三角比｜sin・cos・tanの定義・有名角・相互関係【数学I】

Q: 確認問題の解答

sin θ＝5/13、cos θ＝12/13、tan θ＝5/12です。 8 sin 60°＝8・√3/2より、4√3です。 sin 30°＝1/2、cos 45°＝√2/2、tan 60°＝√3です。 sin 90°＝1、cos 90°＝0、tan 90°は定義されません。 150°＝180°－30°より、sin 150°＝1/2、cos 150°＝－√3/2、tan 150°＝－√3/3です。 cosは正なのでcos θ＝4/5。したがって、tan θ＝3/4です。 cosは負なのでcos θ＝－12/13。したがって、tan θ＝－5/12です。 cos（180°－60°）＝－cos 60°より、θ＝120°です。 tanは鋭角で正、鈍角で負なので、θ＝45°です。90°では定義されません。 目から上の高さは12 tan 45°＝12 mです。目の高さを足し、13.6 mです。

Q: tan 90°を定義できないのはなぜですか。

tan θ＝sin θ/cos θで、cos 90°＝0だからです。0で割る計算は定義できないため、tan 90°も定義されません。

今日の一問

3辺から三角比を求める

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

三角比は、角度と辺の比を結び付ける道具です。直角三角形でsin・cos・tanを定義し、有名角、鈍角への拡張、相互関係、長さや角度の計算へ進みます。

最初に結論：直角三角形の鋭角 θに対して、sin θ＝対辺/斜辺、cos θ＝隣辺/斜辺、tan θ＝対辺/隣辺です。どの辺が対辺・隣辺かは、注目する角によって変わります。

学ぶ前に確認したいこと

三角比の根拠には、相似と三平方の定理を使います。必要なら相似な図形と三平方の定理を復習してください。平方根の整理は数学I「数と式」につながります。

三角比とは

三角比とは、直角三角形の辺の長さの比を角度に対応させたものです。同じ鋭角をもつ直角三角形は相似なので、大きさが違っても対応する辺の比は同じです。このため、角度 θだけで三つの比が決まります。

直角三角形で、注目する鋭角を θ（0°＜θ＜90°）とします。

斜辺：直角の向かいにある、最も長い辺
対辺：角 θの向かいにある辺
隣辺：角 θに接する二辺のうち、斜辺ではない辺

名称	定義	分母
sin `θ`（サイン）	対辺/斜辺	斜辺
cos `θ`（コサイン）	隣辺/斜辺	斜辺
tan `θ`（タンジェント）	対辺/隣辺	隣辺

「高さ」「底辺」だけで覚えない：図の向きが変わると混乱します。まず注目する角を囲み、斜辺を特定し、その角の向かいを対辺、残りを隣辺と判断してください。

例題1：3辺から三角比を求める

斜辺5、角 θの対辺3、隣辺4の直角三角形を考えます。

sin θ＝3/5
cos θ＝4/5
tan θ＝3/4

確かめ：3²＋4²＝5²で、直角三角形の辺として整合します。

三角比から辺の長さを求める

求めたい辺と分かっている辺の両方を含む比を選びます。斜辺と対辺ならsin、斜辺と隣辺ならcos、対辺と隣辺ならtanです。

例題2：斜辺と角から対辺を求める

斜辺が10、鋭角が30°の直角三角形で、30°の対辺を xとします。

sin 30°＝x/10
1/2＝x/10
x＝5

答え：対辺は5です。

例題3：対辺と角から隣辺を求める

鋭角が45°、その対辺が6の直角三角形で、隣辺を xとします。

tan 45°＝6/x
1＝6/x
x＝6

答え：隣辺は6です。

有名角の三角比

30°・60°は、1辺2の正三角形を半分にした直角三角形から導けます。辺の比は、30°の対辺：60°の対辺：斜辺＝1：√3：2です。45°は、二辺が1の直角二等辺三角形から、辺の比1：1：√2を使います。

