整数の性質｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】

整数問題では、数を素因数の積で見る方法と、割った余りで分類する方法が中心です。公式の前に、0・1・負の数を含む定義と、割り算の条件を確かめましょう。

最初に結論：積や約数は素因数分解、最大公約数は互除法、余りや周期は合同式、整数解は最大公約数で存在を判定します。記数法では各桁を「数字×底の累乗」として読みます。

整数と自然数

整数は、…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…のように、負の整数・0・正の整数を合わせた数です。本記事では自然数を1，2，3，…とします。自然数に0を含める流儀もあるため、問題では定義を確認してください。

負の数の計算に不安がある場合は、先に中1「正の数・負の数」を確認しましょう。

割り算の原理

整数 aと正の整数 mに対して、

a＝mq＋r，0≦r＜m

を満たす整数 qと rがただ一組存在します。qを商、rを余りといいます。余りを0以上 m未満に固定することで、負の整数でも商と余りが一意になります。

例題1：負の整数の商と余り

－23を7で割った商と余りを求めます。

－23＝7・(－4)＋5，0≦5＜7

答え：商は－4、余りは5です。－23＝7・(－3)－2とも書けますが、－2は標準的な余りの条件を満たしません。

約数と倍数

0でない整数 dについて、整数 nが n＝dk（kは整数）と書けるとき、dは nの約数、nは dの倍数です。「dが nを割り切る」を d｜nと書きます。

1と－1は、すべての整数の約数です。
0は、すべての0でない整数の倍数です。
0で割ることは定義しません。本記事では約数 dも0でないものとします。

高校の「正の約数を求める」問題では、負の約数を数えません。単に「整数の約数」と書かれているときは、問題文の約束を確認します。

素数と素因数分解

素数は、正の約数が1と自分自身だけである2以上の整数です。1は素数ではありません。2は唯一の偶数の素数です。

2以上の整数は、素数の積として、因数の順序を除いてただ一通りに表せます。これを素因数分解の一意性といいます。

756＝2²・3³・7

この一意性があるため、約数、最大公約数、最小公倍数を素数ごとの指数で比較できます。式の因数分解とは目的が異なるので、必要に応じて中3「展開と因数分解」も区別して確認してください。

倍数の判定法

割る数	判定法	理由の手掛かり
2	一の位が偶数	10が2の倍数
3	各桁の和が3の倍数	10≡1（mod 3）
4	下2桁が4の倍数	100が4の倍数
5	一の位が0または5	10が5の倍数
9	各桁の和が9の倍数	10≡1（mod 9）
11	桁を交互に足し引きした数が11の倍数	10≡－1（mod 11）

例えば53856は各桁の和が5＋3＋8＋5＋6＝27なので、3と9の倍数です。下2桁56は4の倍数なので、53856も4の倍数です。

正の約数の個数

異なる素数 p₁, …, p_kと正の整数 a₁, …, a_kを用いて、

N＝p₁^a₁…p_k^a_k

と素因数分解できるとします。正の約数では、各素数の指数を0から a_iまで選べるため、個数は

(a₁＋1)(a₂＋1)…(a_k＋1)

です。正の整数1の素因数分解は空の積と考え、正の約数は1だけなので1個です。

正の約数の総和

各素数の指数を選んでできる約数をすべて足すと、

(1＋p₁＋…＋p₁^a₁)…(1＋p_k＋…＋p_k^a_k)

となります。積を展開すると、各正の約数がちょうど一度ずつ現れます。

例題2：756の正の約数

756＝2²・3³・7なので、正の約数の個数は、

(2＋1)(3＋1)(1＋1)＝24

正の約数の総和は、

(1＋2＋4)(1＋3＋9＋27)(1＋7)＝7・40・8＝2240

答え：24個、総和2240です。

最大公約数と最小公倍数

正の整数 a, bに共通する正の約数のうち最大のものを最大公約数gcd(a, b)、共通する正の倍数のうち最小のものを最小公倍数lcm(a, b)といいます。

素因数分解では、最大公約数は各指数の小さい方、最小公倍数は大きい方を取ります。正の整数について、

gcd(a, b)・lcm(a, b)＝ab

が成り立ちます。一方が0の場合を含める流儀ではlcm(a, 0)＝0としますが、本記事の公式はまず正の整数で扱います。

例題3：素因数の指数を比べる

72＝2³・3²、120＝2³・3・5です。

gcd(72,120)＝2³・3＝24
lcm(72,120)＝2³・3²・5＝360

確かに24・360＝72・120＝8640です。

互いに素

gcd(a, b)＝1のとき、aと bは互いに素です。「どちらも素数」という意味ではありません。例えば8と15はどちらも合成数ですが、互いに素です。

二つずつの最大公約数が1であるどの二つも互いに素と、全体の最大公約数が1であることも区別します。6, 10, 15は3数全体の最大公約数が1ですが、どの二つも互いに素ではありません。

ユークリッドの互除法

正の整数 a＞bを bで割り、a＝bq＋rとします。このとき、

gcd(a, b)＝gcd(b, r)

