三角関数とは｜弧度法・グラフ・方程式の解き方10問

数強塾オリジナル 追加演習4題——範囲がついた瞬間に、公式では読めなくなる

「よくある誤りと直し方」の表に、2つの重い注意があります。

方程式の解を1つだけ答える　→　単位円を描き、指定範囲を一周確認する
文字置換後の範囲を忘れる　→　\(t=\sin x\) なら \(-1 \leqq t \leqq 1\) を併記する

どちらも正しい注意ですが、例題10問には三角不等式が1問もありません。方程式（例題5・6）は答えが「点」なので、単位円で拾い忘れても気づきやすい。ところが不等式は答えが「範囲」で、端をどちらに取るかで答えが丸ごと変わります。

もう1つ。例題9の合成と例題10の最大最小は、どちらも\(x\) の範囲が指定されていません。だから例題9は「振幅がそのまま最大値」で終わります。ところが\(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) のような制限がつくと、振幅では読めなくなります。この4題は、前半が不等式、後半が範囲つきの最大最小です。

追加第1問　等式の解は「境界」、不等式の解は「その間」

解答

まず等号の場合を解きます。これは例題5そのもので、\(x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\)。

次に単位円を描きます。\(\sin x\) は単位円上の点の \(y\) 座標なので（なぜ単位円を使うと鈍角まで三角比を拡張できるのか）、\(\sin x \geqq \dfrac{\sqrt3}{2}\) は「\(y\) 座標が \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) 以上の部分」——円の上のほうの弧です。

その弧は \(\dfrac{\pi}{3}\) から \(\dfrac{2\pi}{3}\) までのあいだ。

\[ \frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{2\pi}{3} \]

よくある誤答は \(x \geqq \dfrac{\pi}{3}\) だけを答えることです。等式の解を1つ見つけて、そこから「以上」だと思い込むと、上限が抜けます。\(\sin\) は増え続ける関数ではありません——\(\dfrac{\pi}{2}\) を過ぎたら減るので、条件を満たすのは有限の範囲です。

検算

4点で確かめます。\(x = \dfrac{\pi}{2}\)（範囲内）：\(\sin = 1 \geqq 0.866\)。○　\(x = 0\)：\(\sin = 0\) で不成立。○　\(x = \pi\)：\(\sin = 0\) で不成立。○　両端の \(\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\)：どちらも \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) ちょうどで、等号があるので含む。○

不等式の答えは、範囲の内・外・両端を1点ずつ入れる。「一周確認する」の中身はこれです。

追加第2問　置換したら、まず \(t\) の範囲を書く

解答

例題6の不等式版です。\(t = \cos x\) と置きます。ここで先に \(t\) の範囲を書きます——表の5行目のとおり。

\[ -1 \leqq t \leqq 1 \]

式は例題6と同じく因数分解できます。

\[ 2t^2-3t+1 = (2t-1)(t-1) \leqq 0 \ \Longrightarrow\ \frac12 \leqq t \leqq 1 \]

これは \(-1 \leqq t \leqq 1\) の中に完全に収まっているので、そのまま使えます。あとは \(\dfrac12 \leqq \cos x \leqq 1\) を単位円で読むだけです。

\(\cos x\) は\(x\) 座標。\(\cos x = \dfrac12\) となるのは \(x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\) で、\(x\) 座標が \(\dfrac12\) 以上なのは円の右のほう。\(0\) から一周する順に見ると、その弧は始まりと終わりに分かれます。

\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}\ \ \text{または}\ \ \frac{5\pi}{3} \leqq x \lt 2\pi \]

\(\cos x \leqq 1\) のほうはすべての \(x\) で成り立つので、条件になっていません。追加第1問の \(\sin\) が「上下」で切ったのに対し、\(\cos\) は「左右」で切ります。同じ「間」でも、円のどこを切るかが違うので、答えが2つに割れることがあります。

検算

\(x = 0\)：\(\cos = 1\)、式は \(2-3+1 = 0 \leqq 0\)。○（端点、等号で成立）

\(x = \dfrac{\pi}{2}\)：\(\cos = 0\)、式は \(1\) で不成立。○（範囲の外）

\(x = \pi\)：\(\cos = -1\)、式は \(2+3+1 = 6\) で不成立。○

\(x = \dfrac{11\pi}{6}\)：\(\cos = \dfrac{\sqrt3}{2} \fallingdotseq 0.866\)、式は \(-0.098\) で成立。○（\(\dfrac{5\pi}{3}\) 以降の範囲に入っています）

答えが2つの区間に分かれたら、それぞれの中を1点ずつ試す。片方だけ確かめて安心すると、もう片方の端がずれていても気づけません。

追加第3問　範囲がつくと、振幅では読めない

解答

式は例題9と同じですが、範囲がついています。まず合成します。振幅は \(\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2} = 2\)。角 \(\alpha\) は

\[ \cos\alpha = \frac{1}{2},\qquad \sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2} \ \Longrightarrow\ \alpha = \frac{\pi}{3} \]

この \(\alpha\) の決め方が例題9には書かれていませんが、係数を振幅で割ったものが \(\cos\alpha\) と \(\sin\alpha\) です（なぜasinx+bcosxは1つのsinにまとまるのか）。

\[ y = 2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \]

