比例と反比例では、二つの数量の関係を、式・表・グラフの三つで表します。形だけを暗記せず、「xを決めるとyがただ一つ決まる」「比例では比 y/x、反比例では積 xyが一定」という中心を押さえましょう。
関数とは
xの値を決めると、それに対応してyの値がただ一つ決まるとき、yはxの関数であるといいます。xとyのように、いろいろな値を取る文字を変数といいます。
関数である例と、そうでない例
| 関係 | 関数か | 理由 |
|---|---|---|
| 正方形の一辺x cmと周の長さy cm | 関数である | y＝4xで、一辺を決めると周が一つに決まる |
| 自然数xと、その約数y | 一般には関数でない | x＝6の約数は1、2、3、6と複数ある |
| 時刻xと、その時刻の気温y | 関数とみなせる | 同じ場所・同じ測り方を定めれば、各時刻の測定値は一つに決まる |
変域とは
変数が取る値の範囲を変域といいます。たとえば「0cm以上10cm以下の長さ」をx cmとすると、変域は次のように表せます。
式だけでなく、問題場面の条件も確認します。人数や個数なら、変域の中でも整数だけを取る場合があります。
比例とは
yがxの関数で、0でない一定の数aを使って次の式で表されるとき、yはxに比例するといいます。
aを比例定数といいます。x≠0のとき、y/x＝aなので、xとyの比が一定です。
比例の表
y＝2xについて、対応する値を表にします。
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | −6 | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
- xを2倍、3倍にすると、yも2倍、3倍になります。
- x＝0のとき、y＝0です。
- x≠0では、どの組でもy/x＝2です。
比例のグラフ
比例y＝axのグラフは、原点を通る直線です。a＞0なら右上がり、a＜0なら右下がりになります。
例1：比例の式を求める
問題：yはxに比例し、x＝−2のときy＝10です。yをxの式で表しましょう。
比例の式をy＝axとし、x＝−2、y＝10を代入します。
a＝−5
答え：y＝−5x
確かめ：x＝−2を代入すると、y＝−5×（−2）＝10です。
反比例とは
yがxの関数で、0でない一定の数aを使って次の式で表されるとき、yはxに反比例するといいます。
両辺にxを掛けるとxy＝aです。したがって、反比例では対応するxとyの積が一定です。x＝0では0で割ることになるため、xは0を取りません。
反比例の表
y＝12/xについて、対応する値を表にします。
| x | −6 | −4 | −3 | −2 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | −2 | −3 | −4 | −6 | 6 | 4 | 3 | 2 |
- どの組でもxy＝12です。
- xの絶対値を2倍にすると、yの絶対値は1/2になります。
- x＝0に対応するyはありません。
反比例のグラフ
反比例のグラフは、双曲線と呼ばれる二つの曲線になります。a＞0なら第1象限と第3象限、a＜0なら第2象限と第4象限にあります。軸へ限りなく近づきますが、軸とは交わりません。
例2：反比例の式を求める
問題：yはxに反比例し、x＝6のときy＝−2です。yをxの式で表しましょう。
反比例ではa＝xyなので、比例定数は次のように求められます。
答え：y＝−12/x
確かめ：x＝6を代入すると、y＝−12/6＝−2です。
比例と反比例の見分け方
| 確認点 | 比例 | 反比例 |
|---|---|---|
| 式 | y＝ax | y＝a/x |
| 一定になる量 | y/x＝a（x≠0） | xy＝a |
| xを2倍にしたとき | yも2倍 | yは1/2倍 |
| グラフ | 原点を通る直線 | 二つの曲線からなる双曲線 |
| x＝0 | y＝0 | 式に代入できない |
座標と象限
点の位置を（x座標, y座標）の順で表します。たとえば点（−2, 3）は、原点から左へ2、上へ3進んだ位置です。
- 第1象限：x＞0、y＞0
- 第2象限：x＜0、y＞0
- 第3象限：x＜0、y＜0
- 第4象限：x＞0、y＜0
座標軸上の点は、どの象限にも属しません。
よくある間違い
1. 比例を「一方が増えれば他方も増える関係」と考える
y＝2x＋1は増える関係ですが、y/xが一定でなく、グラフも原点を通らないため比例ではありません。
2. 反比例をy＝a−xとする
反比例は「増え方が反対」という名称だけで判断せず、y＝a/x、またはxy＝aを確認します。
3. 反比例の式へx＝0を代入する
0で割ることはできません。反比例ではx＝0を除きます。
4. 座標の順を逆にする
（x, y）の順です。先に横方向、次に縦方向を確認します。
確認問題
- y＝−3xで、x＝4のときのyを求めてください。
- yはxに比例し、x＝5のときy＝15です。式を求めてください。
- y＝20/xで、x＝−4のときのyを求めてください。
- yはxに反比例し、x＝−3のときy＝8です。式を求めてください。
- （ア）y＝4x、（イ）y＝4/x、（ウ）y＝4x＋1を、比例・反比例・どちらでもない関係に分類してください。
解答と解説を開く
- y＝−3×4＝−12。
- a＝y/x＝15/5＝3より、y＝3x。
- y＝20/（−4）＝−5。
- a＝xy＝−3×8＝−24より、y＝−24/x。
- （ア）比例、（イ）反比例、（ウ）どちらでもない。（ウ）は原点を通らず、y/xも一定ではありません。
まとめ
- xを決めるとyがただ一つ決まるとき、yはxの関数。
- 比例はy＝axで、y/xが一定。グラフは原点を通る直線。
- 反比例はy＝a/xで、xyが一定。グラフは二つの曲線。
- 反比例ではx＝0を取らず、グラフは座標軸と交わらない。
- 式・表・グラフのどれでも同じ対応関係を表している。
学習範囲の根拠
この記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」の第1学年「比例、反比例」を基準に構成しています。正式な内容は、文部科学省の解説PDFで確認できます。
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この単元の関連解説：比例・反比例の利用｜変域・グラフ・文章題を解説【中1数学】
