中２数学｜平行線と角 対頂角・同位角・錯角を基礎から解説【中2数学】（無料問題PDF）

解説

1本の直線がつくる角は 180° です。

180 − 68 = 112

よって 112° です。

この「一直線＝180°」は、このあと何十回も使います。

解説

向かい合う角を対頂角といいます。対頂角は等しくなります。

よって 42° です。

なぜ等しいのかも確かめておきましょう。42° のとなりの角は 180 − 42 = 138°。その 138° のとなりが求める角なので、180 − 138 = 42°。

「一直線180°を2回使うと、もとにもどる」というだけの話です。

解説

向かい合う角は等しいので、55° の対頂角も 55°。

となり合う角は一直線をつくるので、

180 − 55 = 125

その対頂角も 125° です。

2直線が交わってできる4つの角は、いつも2種類の大きさが2個ずつになります。そして2種類をたすと 180° です。

解説

3つの角を合わせると一直線なので 180° です。

180 − 48 − 62 = 70

よって 70° です。

解説

となりの角は一直線から、

180 − 118 = 62

対頂角は等しいので、その向かいも 62° です。

ここまでで使った道具は「一直線180°」と「対頂角は等しい」の2つだけ。平行線が出てきても、この2つは使い続けます。

解説

交点が2つできます。それぞれの交点のまわりに4つずつ、合わせて8つの角。

そのうち、2つの交点で同じ位置にある2つの角を同位角といいます。

図で言うと「どちらも右上」「どちらも左下」のような組み合わせです。横断線に沿って一方の交点をそのまま平行移動させると、ぴったり重なる位置、と考えると分かりやすくなります。

大事なのは、この時点ではまだ2直線が平行とはかぎらないことです。同位角という名前は、平行でなくてもつきます。

解説

錯角は、2直線にはさまれた内側にあって、しかも横断線の反対側にある2つの角です。

「内側」かつ「たすきがけ」と覚えると位置を取りちがえません。

同位角と錯角の見分けでよくある失敗は、横断線のどちら側かを確認しないことです。同じ側なら同位角、反対側なら錯角。指で横断線をなぞって、左右どちらにあるかを毎回見てください。

