中２数学｜中2「式の計算」 単項式・多項式・同類項・乗法除法を解説（無料問題PDF）

解説

単項式は、数と文字のかけ算だけでできている式です。

数だけの 4 も単項式です。ここを落としやすいところです。

多項式を作っている1つ1つを「項」といいます。2x − y の項は 2x と −y の2つです。

−y のマイナスも項に含めます。「項は 2x と y」と答えるのは誤りです。

解説

係数は、文字の前についている数です。

3x²y の係数は 3

次数は、かけ合わせた文字の個数です。

3x²y ＝ 3 × x × x × y

文字は x が2個、y が1個で、合わせて3個。

次数は 3

係数の3は、次数には数えません。「3が3個かかっているから」と数えてしまう誤りが多いところです。

指数を足せばよいとも言えます。x² の2と y の1で 2 ＋ 1 ＝ 3 です。

解説

項ごとに次数を出して、いちばん大きいものを選びます。

いちばん大きいのは3なので、この式は 3次式 です。

次数を足してはいけません。3 ＋ 3 ＋ 0 ＝ 6 とするのが、いちばん多い誤りです。

数だけの項（定数項）の次数は0です。7 には文字が1個もないからです。

解説

係数には符号も分数もそのまま含めます。

係数は −2/3

次数は文字の個数だけを見ます。

a が2個、b が1個 → 次数3

係数を 2/3 と答えて符号を落とすのが定番の失点です。

分母にある数は、次数には一切関係しません。

解説

同類項は文字の部分がまったく同じ項どうしです。

文字の種類は同じでも、個数が違えば別の項です。

3x²y、−5x²y、2x²y → 同類項3xy² → これだけ別

x²y と xy² を同じものだと思うのが、この単元でいちばん多い誤りです。

実際に数を入れてみると分かります。x＝2、y＝3 なら x²y ＝ 12、xy² ＝ 18 で別の数です。

なぜ同類項しかまとめられないのかは なぜ同類項しかまとめられないのか にまとめてあります。

解説

同類項ごとに分けてから計算します。

(4a − 2a) ＋ (3b ＋ 5b)＝ 2a ＋ 8b

a と b はまとめられません。2a ＋ 8b ＝ 10ab としてしまうのが典型的な誤りです。

符号ごと移動させるのがコツです。−2a の項は、マイナスを連れて動きます。

解説

たし算のときは、かっこをそのままはずせます。

3x ＋ 2y ＋ 5x − 7y

同類項をまとめて、

(3x ＋ 5x) ＋ (2y − 7y) ＝ 8x − 5y

符号は1つも変わりません。

ここで符号を変えてしまう人は、ひき算と混同しています。＋ のときは何もしない、と覚えてください。

解説

ひき算では、うしろの式の全部の符号が変わります。

5a ＋ 3b − 2a ＋ 4b

−4b の符号が ＋4b に変わったことを確かめてください。

(5a − 2a) ＋ (3b ＋ 4b) ＝ 3a ＋ 7b

よくある誤りはこちらです。

5a ＋ 3b − 2a − 4b ＝ 3a − b　← 誤り

最初の項だけ符号を変えて、残りを忘れています。

かっこをはずす前に、−1 をかけた形を1行書くと防げます。

−(2a − 4b) ＝ −2a ＋ 4b

解説

うしろの式は3つとも符号が変わります。

−(x² ＋ 5x − 6) ＝ −x² − 5x ＋ 6

書き直すと、

4x² − 3x ＋ 2 − x² − 5x ＋ 6

同類項ごとにまとめます。

(4x² − x²) ＋ (−3x − 5x) ＋ (2 ＋ 6)＝ 3x² − 8x ＋ 8

項が増えるほど、変え忘れが起きます。

符号を変えた式を必ず1行書いてから、まとめに進んでください。暗算で処理しようとした瞬間に事故が起きます。

解説

かっこの中の全部にかけます。

2 × 3a ＝ 6a　　2 × (−b) ＝ −2b3 × a ＝ 3a　　3 × 2b ＝ 6b

書き直すと、

6a − 2b ＋ 3a ＋ 6b

同類項をまとめて、

(6a ＋ 3a) ＋ (−2b ＋ 6b) ＝ 9a ＋ 4b

2番目の項にかけ忘れる誤りが多いです。2(3a − b) を 6a − b としてしまう形です。

矢印を2本書いてからかけると、かけ忘れが減ります。

解説

分母をそろえます。2と3の最小公倍数は6です。

3(3x − y)/6 − 2(x − 2y)/6

分子だけを計算します。ここでも符号の変化に注意です。

3(3x − y) ＝ 9x − 3y−2(x − 2y) ＝ −2x ＋ 4y

合わせて、

(9x − 3y − 2x ＋ 4y)/6 ＝ (7x ＋ y)/6

分子にかっこをつけたまま通分するのが安全です。

分子の全体に − がかかっていることを見落とすと、y の符号を間違えます。

解説

係数どうし・文字どうしに分けます。

(3 × 4) × (x² × x³)