ここからが本題です。\(x\) ではなく \(x+\dfrac{\pi}{3}\) の範囲を作ります。

\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \ \Longrightarrow\ \frac{\pi}{3} \leqq x+\frac{\pi}{3} \leqq \frac{5\pi}{6} \]

この範囲で \(\sin\) がとる値を単位円で見ます。\(\dfrac{\pi}{2}\) は範囲の中にあるので \(\sin\) は最大値 \(1\) をとれます。一方、範囲の両端は \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) と \(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac12\) で、小さいほうは \(\dfrac12\)。

\[ \text{最大値 } 2\ \left(x = \frac{\pi}{6}\right),\qquad \text{最小値 } 1\ \left(x = \frac{\pi}{2}\right) \]

例題9は範囲がないので \(\sin\) が \(-1\) まで届き、最小値が \(-2\) でした。範囲がつくと \(\sin\) は \(-1\) に届きません。だから最小値は \(-2\) ではなく \(1\)。「振幅から最大・最小を読み取る」が使えるのは、範囲がないときだけです。

検算

もとの式に直接入れて確かめます。

\(x = \dfrac{\pi}{6}\)：\(\dfrac12+\sqrt3 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac12+\dfrac32 = 2\)。○（最大）

\(x = \dfrac{\pi}{2}\)：\(1+\sqrt3 \cdot 0 = 1\)。○（最小）

\(x = 0\)：\(0+\sqrt3 = 1.732\)。最大と最小のあいだ。○

合成したあとは、必ずもとの式に戻して2〜3点で確かめる。\(\alpha\) の符号を取りちがえていると、ここで合いません。

追加第4問　置換後の範囲は、問題ごとに変わる

解答

例題10と同じ式ですが、やはり範囲がついています。2倍角で \(\sin\) にそろえます（なぜ2倍角の公式が必要になるのか）。

\[ \cos 2x = 1-2\sin^2 x \ \Longrightarrow\ y = 1-2\sin^2 x+2\sin x \]

\(t = \sin x\) と置きます。ここで \(t\) の範囲を作り直します。例題10は \(-1 \leqq t \leqq 1\) でしたが、今回は \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) なので

\[ 0 \leqq t \leqq 1 \]

あとは2次関数です。

\[ y = -2t^2+2t+1 = -2\left(t-\frac12\right)^2+\frac32 \]

頂点 \(t = \dfrac12\) は範囲の中にあるので、最大値は \(\dfrac32\)（\(x = \dfrac{\pi}{6}\)）。最小は端点で決まります（なぜ定義域があるときは頂点だけ見てはいけないのか）。

\(t=0\) のとき \(y=1\)、\(t=1\) のとき \(y = -2+2+1 = 1\)。両端とも \(1\) なので最小値は \(1\)。

例題10の最小値は \(-3\)（\(t=-1\) のとき）でした。今回は \(t=-1\) が範囲に入らないので、最小値が \(-3\) から \(1\) に変わります。「よくある誤り」の5行目「文字置換後の範囲を忘れる」の本当の怖さはここです——\(-1 \leqq t \leqq 1\) と機械的に書くのではなく、\(x\) の範囲から毎回作り直す。

検算

もとの式で確かめます。\(x=0\)：\(\cos 0+0 = 1\)。○　\(x = \dfrac{\pi}{6}\)：\(\cos\dfrac{\pi}{3}+2 \cdot \dfrac12 = \dfrac12+1 = \dfrac32\)。○　\(x = \dfrac{\pi}{2}\)：\(\cos\pi+2 = -1+2 = 1\)。○　\(x = \dfrac{\pi}{4}\)：\(0+2 \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} = \sqrt2 \fallingdotseq 1.414\)。最大と最小のあいだ。○

範囲がつくと、答えはこう変わる

式は同じでも、範囲の行が変わるだけで答えが変わります。例題9・10は範囲なしなので公式どおりでしたが、入試で出るのはほぼ範囲つきです。

この4題で確認したこと

• 等式の解は境界、不等式の解はその間か外。単位円で「弧」として読む（追加第1問）。
• \(\sin\) は上下で切り、\(\cos\) は左右で切る。\(\cos\) では答えが2つの区間に分かれることがある（追加第2問）。
• 置換したら先に \(t\) の範囲を書く。ただし \(-1 \leqq t \leqq 1\) と決め打たず、\(x\) の範囲から作り直す（追加第2問・第4問）。
• 合成の角は \(\cos\alpha = \dfrac{a}{r}\)、\(\sin\alpha = \dfrac{b}{r}\) で決める（追加第3問）。
• 範囲がついたら「振幅」では読めない。\(x+\alpha\) の範囲を作ってから、その中で \(\sin\) がとる値を見る。
• 検算はもとの式に戻して2〜3点。合成や置換の符号ミスは、これで全部落ちます。

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道具の「なぜ」は、なぜ単位円を使うと鈍角まで三角比を拡張できるのか、なぜ加法定理が成り立つのか、なぜ2倍角の公式が必要になるのか、なぜasinx+bcosxは1つのsinにまとまるのか、なぜ三角関数のグラフは波になるのか、なぜsin²θ+cos²θ=1なのか にまとめてあります。

2次関数として処理する部分は 平方完成とは（範囲つき最大最小の追加演習つき）もあわせてどうぞ。用語の一覧は 数学用語辞典 にあります。