中３数学｜二次方程式の解き方 平方根・因数分解・解の公式【中3】（無料問題PDF）

解説

x の2乗が出てくる方程式です。

ax² + bx + c = 0　（a ≠ 0）

解くときのいちばん最初の作業は、右辺を0にすることです。

x² = 3x + 4　→　x² − 3x − 4 = 0

この形に直さないと、因数分解も解の公式も使えません。

a ≠ 0 が条件です。a＝0 だと x² が消えて一次方程式になります。

解説

2乗して9になる数は、3 と −3 の2つあります。

x = ±3

グラフで見ると、y＝x² と y＝9 が2点で交わっていることにあたります。

x＝3 だけ答えて −3 を落とすのが、この単元で最初につまずくところです。

√ を使って書くときも同じで、

x² = 5　→　x = ±√5

と、必ず ± をつけてください。

解説

代入して左辺が0になるかを見ます。

x = 2 のとき　2² − 5×2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0　（○）x = 3 のとき　3² − 5×3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0　（○）

どちらも 0 になったので、2つとも解です。

この確かめ算を必ずやってください。二次方程式は符号のミスが起きやすく、検算なしでは気づけません。

とくに負の数を代入するときは、(−4)² ＝ 16 のようにかっこをつけて計算します。

解説

2つの数をかけて0になるのは、少なくとも一方が0のときだけです。

AB = 0　ならば　A = 0 または B = 0

だから、

x − 2 = 0　または　x − 3 = 0x = 2　または　x = 3

これが因数分解で解ける理由のすべてです。

注意：(x−2)(x−3) ＝ 6 のときに x−2＝6 とはできません。0 のときだけ使える性質です。右辺を0にしてから因数分解してください。

解説

右辺のものを、すべて左辺へ移項します。

x² = 4x − 3x² − 4x + 3 = 0

移項したら符号が変わることに注意してください。−3 を移項すると ＋3 になります。

この形にしてはじめて、因数分解や解の公式が使えます。

x² の係数が負のときは、全体に −1 をかけて正にしておくと、そのあとの計算が楽になります。

解説

x² だけの形に整理します。

2x² = 18x² = 9x = ±3

よって x ＝ 3、−3 です。

両辺を2で割るのを忘れないでください。2x²＝18 のまま √ を取ることはできません。

x² の係数を1にしてから、平方根を取ります。

解説

x² = 5x = ±√5

よって x ＝ ±√5 です。

√5 は割り切れないので、そのまま答えます。2.236… と小数にする必要はありません。

√ の中が平方数のときだけ整数になります。√9＝3 のように簡単にできないか、必ず確かめてください。

平方根の計算そのものは 平方根 にまとめてあります。

解説

かっこの中をひとかたまりと見て、平方根を取ります。

x − 4 = ±√7x = 4 ± √7

よって x ＝ 4 ± √7 です。

展開してはいけません。(x−4)² を x²−8x+16 に展開すると、かえって遠回りになります。

(　)² ＝ 数 の形を見たら、そのままルートを取る——これがいちばん速い解き方です。

解説

図で見ると分かりやすくなります。

1辺 x の正方形と、3×x の長方形2つを合わせても、右上の 3×3 のマスが空いています。

(x + 3)² = x² + 6x + 9

だから、

x² + 6x = (x + 3)² − 9

足す数は「x の係数の半分の2乗」です。

6 ÷ 2 = 3　→　3² = 9

この操作を平方完成といいます。これができると、どんな二次方程式も (　)²＝数 の形にできます。

解説

定数項を右へ移します。

x² + 6x = 7

両辺に 9 を足して、左辺を正方形にします。

x² + 6x + 9 = 7 + 9(x + 3)² = 16x + 3 = ±4x = −3 ± 4

よって x ＝ 1、−7 です。

右辺にも同じ数を足すのを忘れないでください。片方だけに足すと別の式になります。

解説

図で見ると、4つの部分に分かれます。

x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6

x の係数は2数の和、定数項は2数の積です。

2 + 3 = 5　　2 × 3 = 6

だから因数分解では「たして5、かけて6になる2数」を探します。

解説

たして −5、かけて 6 になる2数を探します。

かけて6になるのは (1, 6)(2, 3)(−1, −6)(−2, −3)。このうちたして −5 になるのは −2 と −3 です。

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)(x − 2)(x − 3) = 0x = 2　または　x = 3

よって x ＝ 2、3 です。

かけて正・たして負なら、2数はどちらも負です。符号の当たりをつけてから探すと速くなります。

解説

定数項がないので、共通因数でくくります。

3x(x + 2) = 03x = 0　または　x + 2 = 0x = 0　または　x = −2

よって x ＝ 0、−2 です。

x＝0 を落とす人がとても多いです。両辺を x で割って x＋2＝0 としてしまうと、x＝0 が消えてしまいます。

0 で割ることはできないので、x で割ってはいけません。必ずくくります。

解説

たすきがけで因数分解します。

2x² + x − 3 = (2x + 3)(x − 1)

確かめてみます。

(2x + 3)(x − 1) = 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3　（○）(2x + 3)(x − 1) = 02x + 3 = 0　→　x = −3/2x − 1 = 0　→　x = 1