です。a, bの公約数は r＝a－bqも割り、逆に b, rの公約数は a＝bq＋rも割るため、公約数の集合が同じです。

余りは毎回小さくなり、最後は0になります。余りが0になったときの割る数、つまり手順に現れる最後の0でない数が最大公約数です。

例題4：1071と1029の最大公約数

1071＝1029・1＋42
1029＝42・24＋21
42＝21・2＋0

答え：gcd(1071,1029)＝21です。

ベズーの等式

0でない整数 a, bについて、g＝gcd(a, b)とすると、

ax＋by＝g

を満たす整数 x, yが存在します。互除法の式を後ろから代入して戻すと、具体的な一組を求められます。

例題5：47と18で1を表す

互除法を逆向きにたどると、

1＝5・47－13・18

となります。実際に235－234＝1です。したがって x＝5, y＝－13は47x＋18y＝1の一組の整数解です。

一次不定方程式

整数係数の方程式 ax＋by＝cを、整数 x, yについて解きます。g＝gcd(a, b)とすると、整数解が存在するための必要十分条件は、

g｜c

です。a, bを同時に0とはしません。一組の解 (x₀, y₀) が見つかれば、すべての整数解は、

x＝x₀＋(b/g)t，y＝y₀－(a/g)t　（tは整数）

解の存在条件、互除法の逆算、一般解、正・非負整数解を10問で練習するなら一次不定方程式の解き方へ進んでください。

例題6：84x＋30y＝6

gcd(84,30)＝6で、6は右辺6を割るため整数解があります。6で割ると14x＋5y＝1です。

x＝－1, y＝3は－14＋15＝1を満たします。したがって、

x＝－1＋5t，y＝3－14t　（tは整数）

がすべての整数解です。

合同式：余りを式で扱う

整数 a, bと正の整数 mについて、m｜(a－b)のとき、aと bは mを法として合同といい、

a≡b（mod m）

と書きます。これは aと bを mで割った余りが同じという意味です。合同式は整数の余りを整理する便利な発展的表現で、教科書によって扱いの深さが異なります。

合同式でできる計算

a≡b（mod m）、c≡d（mod m）なら、加法・減法・乗法について、

a±c≡b±d，ac≡bd（mod m）

が成り立ち、非負整数乗もできます。一方、等式のようにいつでも割り算・約分できるわけではありません。

合同式の割り算：ac≡bc（mod m）から a≡b（mod m）と約分できるのは、例えばgcd(c, m)＝1のときです。6x≡6（mod 8）は x≡1（mod 8）だけでなく x≡5（mod 8）も満たします。

例題7：大きな累乗の余り

7¹⁰⁰を5で割った余りを求めます。

7≡2（mod 5），2⁴≡1（mod 5）
7¹⁰⁰≡(2⁴)²⁵≡1（mod 5）

答え：余りは1です。

一次合同式

ax≡b（mod m）に整数解があるための必要十分条件は、gcd(a, m)が bを割り切ることです。

例題8：14x≡8（mod 30）

gcd(14,30)＝2で、2｜8なので解があります。2で整理すると、

7x≡4（mod 15）

7・13≡1（mod 15）なので、両辺に13を掛けて x≡52≡7（mod 15）です。

法30で表せば、x≡7, 22（mod 30）の二つの剰余類です。

位取り記数法とn進法

10進法の325は、3・10²＋2・10＋5を表します。一般に、n≧2を底とするn進法では、0から n－1までの数字を使い、各桁を nの累乗の係数として読みます。

(a_k…a₁a₀)_n＝a_kn^k＋…＋a₁n＋a₀

先頭の数字は0でなく、各桁a_iは0≦a_i＜nです。10以上の底では、10以上の桁をA, Bなどで表すことがあります。

整数・小数の双方向変換と2進数の加減乗算はn進法と2進法の変換の例題10問で練習できます。

例題9：10進法から2進法へ

45＝32＋8＋4＋1＝2⁵＋2³＋2²＋2⁰なので、

45＝(101101)₂

逆に各桁へ2の累乗を掛けて足せば、10進法へ戻せます。

有限小数と循環小数

整数 a, b（b＞0）の分数 a/bを既約分数にします。10進法で有限小数になるための必要十分条件は、分母の素因数が2と5だけであることです。

既約分数の分母＝2^p5^q　（p, qは0以上の整数）

これは分母がある10の累乗10^k＝2^k5^kを割り切れる条件です。有理数は有限小数、または同じ並びが繰り返される循環小数になります。

例題10：分母から小数表示を判定する

7/40では40＝2³・5なので有限小数となり、7/40＝0.175です。

5/12では12＝2²・3に3が含まれるため、有限小数ではなく、5/12＝0.41666…と循環します。

整数と人間の活動

位取り記数法では0が「その位に量がない」ことを示す重要な記号として働きます。時刻や角度に60進法の名残があり、コンピュータ内部では0と1による2進法が使われます。

ユークリッドの互除法は、二つの長さを共通の単位で測る活動と結び付けて考えられ、現在も高速な最大公約数アルゴリズムとして使われます。整数の学習では、計算法だけでなく「なぜその表現や手順が必要になったか」を考えることも大切です。