解説

同側内角は、内側にあって横断線の同じ側にある2つです。

錯角と同じく内側ですが、横断線のどちら側かが逆になっています。

3つを整理すると、

解説

名前は位置で決まるので、平行でなくても使えます。

ただし、大きさが等しくなるのは平行なときだけです。

ここが最大の分かれ目です。「同位角だから等しい」ではありません。「平行だから、同位角が等しい」のです。

答案でも「ℓ∥m より、同位角は等しいから」と、平行を根拠として先に書く必要があります。

解説

下の交点の 62° と、上の交点の x は同位角の位置にあります。どちらも交点の右上ですね。

ℓ∥m なので、同位角は等しくなります。

x = 62

よって x＝62° です。

解説

62° は下の交点の右上、x は上の交点の左下。内側にあって横断線の反対側なので錯角です。

ℓ∥m なので、錯角は等しくなります。

x = 62

よって x＝62° です。

解説

62° と x は、どちらも内側にあって横断線の同じ側。同側内角です。

ℓ∥m のとき、同側内角の和は 180° になります。

x = 180 − 62 = 118

よって x＝118° です。

この関係は、錯角が等しいことと一直線180°を組み合わせれば出てきます。覚えきれないなら、錯角で 62° を移してから 180 から引いても同じ答えになります。

解説

いきなり x を求めようとすると迷います。2段階に分けます。

まず 62° を同位角で上の交点へ移します。上の交点の右上が 62° です。

x はその右上の角と一直線にならんでいるので、

x = 180 − 62 = 118

よって x＝118° です。

角度の問題では1回で移そうとしないのがコツです。近いところへ移してから、一直線や対頂角でつなぐ。この2段構えで大半が解けます。

解説

三角形の内角の和は 180° です。

180 − 47 − 68 = 65

よって 65° です。

平行線が出てきても、三角形の内角の和は変わりません。むしろ、平行線は離れた角を三角形の中へ集めるための道具として使います。

解説

三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しくなります。

47 + 68 = 115

よって 115° です。

確かめます。残りの内角は 180 − 47 − 68 = 65°、その外角は 180 − 65 = 115°。合っています。

外角の定理も、実は平行線をひいて錯角と同位角を使えば説明できます。

解説

書き方はこうです。

ℓ ∥ m より、錯角は等しいから　∠x = 62°

平行であることが先、性質の名前が次、結論が最後。

「錯角だから等しい」とだけ書くと、根拠が足りません。錯角という名前は平行でなくてもつくので、平行を言わないかぎり「等しい」は言えないからです。

定期テストの記述で減点されるのは、たいていここです。

解説

同位角が等しければ、2直線は平行です。

性質（平行 → 角が等しい）の逆向きにあたります。

平行線の問題では、この2方向をはっきり区別してください。

解説

錯角が等しければ、2直線は平行です。

同位角のときと同じ理由です。錯角が等しいなら、一直線180°を使って同位角も等しいことが導けます。

よって平行といえます。

解説

平行なら、同側内角の和は 180° になるはずです。

100 + 85 = 185

185° で 180° になりません。したがって平行ではありません。

「平行かどうかを確かめる」ときは、同位角・錯角が等しいか、同側内角の和が 180° か、のどれかを調べます。

解説

a と b は錯角が等しいので平行です。

b と c は同側内角の和が 170° で、180° になっていないので平行ではありません。

170 ≠ 180

よって平行なのは a と b だけです。

解説

折れ点 B を通り、ℓ と m に平行な直線をひきます。

すると、この補助線によって ∠B が2つに分かれます。

上半分は、ℓ との錯角なので 32°。下半分は、m との錯角なので 41°。

x = 32 + 41 = 73

よって x＝73° です。

ジグザグ型は足し算になる、と覚えておくと速くなります。

解説

32° と 41° は、もとの図では離れた場所にあって直接は比べられません。

折れ点 B を通る補助線を ℓ に平行にひくと、B のところに 32° と等しい角が現れます（錯角）。

同じ補助線は m とも平行なので、41° と等しい角も B に現れます。

つまり補助線は、離れた角を1か所に集める道具です。

「平行な補助線をひく」という発想は、このあと三角形の内角の和の証明でも、相似でも、ずっと使います。

解説

同じように、折れ点 B を通る補助線をひきます。

∠B は補助線で2つに分かれ、上半分は ℓ との錯角なので 48°。

∠B 全体が 105° なので、下半分は、

105 − 48 = 57

この下半分が、m との錯角で x と等しくなります。

よって x＝57° です。

足し算の式を、引き算として使っただけです。∠B ＝ ∠A ＋ ∠C という関係を1本もっておけば、どれを聞かれても対応できます。

解説

原則は2つだけです。

この2つを守れば、必ず錯角か同位角ができます。

逆に、平行でない向きにひいた補助線は、新しい角が増えるだけで何も等しくならないので効きません。

折れ点が2か所あるなら、補助線も2本ひきます。数は増えても考え方は同じです。

解説

［証明］

頂点 A を通り、辺 BC に平行な直線 ℓ をひく。

ℓ ∥ BC で、AB が交わる直線だから、錯角は等しく、

∠B ＝（ℓ 上で ∠A の左どなりの角）

同じく AC が交わる直線だから、錯角は等しく、

∠C ＝（ℓ 上で ∠A の右どなりの角）

この3つの角は、点 A のところで一直線 ℓ をつくっているので、

∠B + ∠A + ∠C = 180°

［証明終わり］

小学校では「三角形を切って3つの角を集めると一直線になる」と教わります。その「集める」を数学の言葉にしたのが、この補助線です。

解説

［証明］

△ABC で、頂点 C における外角を考える。

内角の和より、

∠A + ∠B + ∠C = 180°

外角は ∠C と一直線をつくるので、

外角 = 180° − ∠C

この2つを合わせると、

外角 = (∠A + ∠B + ∠C) − ∠C = ∠A + ∠B

［証明終わり］

実際に数字で確かめます。∠A＝47°、∠B＝68° なら外角は 115°。問15で計算した値と一致します。

解説

残りの内角は、

180 − 47 − 68 = 65

その外角は、

180 − 65 = 115

外角の定理を使えば1行です。

47 + 68 = 115

よって 115° です。

同じ答えに2通りで着けるかどうかが、理解できているかの目安になります。

解説

平行四辺形 ABCD では、AD ∥ BC です。

この2直線に、辺 AB が交わっていると見ます。

すると ∠A と ∠B は、内側にあって AB の同じ側にある角、つまり同側内角です。

平行なので、同側内角の和は 180°。

∠A + ∠B = 180°

「平行四辺形のとなり合う角の和は180°」という性質は、覚えるものではなく同側内角そのものだった、ということです。

次の単元の「三角形と四角形」では、この見方を何度も使います。