから x ＝ 1」で終えない。3次方程式の解は3つある。（実数の範囲では1つだが、複素数まで含めると3つ。）2つの虚数解は互いに共役になっている。これは実数係数の方程式の性質どおりである。

答え　x ＝ 1、−1+√3 i2、−1−√3 i2

使う道具道具4

x² ＝ t と置く（複2次式）。

t² − 5t + 4 ＝ 0。

(t−1)(t−4) ＝ 0 より t ＝ 1、4。

t を x にもどす。

x² ＝ 1 より x ＝ ±1。

x² ＝ 4 より x ＝ ±2。

解は x ＝ −2、−1、1、2 の4つ。

確かめ。因数分解すると(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)。展開すると x⁴−5x²+4。○

よくある誤答t の値で終わらない。聞かれているのは x である。t ＝ 1、4 は途中経過にすぎない。また、1つの t から x が2つ出るので、解は全部で4つになる。（t が負なら x は虚数になる。その場合も解は2つ出る。）

答え　x ＝ −2、−1、1、2

使う道具道具3

3次方程式 x³+px²+qx+r ＝ 0 の解と係数の関係より

(1) α+β+γ ＝ −p ＝ 6。

(2) αβ+βγ+γα ＝ q ＝ 11。

(3) αβγ ＝ −r ＝ 6。

確かめ。実際の解は 1、2、3。

和は 1+2+3 ＝ 6。○

2つずつの積の和は 1×2 + 2×3 + 3×1 ＝ 2+6+3 ＝ 11。○

積は 1×2×3 ＝ 6。○

よくある誤答符号が交互に変わるのがこの関係の特徴。和は −p、2つずつの積の和は +q、3つの積は −r。2次のとき（和 −b、積 +c）と同じ規則である。「次数が上がるごとに符号が反転」と覚える。不安なら、この問題のように実際の解で確かめるとよい。

答え　(1) 6／(2) 11／(3) 6

使う道具道具3

(1) 実数係数なので、共役 1−i も解。

3つ目の解を r とする。

解と係数の関係より、3解の積は −6（定数項6の符号を変えたもの）。

(1+i)(1−i) × r ＝ −6。

(1+i)(1−i) ＝ 2 なので 2r ＝ −6、r ＝ −3。

他の2解は 1−i と −3。

(2) 3解の和は −a。

(1+i) + (1−i) + (−3) ＝ 2 − 3 ＝ −1。

−a ＝ −1 より a ＝ 1。

2つずつの積の和は b。

(1+i)(1−i) + (1−i)(−3) + (−3)(1+i)

＝ 2 + (−3+3i) + (−3−3i) ＝ 2 − 6 ＝ −4。

b ＝ −4。

確かめ。x³+x²−4x+6 に 1+i を代入すると 0 になる。○

よくある誤答3つ目の解を、定数項から先に求めるのが速い。（積が分かっているので、割り算1回で出る。）和から求めようとすると a が未知のままで進めない。「分かっている関係から使う」のが手順。この問題では積（定数項）だけが a、b を含まない。

答え　(1) 1−i と −3／(2) a ＝ 1、b ＝ −4