中１数学｜基本の作図 垂直二等分線・角の二等分線・垂線【中1数学】（無料問題PDF）

解説

作図のルールは2つです。

分度器も使えません。角度をはかって半分にする、というのは作図ではないのです。

コンパスの本当の役目は「等しい長さを作ること」です。円をかくのは目的ではなく、「中心から同じ距離の点をとる」ための手段だと考えてください。この見方ができると、3つの作図がすべて同じ原理だと分かります。

解説

半径を「AB の半分より大きく」するのは、そうしないと弧が交わらないからです。

この直線が、AB を垂直に二等分します。

解説

同じ半径で弧をかいたので、

PA = PB　（どちらも①②の半径）QA = QB

PQ は共通なので、3組の辺が等しく、

△APQ ≡ △BPQ

対応する角が等しいので ∠APQ＝∠BPQ。すると △APM と △BPM でも2辺とその間の角が等しくなり、

AM = BM　（二等分）∠AMP = ∠BMP = 90°　（垂直）

つまりコンパスで等しい長さを作ったことが、そのまま合同の根拠になっています。

作図の「なぜ」は、ほとんどが合同で説明できます。

解説

①で OP＝OQ、②で PR＝QR ができます。OR は共通なので、

△OPR ≡ △OQR　（3組の辺）

対応する角が等しいので、

∠POR = ∠QOR

つまり OR が ∠XOY を二等分します。

ここでも等しい長さ → 合同 → 等しい角という流れです。

解説

①で PC＝PD になります。つまり P はCD の垂直二等分線上にあります。

②③で作っているのは、まさに CD の垂直二等分線です。

垂直二等分線は CD に垂直なので、これが求める垂線になります。

垂線の作図は、垂直二等分線の作図の応用だったわけです。

解説

①で A が BC の中点になり、②③で BC の垂直二等分線をひいています。

A はその垂直二等分線上にあるので、AR が ℓ に垂直な直線になります。

こちらも中身は垂直二等分線です。

解説

どの作図でも、やっていることは同じです。

手順を丸暗記すると忘れますが、「どこを等しくしているか」で覚えると再現できます。

作図の問題で手が止まったら、「どの2つの長さを等しくすればよいか」を先に考えてください。

解説

AとBから等しい距離にある点をいくつかとってみると、すべて1本の直線上に並びます。それがAB の垂直二等分線です。

逆もいえます。垂直二等分線上のどの点も、A と B から等しい距離にあります。

だから「2点から等距離」と言われたら、反射的に垂直二等分線をひくと決めておけます。

解説

点から辺までの距離とは、その辺におろした垂線の長さのことです。

角の二等分線上に点 P をとり、2辺への垂線をひくと、直角三角形の合同（斜辺と1つの鋭角）から2つの垂線の長さが等しくなります。

だから「2辺から等距離」と言われたら、角の二等分線です。

2点なら垂直二等分線、2辺なら角の二等分線。この対応を覚えてください。

解説

中心は、円周上のどの点からも等しい距離にあります。

だから弧の上に3点 A、B、C をとると、

中心は AB の垂直二等分線上にある中心は BC の垂直二等分線上にある

両方をみたす点は2本の垂直二等分線の交点だけです。

そこが中心になります。

「等距離 → 垂直二等分線」を2回使っただけです。

解説

3つの頂点から等しい距離にある点を探せばよいので、

2辺の垂直二等分線をひき、その交点をとる

この点を外心といい、そこを中心とする円が外接円です。

3辺すべての垂直二等分線をひいても、必ず1点で交わります。2本ひけば十分です。

解説

3辺から等しい距離にある点を探すので、

2つの角の二等分線をひき、その交点をとる

この点を内心といい、そこを中心とする円が内接円です。

外接円は「頂点＝点」だから垂直二等分線、内接円は「辺＝線」だから角の二等分線。点か辺かで使い分けると覚えると混ざりません。

解説

円周 = 2 × π × 半径 = 2 × π × 6 = 12π面積 = π × 半径² = π × 6² = 36π

よって 円周 12π cm、面積 36π cm² です。

π は 3.14 に直さず、π のまま答えるのが中学の書き方です。

解説

おうぎ形は円の一部です。中心角が 360° のうち 120° なので、

120 ÷ 360 = 1/3

円周の 1/3 が弧の長さになります。

弧 = 12π × 1/3 = 4π

よって 4π cm です。

公式で書くとこうです。

弧の長さ = 2πr × 中心角/360

解説

面積も同じで、円の面積の 1/3 です。

面積 = 36π × 1/3 = 12π

よって 12π cm² です。

おうぎ形の面積 = πr² × 中心角/360

弧も面積も「中心角 ÷ 360」をかけるだけ。2つの公式ではなく、1つの考え方です。

解説

おうぎ形の面積には、もう1つの求め方があります。

面積 = 弧の長さ × 半径 ÷ 2面積 = 4π × 6 ÷ 2 = 12π

よって 12π cm² です。

三角形の「底辺 × 高さ ÷ 2」と同じ形なのが覚えやすいところです。弧を底辺、半径を高さと見ていることになります。

中心角が分からないときに強い式なので、覚えておくと得します。

解説

円周は 2π × 9 ＝ 18π cm です。

弧はその何分のいくつかを考えます。

3π ÷ 18π = 1/6

中心角も 360° の 1/6 なので、

360 × 1/6 = 60

よって 60° です。

式で解くなら、

2π × 9 × x/360 = 3π

を x について解いても同じ答えになります。

解説

円の面積 = π × 9² = 81πおうぎ形 = 81π × 60/360 = 81π × 1/6 = 13.5π

よって 13.5π cm² です。

弧から求めてもよいですね。弧は 3π なので、

3π × 9 ÷ 2 = 13.5π

同じ答えになりました。

解説

おうぎ形の周は、弧だけではありません。両側の半径2本も含みます。

弧 = 4π半径2本 = 6 × 2 = 12周 = 4π + 12

よって (4π + 12) cm です。

半径を足し忘れるのが、この単元でいちばん多いミスです。「周」と書いてあったら、線でぐるっと囲めるか指でなぞって確認してください。

解説

条件の言葉から、使う道具が決まります。

条件が2つあるときは、それぞれの線をひいて交点をとるのが定石です。1本だけでは点が定まりません。

解説

答案として評価されるのは、できあがった直線だけではありません。

コンパスでかいた弧の跡が、どうやってその点を決めたかを示す根拠になります。だから消してはいけません。

きれいに見せようとして弧を消すと、「たまたまその位置に線をひいた」のと区別がつかなくなります。

作図の跡＝証明の根拠だと考えてください。

解説

中2の合同・中3の相似で書く証明は、この単元の「なぜそうなるか」をそのまま言葉にしたものです。

外心・内心という言葉は高校で本格的に扱いますが、作り方はここで習う垂直二等分線と角の二等分線そのものです。

さらに高校では軌跡という単元があります。「条件をみたす点の集まりはどんな図形か」を考える分野で、「2点から等距離なら垂直二等分線」はその第一歩にあたります。

作図は、図をきれいに描く練習ではなく、条件を図形に翻訳する練習だと考えてください。