`θ`	sin `θ`	cos `θ`	tan `θ`
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	定義されない

直角三角形による定義は鋭角に対するものです。0°と90°の値は、後で扱う座標による拡張から定めます。tan 90°は sin 90°/cos 90°＝1/0となり、0で割れないため定義されません。

0°から180°までの三角比

座標平面で原点を中心とする半径1の円を考え、正の x軸から反時計回りに θだけ進んだ円周上の点を P（x, y）とします。

cos θ＝x
sin θ＝y
tan θ＝y/x＝sin θ/cos θ　（cos θ≠0）

この定義により、0°≦θ≦180°まで扱えます。90°では点（0, 1）になるため、cos 90°＝0で、tan 90°は定義されません。

`θ`の範囲	sin `θ`	cos `θ`	tan `θ`
`θ`＝0°	0	1	0
0°＜`θ`＜90°	正	正	正
`θ`＝90°	1	0	定義されない
90°＜`θ`＜180°	正	負	負
`θ`＝180°	0	－1	0

180°－`θ`の三角比

0°＜θ＜90°のとき、180°－θは鈍角です。円の左側では x座標だけが負になるため、

sin（180°－θ）＝sin θ
cos（180°－θ）＝－cos θ
tan（180°－θ）＝－tan θ

例題4：120°の三角比

120°＝180°－60°なので、

sin 120°＝sin 60°＝√3/2
cos 120°＝－cos 60°＝－1/2
tan 120°＝－tan 60°＝－√3

sinは正、cosとtanは負で、鈍角の符号とも一致します。

三角比の相互関係

半径1の円上では x²＋y²＝1なので、sinとcosの間に次の関係があります。

sin² θ＋cos² θ＝1

また、cos θ≠0、つまり0°≦θ≦180°では θ≠90°のとき、

tan θ＝sin θ/cos θ
1＋tan² θ＝1/cos² θ

二つ目の式は、sin² θ＋cos² θ＝1の両辺をcos² θで割ると導けます。cos θ＝0では割れないため、条件を省略できません。

例題5：cosと角の範囲からsin・tanを求める

90°＜θ＜180°、cos θ＝－3/5のとき、sin θとtan θを求めます。

sin² θ＝1－9/25＝16/25

この範囲でsinは正なので、sin θ＝4/5です。

tan θ＝（4/5）/（－3/5）＝－4/3

答え：sin θ＝4/5、tan θ＝－4/3

平方根には±が出る：sin² θ＝16/25からは、まずsin θ＝±4/5です。最後に角の範囲から符号を選びます。

三角比から角度を求める

0°≦θ≦180°では、同じsinの値をもつ鋭角と鈍角があることに注意します。cosは0°から180°まで単調に1から－1へ減るため、この範囲で同じcosの値をもつ角は一つです。

例題6：sin `θ`＝1/2を満たす角

0°≦θ≦180°で考えます。sin 30°＝1/2であり、

sin（180°－30°）＝sin 150°＝1/2

答え：θ＝30°, 150°

高さや距離への利用

水平な地面と視線が作る角を仰角、水平線より下を見る角を俯角といいます。現実の問題では、観測者の目の高さを最後に足す必要があるか確認します。

例題7：建物の高さを求める

建物から水平距離10 mの地点で、地面から建物の頂点までの仰角が30°でした。観測点の高さを0 mとみなすとき、建物の高さ hを求めます。

tan 30°＝h/10
√3/3＝h/10
h＝10√3/3

答え：10√3/3 mです。もし目の高さ1.5 mから測ったなら、建物全体の高さは10√3/3＋1.5 mです。

よくある誤り

対辺と隣辺を図の上下だけで決める：注目する角を基準に決めます。
tanも斜辺を使うと思う：tan θ＝対辺/隣辺で、斜辺は使いません。
tan 90°＝0とする：分母のcos 90°が0なので、tan 90°は定義されません。
鈍角でもcosを正にする：90°＜θ＜180°ではcosとtanは負です。
二乗から符号を一つに決める：角の範囲を見て正負を選びます。
相互関係の条件を省く：tanを含む式ではcos θ≠0が必要です。
sinの値から角を一つだけ答える：0°から180°では鋭角と鈍角の二つがあり得ます。
高さの問題で目の高さを忘れる：図で、どの高さを三角比で求めたか確認します。

