中３数学｜円周角の定理 中心角・直径・定理の逆【中3】（無料問題PDF）

円周角は、円周上の一点から同じ弧の両端を見込む角です。同じ弧に対する円周角は中心角の半分になり、頂点を円周上で動かしても大きさは変わりません。「同じ弧に対する」という条件を必ず確認し、直径、定理の逆、円に内接する四角形へつなげましょう。

円周角と中心角

中心がOの円周上に点A、B、Cがあるとします。点Cを頂点とする∠ACBを、弧ABに対する円周角といいます。中心Oを頂点とする∠AOBを、同じ弧ABに対する中心角といいます。

円周角の定理

同じ弧ABに対する円周角∠ACBは、中心角∠AOBの半分です。

定理が成り立つ理由

まず、円周角の一辺CAが直径である場合を考えます。点A、中心O、点Cは一直線上にあります。

半径OBとOCは等しいので、△BOCは二等辺三角形です。∠BCO＝xとすると、∠OBC＝xです。

∠ACB＝∠OCB＝xなので、∠AOB＝2∠ACBです。一般の場合も、点Cと中心Oを結び、その直線を直径まで延ばして角を分ける、または差を取ることで、この場合に帰着できます。

同じ弧に対する円周角は等しい

点Cと点Dが弦ABの同じ側の円周上にあるとします。∠ACBと∠ADBは、どちらも同じ弧ABに対する円周角です。

どちらも同じ中心角∠AOBの半分だからです。

直径に対する円周角は90°

ABが直径なら、同じ半円に対する中心角∠AOBは180°です。したがって、円周上の点Cについて、

円周角の定理の逆

点P、Qが線分ABの同じ側にあり、

ならば、4点A、B、P、Qは同じ円周上にあります。

この性質を使うと、「等しい円周角があるから同じ円」と、図形が円に内接することを証明できます。

円に内接する四角形

四つの頂点が一つの円周上にある四角形を、円に内接する四角形といいます。

円に内接する四角形ABCDでは、向かい合う角の和が180°です。

向かい合う二つの角が見込む二つの弧を合わせると円周全体の360°になり、それぞれの円周角は対応する弧の角度の半分だからです。

内接四角形の外角

円に内接する四角形では、一つの外角は、その内角と向かい合う内角に等しくなります。

例えば頂点Bの外角を考えると、外角と∠Bの和は180°です。一方、∠B＋∠D＝180°なので、頂点Bの外角＝∠Dです。

対角の和、外角、内接条件の逆、共円の証明、特殊な四角形は、円に内接する四角形の例題10問で発展的に学べます。

弦の反対側にある円周角

点C、Dが弦ABの反対側の円周上にあるとき、∠ACBと∠ADBは四角形ACBDの向かい合う角になります。

角を文字で表す問題

どの性質を使うか

よくある誤りと直し方

確認問題

1. 同じ弧に対する中心角が146°です。円周角を求めましょう。
2. 同じ弧に対する円周角が28°です。中心角を求めましょう。
3. 弦ABの同じ側にある円周上の点C、Dについて、∠ACB＝64°です。∠ADBを求めましょう。
4. ABが直径で、点Cが円周上にあります。∠ACBを求めましょう。
5. 円に内接する四角形ABCDで、∠A＝105°です。∠Cを求めましょう。
6. 円に内接する四角形で、頂点Bの外角が82°です。∠Dを求めましょう。
7. 弦ABの反対側にある円周上の点C、Dについて、∠ACB＝68°です。∠ADBを求めましょう。
8. 点P、Qが線分ABの同じ側にあり、∠APB＝∠AQB＝47°です。4点A、B、P、Qについて何がいえますか。
9. 同じ弧に対する中心角が3x°、円周角が（x＋20）°です。xを求めましょう。
10. 円に内接する四角形で、∠B＝98°です。頂点Bの外角と∠Dをそれぞれ求めましょう。

まとめ

• 同じ弧に対する円周角は、中心角の1/2。
• 同じ弧に対する円周角は等しい。
• 直径に対する円周角は90°。
• 同じ線分を見込む等しい角が線分の同じ側にあれば、定理の逆から4点は同一円周上にある。
• 円に内接する四角形では、向かい合う角の和が180°。
• 内接四角形の外角は、向かい合う内角に等しい。
• 定理を使う前に、同じ弧、弦のどちら側、直径、同一円周上という条件を確認する。

高校数学Aでは、円周角を接線との角へ広げます。角の対応、証明、定理の逆は接弦定理の例題10問で確認できます。

前後の単元