係数は掛け算です。

3 × 4 ＝ 12

文字は並べて数えると指数を足すことになります。

x² × x³ ＝ (x × x) × (x × x × x) ＝ x⁵答えは 12x⁵

x² × x³ ＝ x⁶ としてしまうのが最頻の誤りです。指数は掛けるのではなく足します。

係数は掛ける、指数は足す——ここが混ざりやすいところです。

解説

係数・a・b の3つに分けます。

係数 : (−2) × 3 ＝ −6a : a² × a ＝ a³b : b × b² ＝ b³

合わせて、

−6a³b³

符号を先に決めてしまうと間違えません。マイナスが1個なので答えはマイナスです。

a だけ、b だけ、と1文字ずつ処理するのが確実です。まとめて数えようとすると、指数がずれます。

解説

かっこの中の全部が2乗されます。

(3x²)² ＝ 3x² × 3x²＝ (3 × 3) × (x² × x²) ＝ 9x⁴

係数を2乗し忘れて 3x⁴ とするのが定番の誤りです。

かっこの外の指数は、中の全部にかかります。3 も x² も、どちらも2乗されます。

ここだけは指数どうしを掛けます。かけ算の x² × x³ とは別の話なので、区別してください。

解説

分数の形に直します。

12x³y / (4xy)

係数と文字を、それぞれ約分します。

係数 : 12 ÷ 4 ＝ 3x : x³ ÷ x ＝ x²y : y ÷ y ＝ 1答えは 3x²

y は上下に1つずつなので、消えてなくなります。「1になった」と考えてください。

消えた文字を答えに書いてしまう誤りが多いです。3x²y としないよう気をつけてください。

解説

分数の形にします。

8a²b / (−2ab)

符号を先に決めます。プラス ÷ マイナスなので、答えはマイナスです。

係数 : 8 ÷ 2 ＝ 4　→　符号をつけて −4a : a² ÷ a ＝ ab : b ÷ b ＝ 1答えは −4a

符号を最後につけようとすると忘れます。最初に決めてしまってください。

b が消えるので、−4ab としないこと。

解説

1つの分数にまとめてから約分します。

(6x²y × 2xy) / (3x²y²)

分子を先に計算します。

6x²y × 2xy ＝ 12x³y²

分数にして約分します。

12x³y² / (3x²y²)係数 : 12 ÷ 3 ＝ 4　　x : x³ ÷ x² ＝ x　　y : y² ÷ y² ＝ 1答えは 4x

左から順に計算しないでください。先に全部を1つの分数にすると、約分が1回で済みます。

÷ のうしろの式は、分母にまとめて入ります。÷3x²y² を ÷3 だけと読むのが誤りのもとです。

解説

先に式を整理します。

2(3x − y) − 3(x − 2y)＝ 6x − 2y − 3x ＋ 6y＝ 3x ＋ 4y

ここではじめて代入します。

3 × 3 ＋ 4 × (−2) ＝ 9 − 8 ＝ 1

答えは 1 です。

そのまま代入しても同じ答えになりますが、手数が増えます。

2(9 ＋ 2) − 3(3 ＋ 4) ＝ 22 − 21 ＝ 1

文字が多い式ほど、整理してからのほうが速く正確です。

解説

先に約分します。

4a²b / (2a) ＝ 2ab

代入します。

2 × (−2) × 5 ＝ −20

答えは −20 です。

そのまま代入すると、4 × 4 × 5 ＝ 80 を −4 で割ることになります。できますが、負の数の割り算が1回増えます。

負の数を代入するときは、かっこをつけてください。

2 × (−2) × 5　（2 × −2 × 5 とは書かない）

約分してから代入すると、大きい数を扱わずに済みます。

解説

y だけを左辺に残します。やることは方程式と同じです。

3x ＋ 2y ＝ 12

両辺から 3x を引きます。

2y ＝ 12 − 3x

両辺を2で割ります。

y ＝ (12 − 3x)/2

分けて書くこともできます。

y ＝ 6 − (3/2)x

どちらの形でも正解です。

2で割るとき、右辺の全部を割ることを忘れないでください。y ＝ 6 − 3x とするのが典型的な誤りです。

解説

b を含むかたまりを、順にほどいていきます。

まず両辺に2をかけて、÷2 を消します。

2S ＝ (a ＋ b)h

両辺を h で割ります。

2S/h ＝ a ＋ b

両辺から a を引きます。

2S/h − a ＝ b

答えは b ＝ 2S/h − a です。

解きたい文字から遠いものから順にほどきます。÷2 → ×h → ＋a の順で、最後にかかっているものから外していきます。

文字が3つあっても、やることは一次方程式とまったく同じです。見慣れない文字におびえないでください。

解説

この単元は、落とす場所がほぼ決まっています。符号と指数の2つです。

途中式を省かないでください。かっこをはずした行を1行書くだけで、失点はかなり減ります。

型ごとの練習は 式の計算の解法パターン全10型、文字式を使った説明（証明）は 式の計算 特訓道場 にあります。