確認問題

斜辺13、角 θの対辺5、隣辺12の直角三角形で、三つの三角比を求めてください。
斜辺8、鋭角60°の直角三角形で、60°の対辺を求めてください。
sin 30°、cos 45°、tan 60°を求めてください。
sin 90°、cos 90°、tan 90°を答えてください。
sin 150°、cos 150°、tan 150°を求めてください。
0°＜θ＜90°、sin θ＝3/5のとき、cos θとtan θを求めてください。
90°＜θ＜180°、sin θ＝5/13のとき、cos θとtan θを求めてください。
0°≦θ≦180°で、cos θ＝－1/2となる θを求めてください。
0°≦θ≦180°で、tan θ＝1となる θを求めてください。
水平距離12 mの地点から頂点への仰角が45°で、目の高さが1.6 mのとき、建物の高さを求めてください。

確認問題の解答

sin θ＝5/13、cos θ＝12/13、tan θ＝5/12です。
8 sin 60°＝8・√3/2より、4√3です。
sin 30°＝1/2、cos 45°＝√2/2、tan 60°＝√3です。
sin 90°＝1、cos 90°＝0、tan 90°は定義されません。
150°＝180°－30°より、sin 150°＝1/2、cos 150°＝－√3/2、tan 150°＝－√3/3です。
cosは正なのでcos θ＝4/5。したがって、tan θ＝3/4です。
cosは負なのでcos θ＝－12/13。したがって、tan θ＝－5/12です。
cos（180°－60°）＝－cos 60°より、θ＝120°です。
tanは鋭角で正、鈍角で負なので、θ＝45°です。90°では定義されません。
目から上の高さは12 tan 45°＝12 mです。目の高さを足し、13.6 mです。

まとめ

直角三角形では、sin＝対辺/斜辺、cos＝隣辺/斜辺、tan＝対辺/隣辺。
0°と90°を含む値は座標による拡張で定まり、tan 90°は定義されません。
90°＜θ＜180°では、sinは正、cosとtanは負。
sin² θ＋cos² θ＝1。tanを含む式はcos θ≠0が条件。
長さや角度を求めるときは、分かっている辺と求めたい辺を含む比を選ぶ。

よくある質問

sin・cos・tanは辺の長さですか。

長さそのものではなく、辺の長さの比です。同じ角度をもつ直角三角形は相似なので、拡大・縮小しても三角比は変わりません。

tan 90°を定義できないのはなぜですか。

tan θ＝sin θ/cos θで、cos 90°＝0だからです。0で割る計算は定義できないため、tan 90°も定義されません。

有名角の値は暗記するしかありませんか。

30°・60°は正三角形の半分、45°は直角二等辺三角形から復元できます。表を覚えるだけでなく、辺の比1：√3：2と1：1：√2を図から導けるようにすると安全です。

学習範囲の根拠

本記事は、文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編」の数学I「図形と計量」に示された、鋭角の三角比、三角比の相互関係、三角比の0°から180°までの拡張、図形の計量への活用を基準にしています。正弦定理・余弦定理は次の独立記事で扱います。

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編」（PDF）

前後の単元

前に学ぶ数学I「二次関数」で、式とグラフを対応させる見方を確認します。

次に学ぶ数学I「正弦定理・余弦定理」へ進みます。直角三角形以外でも辺と角を結び、面積や外接円まで扱います。

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要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は数学I・Aの要点辞典：図形と計量にまとめてあります。