用語と道具がそろったら、次は「解き方の型」へ

このページは整数の性質の知識編です。入試の整数問題で最初の一手を選べるようになるには、解き方を型で持っておく必要があります。数強塾では、整数問題の方針は「積の形にする・余りで分類する・不等式で絞る」の3つだけという立場で体系化しました。

解法を選ぶ手順

問題の構造	最初の方針	確認事項
約数・倍数・個数・総和	素因数分解	1、正負、0を含めるか
最大公約数	素因数分解または互除法	大きな数なら余りを繰り返す
ax＋by＝cの整数解	gcd(a,b)を求める	gcd(a,b)がcを割るか
大きな累乗の余り	合同式で周期を探す	法と指数、周期の開始位置
n進法	底の累乗で展開	各桁が0以上n未満か
有限小数かの判定	既約分数にして分母を分解	約分を先にしたか

よくある誤り

誤り	正しい確認
1を素数に含める	素数は2以上で、正の約数が二つ
負の数の余りを負にする	通常は0≦r＜mに直す
約数の個数で指数をそのまま掛ける	0乗も選べるため各指数に1を足す
3数のgcdが1ならどの二つも互いに素と考える	各ペアのgcdを調べる
不定方程式で一組だけ答える	整数tを使ってすべての解を表す
合同式を自由に割る	割る数と法が互いに素か等を確認する
有限小数の判定を約分前に行う	既約分数の分母を調べる

確認問題

－37を5で割った商と余りを、0≦余り＜5として求めてください。
756の正の約数の個数と総和を求めてください。
84と126の最大公約数・最小公倍数を求めてください。
1, 2, 91のうち、素数をすべて選んでください。
662と414の最大公約数を互除法で求めてください。
35x＋22y＝1を満たす整数解を一組求めてください。
18x＋30y＝7に整数解があるか判定してください。
3¹⁰⁰を8で割った余りを求めてください。
5x≡3（mod 7）を解いてください。
(101101)₂を10進法で表してください。
73を2進法で表してください。
21/140と5/12が10進法で有限小数になるか、それぞれ判定してください。

確認問題1〜4の解答

－37＝5・(－8)＋3なので、商－8、余り3です。
756＝2²・3³・7より、個数は3・4・2＝24個、総和は7・40・8＝2240です。
84＝2²・3・7、126＝2・3²・7より、gcd＝42、lcm＝252です。
2だけです。1は素数でなく、91＝7・13です。

確認問題5〜8の解答

662＝414＋248、414＝248＋166、248＝166＋82、166＝82・2＋2、82＝2・41より、2です。
1＝－5・35＋8・22なので、例えば(x, y)＝(－5, 8)です。
gcd(18,30)＝6ですが6は7を割り切らないので、整数解はありません。
3²≡1（mod 8）より、3¹⁰⁰≡1⁵⁰≡1です。余りは1です。

確認問題9〜12の解答

5・3≡1（mod 7）なので、両辺に3を掛け、x≡2（mod 7）です。
32＋8＋4＋1＝45です。
73＝64＋8＋1なので、(1001001)₂です。
21/140＝3/20で分母20＝2²・5なので有限小数です。5/12は既約で分母に3を含むので循環小数です。

まとめ

割り算では a＝mq＋r、0≦r＜mを固定します。
約数・倍数は素因数の指数、最大公約数は互除法で整理できます。
ax＋by＝cに整数解があるのはgcd(a, b)｜cのときです。
合同式では加減乗と非負整数乗ができますが、割り算には条件があります。
n進法は底の累乗で読み、有限小数は既約分母の素因数で判定します。

よくある質問

0や1は素数ですか。

どちらも素数ではありません。素数は2以上の整数で、正の約数が1と自分自身の二つだけである数です。1を素数に含めないことで、素因数分解の一意性が保たれます。

互除法はなぜ最大公約数を変えないのですか。

a＝bq＋rなら、aとbの公約数はr＝a－bqも割り、bとrの公約数はa＝bq＋rも割ります。公約数の集合が同じなので、最大公約数も同じです。

合同式ではなぜ自由に割れないのですか。

法と共通因数をもつ数を掛けると、異なる剰余類が同じ結果へつぶれることがあるためです。掛けた数と法が互いに素なら逆数に相当する数があり、安全に消去できます。

整数の性質は現行の数学Aでどのように扱われますか。

現行課程では「数学と人間の活動」の中で、記数法、ユークリッドの互除法、数える・測る活動などと結び付けて扱われます。教科書により題材の選択や発展内容の深さは異なります。

学習範囲の根拠

本記事は、文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編」の数学A「数学と人間の活動」に示された、数量と人間の活動、記数法、ユークリッドの互除法、公約数、一次不定方程式などの例を基準にしています。合同式、約数の総和、一次合同式は理解を広げる発展内容として区別しました。

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編」（PDF）

前後の単元

前に学ぶ数学A「確率」までを終えたら、整数と人間の活動へ進めます。

全体像へ戻る高校数学の全単元一覧で、数学Aの図形・整数分野と後続科目の位置づけを確認します。

次に学ぶ数学A「図形の性質」へ進み、三角形・円・作図・空間図形を学びます。