よって x ＝ 1、−3/2 です。

因数分解できたら必ず展開して確かめること。たすきがけは組み合わせを間違えやすいので、10秒の確認が効きます。

解説

手順はこうです。

たとえば x² ＋ 4x − 1 ＝ 0 では、かけて −1 になるのは (1, −1) だけ。たすと 0 で、4 になりません。

だからこれは因数分解では解けません。解の公式を使います。

30秒探して見つからなければ、公式に切りかえる——これくらいの割り切りでちょうどよいです。

解説

この公式は、平方完成を一般の形でやった結果です。覚えるものではありますが、導けるものでもあります。

使うときの手順は3つです。

b² − 4ac を先に計算するのが、ミスを減らすコツです。全部を一度に代入すると、符号を落とします。

解説

a＝1、b＝4、c＝−1 です。まず根号の中を計算します。

b² − 4ac = 4² − 4×1×(−1) = 16 + 4 = 20

代入して、

x = (−4 ± √20) / 2

√20 を簡単にします。

√20 = √(4×5) = 2√5x = (−4 ± 2√5) / 2 = −2 ± √5

よって x ＝ −2 ± √5 です。

√ を簡単にしてから約分するのが順番です。(−4 ± √20)/2 のままだと約分できません。

解説

分子の全部の項を割れるときだけ約分できます。

(−4 ± 2√5) / 2 = −2 ± √5　（○ 4も2√5も2で割れる）(−4 ± √5) / 2 　（× √5 は2で割れない）

後者はこのままが答えです。

−4 だけ約分して (−2 ± √5)/2 とするのは誤りです。分子の一部だけを割ることはできません。

2でくくれるかどうかを先に見てください。

解説

a＝3、b＝−2、c＝−1 です。符号ごと書き出すのが大事です。

b² − 4ac = (−2)² − 4×3×(−1) = 4 + 12 = 16x = (2 ± √16) / 6 = (2 ± 4) / 6x = 6/6 = 1　または　x = −2/6 = −1/3

よって x ＝ 1、−1/3 です。

−b は「2」です。b＝−2 なので −b＝2。ここで符号を落とす人が多いところです。

根号の中が平方数になったときは、因数分解でも解けたはずだと気づけるとよいです。

解説

判断の順番は、形を見る → 因数分解を試す → 公式です。

x² の項と定数項だけなら平方根、定数項がないなら共通因数でくくる、と決めておくと迷いません。

公式は「最後の手段」ですが、負けではありません。確実に解けるほうが、悩んで時間を使うより得です。

解き方の選び分けは 二次方程式の解法パターン全10型 にもまとめてあります。

解説

b² − 4ac = (−4)² − 4×1×3 = 16 − 12 = 4

根号の中が正なので、± で2つの解ができます。

x = (4 ± 2) / 2 = 3　または　1

グラフで見ると、放物線がx軸と2点で交わっています。その交点の x 座標が解です。

根号の中の符号を見るだけで、解の個数が分かります。計算する前に見当をつけられるので便利です。

解説

b² − 4ac = (−4)² − 4×1×4 = 16 − 16 = 0

根号の中が0なので、± をつけても同じ値になります。

x = (4 ± 0) / 2 = 2

解は x ＝ 2 の1つだけです。

因数分解すると理由が見えます。

x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0

同じ因数が2回出てくるので、解も重なります。これを重解といいます。

グラフでは、放物線がx軸に接している状態です。

解説

b² − 4ac = (−4)² − 4×1×6 = 16 − 24 = −8

根号の中が負になりました。

2乗して負になる数は（中学の範囲では）ありませんので、√(−8) は計算できません。

したがって 解はありません。

グラフでは、放物線がx軸と交わっていません。だから交点＝解が存在しないのです。

根号の中が負になったら、計算ミスを疑う前に「解なし」を疑ってください。

解説

たてが x cm なら、横は x＋3 cm です。

面積 = たて × 横x(x + 3) = 40

解く形に直すと、

x² + 3x − 40 = 0

図をかいてから式を立てると、たてと横を取り違えません。

文章題のいろいろな型は 二次方程式の文章題 にあります。

解説

因数分解して解きます。たして3、かけて −40 は 8 と −5。

(x + 8)(x − 5) = 0x = −8　または　x = 5

ここで両方を答えてはいけません。

x は長さなので、負の数にはなりません。

x = −8 は問題に合わない

よってたての長さは 5cm です。

確かめると、横は 5＋3＝8cm、面積は 5×8＝40cm² で合っています。

文章題では、方程式の解がそのまま答えとは限らない。最後に必ず「問題に合うか」を確かめてください。

解説

小さいほうを x とすると、大きいほうは x＋1 です。

x(x + 1) = 56x² + x − 56 = 0

たして1、かけて −56 は 8 と −7。

(x + 8)(x − 7) = 0x = −8　または　x = 7

正の整数という条件があるので、x＝−8 は合いません。

x = 7　→　7 と 8

確かめると 7×8 ＝ 56 で合っています。

「連続する整数」は x と x＋1 と置くのが定石です。3つなら x−1、x、x＋1 とまん中を x にすると計算が軽くなります。