中１数学｜一次方程式とは？解き方・移項の意味を例題で解説【中1数学】（無料問題PDF）

解説

x ＋ 3 ＝ 8 は、x に何を入れると成り立つでしょうか。

x = 5 のとき　5 + 3 = 8　（○）x = 4 のとき　4 + 3 = 7　（×）

成り立つのは x＝5 のときだけです。この 5 が解です。

方程式を解く＝解を見つけること。見つけたら、代入して確かめられます。

天秤で言えば、左右のおもさがちょうど等しくなる x を探しています。

解説

天秤の両方の皿から、同じおもりを取りのぞきます。

(x + 3) − 3 = 8 − 3x = 5

両方から同じだけ取れば、つり合いは崩れません。

これが等式の性質の1つめです。

片方だけから取ってはいけません。左だけ3を引くと、天秤は左に軽くなって傾いてしまいます。

解説

皿の中身を、両方とも3等分します。

3x ÷ 3 = 12 ÷ 3x = 4

両方を同じ数で割っても、つり合いは崩れません。

確かめます。

3 × 4 = 12　（○）

0 で割ることだけはできません。それ以外の数なら、かけても割っても大丈夫です。

解説

方程式を解く作業は、この4つの組み合わせだけです。新しい技は出てきません。

目標は「x ＝ 数」の形にすること。そのために、じゃまなものを両辺から取りのぞいていきます。

解説

両方の皿に x のおもりがあります。両方から1個ずつ取ります。

3x + 2 − x = x + 8 − x2x + 2 = 8

これで右側から文字が消えました。あとはいつもどおりです。

2x = 6　→　x = 3

文字は左、数は右に集めるのが基本です。

確かめます。

左辺 3×3 + 2 = 11　　右辺 3 + 8 = 11　（○）

解説

途中を省かずに書くと、こうなっています。

x + 3 = 8x + 3 − 3 = 8 − 3　（両辺から3を引く）x = 8 − 3

左辺の ＋3 が消えて、右辺に −3 が現れました。

これを一気にやるのが「移項」です。符号が変わって見えるのは、引き算をしたからです。

意味が分かっていれば、符号を間違えても自分で気づけます。

解説

−5 を右へ移項します。符号が変わって ＋5 になります。

2x = 9 + 52x = 14x = 7

確かめます。

2 × 7 − 5 = 14 − 5 = 9　（○）

移項したら、必ず符号を変える。そのままの符号で移すのが、この単元でいちばん多いミスです。

解説

文字は左、数は右へ移項します。

5x − 2x = 19 − 4

移項したものは、どちらも符号が変わっています。

3x = 15x = 5

確かめます。

左辺 5×5 + 4 = 29　　右辺 2×5 + 19 = 29　（○）

2つ同時に移項してよいです。1つずつやってもかまいませんが、まとめたほうが速く済みます。

解説

x を左へ、−7 を右へ移します。

4x − x = 5 + 73x = 12x = 4

移項するものは、必ず符号が変わります。

確かめます。

左辺 4×4 − 7 = 9　　右辺 4 + 5 = 9　（○）

移項しなかった項の符号は変えません。ここも混同しやすいところです。

解説

順番を変えないでください。かっこをはずす前に移項すると、必ず混乱します。

④をとばさないのも大事です。計算は30秒で終わりますし、間違いがあれば必ず見つかります。

解説

まずかっこをはずします。

2x − 2 = x + 4

移項して、

2x − x = 4 + 2x = 6

確かめます。

左辺 2×(6 − 1) = 10　　右辺 6 + 4 = 10　（○）

かっこの中の全部にかけるのを忘れないでください。2(x−1) を 2x−1 とするのが、よくある誤りです。

解説

6x + 3 = 4x + 116x − 4x = 11 − 32x = 8x = 4

確かめます。

左辺 3×(2×4 + 1) = 3×9 = 27　　右辺 4×4 + 11 = 27　（○）

かっこの前がマイナスのときは、中の符号が全部変わります。

−2(x − 3) = −2x + 6

ここは特に慎重に計算してください。

解説

両辺を10倍して、小数をなくします。

3x + 12 = 5x12 = 5x − 3x2x = 12　→　x = 6

確かめます。

左辺 0.3×6 + 1.2 = 3　　右辺 0.5×6 = 3　（○）

すべての項を10倍してください。1.2 を 12 にするのを忘れる誤りが多いところです。

小数第2位まであるときは100倍します。

解説

分母 2 と 3 の最小公倍数6を両辺にかけます。

3x + 6 = 2x + 183x − 2x = 18 − 6x = 12

確かめます。

左辺 12/2 + 1 = 7　　右辺 12/3 + 3 = 7　（○）

分数がついていない項にもかけるのを忘れないでください。1 に6をかけて 6、3 に6をかけて 18 です。

解説

比例式は「外側の積＝内側の積」で方程式にできます。

3 × 8 = 4 × x24 = 4xx = 6

確かめます。

3 : 4 = 6 : 8　→　どちらも 3/4　（○）

a : b ＝ c : d ならば ad ＝ bc。この形にしてしまえば、あとはいつもの方程式です。

解説

7x − 3x = 164x = 16　→　x = 4

もとの式に代入します。

左辺 7 × 4 = 28右辺 3 × 4 + 16 = 12 + 16 = 28

両辺が28で一致したので、x＝4 は正しい解です。

途中で作った式ではなく、もとの式に代入すること。途中式で確かめても、その式を作るときの間違いは見つかりません。

解説

移項して整理してみます。

2x − 2x = 3 − 30 = 0

いつでも成り立つ式になりました。

これは「x に何を入れても成り立つ」という意味です。

実際、x＝0 でも x＝100 でも左辺と右辺は同じになります。

0 ＝ 0 が出たら、解は無数にある。計算ミスではないので、あわてないでください。

解説

同じように整理します。

2x − 2x = 5 − 30 = 2

成り立たない式が出ました。

これは「そんな x は存在しない」という意味です。

左辺と右辺は、どんな x でも必ず2だけ差があるので、等しくなりません。

文字が全部消えたら、残った式を見る。これで判断できます。

解説

解が分かっている＝代入すると成り立つ、ということです。

a × 2 + 1 = 72a = 6a = 3

確かめます。a＝3 なら 3x＋1＝7 で、x＝2 のとき 3×2＋1＝7 です。

「解が x＝2」と書かれていたら、まず代入する。そうすると a についての方程式になります。

解く文字が x から a に変わるだけで、やることは同じです。

解説

いちばん多いのは②です。移項したのに符号を変えていない、あるいは移項していない項の符号まで変えている。

迷ったら、移項せずに書いてみてください。「両辺から◯を引く」と1行ずつ書けば、符号を間違えようがありません。

文章題は 一次方程式の文章題 にあります。