形が同じで、大きさだけが異なる図形を相似な図形といいます。相似では、頂点の対応順を正しく読み、対応する角と辺をそろえることが最初の要点です。三角形の三つの相似条件を根拠として証明し、相似比から長さ・面積・体積の比へつなげましょう。
相似な図形とは
一つの図形を、形を変えずに一定の割合で拡大または縮小して、必要に応じて移動・回転・裏返しをすると、もう一つの図形に重なるとき、二つの図形は相似です。
二つの相似な図形には、次の性質があります。
- 対応する角の大きさは、それぞれ等しい。
- 対応する辺の長さの比は、全て等しい。
三角形ABCと三角形DEFが相似で、AとD、BとE、CとFが対応するとき、次のように表します。
対応順から等しい角と辺の比を読む
△ABC∽△DEFから、次の対応関係が分かります。
| 対応 | 三角形ABC | 三角形DEF |
|---|---|---|
| 頂点 | A、B、C | D、E、F |
| 角 | ∠A、∠B、∠C | ∠D、∠E、∠F |
| 辺 | AB、BC、CA | DE、EF、FD |
AB/DE＝BC/EF＝CA/FD
例1：対応する辺の長さ
△ABC∽△DEFで、AB＝6、BC＝9、CA＝12、DE＝4とします。
三角形ABCと三角形DEFの相似比は6：4＝3：2です。
FD＝12×（2/3）＝8
答え：EF＝6、FD＝8
三角形の三つの相似条件
二つの三角形は、次の三条件のうち一つを満たせば相似です。
| 相似条件 | 確認するもの |
|---|---|
| 三組の辺の比が全て等しい | 対応する3辺の比 |
| 二組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しい | 対応する2辺の比と、その2辺にはさまれた角 |
| 二組の角がそれぞれ等しい | 対応する2角 |
条件1：三組の辺の比が全て等しい
例2：3辺から相似を判断する
辺の長さが4、6、8の三角形と、6、9、12の三角形を比べます。
三組の対応する辺の比が全て等しいので、二つの三角形は相似です。相似比は2：3です。
条件2：二組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しい
例3：2辺とその間の角から判断する
△ABCでAB＝6、AC＝9、∠A＝50°、△DEFでDE＝4、DF＝6、∠D＝50°とします。
AC/DF＝9/6＝3/2
∠A＝∠D
二組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△DEFです。
条件3：二組の角がそれぞれ等しい
例4：2角から相似を判断する
二つの三角形で、それぞれ40°の角と65°の角が対応しているとします。
二組の角がそれぞれ等しいので、二つの三角形は相似です。残りの角も180°－40°－65°＝75°で等しくなります。
相似の証明を書く手順
- 証明する三角形を書く：「△○○○と△□□□において」と対応順を意識する。
- 仮定から分かることを書く：辺の比、平行、等しい角などを式で示す。
- 既知の性質を使う：対頂角、平行線の錯角・同位角、共通角などを根拠とともに書く。
- 相似条件を言葉で書く：三つの条件のどれを使ったかを明示する。
- 結論を書く：対応順をそろえて△○○○∽△□□□とする。
例5：対頂角を使う相似の証明
2直線ACとBDが点Oで交わり、OA/OC＝OB/ODであるとします。△AOBと△CODが相似であることを証明します。
△AOBと△CODにおいて、
仮定より、OA/OC＝OB/OD ……①
対頂角は等しいから、∠AOB＝∠COD ……②
①、②より、二組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
したがって、△AOB∽△COD。
対応はA↔C、O↔O、B↔Dです。したがって、結論は△AOB∽△CODの順に書きます。
相似比から辺の長さを求める
対応する辺の比を、どちらの図形からどちらの図形へ比べるか統一します。
例6：比例式で未知の辺を求める
△ABC∽△DEFで、AB＝8、DE＝6、BC＝12、EF＝xとします。
8/6＝12/x
8x＝72
x＝9
答え：EF＝9
周の長さ・面積・体積の比
二つの相似な図形の相似比がm：nのとき、次の関係があります。
| 比べる量 | 比 | 理由 |
|---|---|---|
| 対応する長さ | m：n | 相似比そのもの |
| 周の長さ | m：n | 対応する辺を全て同じ倍率で足す |
| 面積 | m²：n² | 縦と横の二方向が同じ倍率になる |
| 体積 | m³：n³ | 縦・横・高さの三方向が同じ倍率になる |
例7：相似比2：3の面積比
小さい図形の面積が20cm²なら、大きい図形の面積は20×（9/4）＝45cm²です。
例8：相似比3：5の立体の体積比
対応する長さが5/3倍になると、体積は（5/3）³＝125/27倍になります。
面積比から相似比を戻す
面積比が分かっている場合は、正の平方根を取ると相似比になります。長さは正なので、比には正の値を使います。
例9：面積比16：25から相似比を求める
答え：4：5
合同と相似の違い
| 比較 | 合同 | 相似 |
|---|---|---|
| 形 | 同じ | 同じ |
| 大きさ | 同じ | 異なってもよい |
| 対応する辺 | 長さが等しい | 長さの比が全て等しい |
| 対応する角 | 等しい | 等しい |
| 辺の比 | 1：1 | 一定 |
合同は、相似比が1：1である特別な相似と考えられます。
相似をいえない条件
| 与えられた条件 | 相似をいえるか | 理由 |
|---|---|---|
| 一組の角だけが等しい | いえない | 形の異なる三角形を作れる |
| 二組の辺の比だけが等しい | いえない | その間の角が変わると形が変わる |
| 二組の辺の比と、その間ではない角が等しい | 一般にはいえない | 相似条件の角の位置を満たさない |
| 三組の辺の比が全て等しい | いえる | 相似条件を満たす |
| 二組の角がそれぞれ等しい | いえる | 相似条件を満たす |
よくある誤りと直し方
| 誤り | 直し方 |
|---|---|
| 対応順を確認せず△の名前を書く | 等しい角または対応辺から頂点の対応を先に表にする |
| 辺の比を6/4＝9/x＝y/12のように途中で逆にする | 全て「一つ目/二つ目」またはその逆に統一する |
| 二辺の比と任意の角で相似とする | 角が比を比べた二辺の間にあるか確認する |
| 相似比2：3なら面積比も2：3 | 面積比は2²：3²＝4：9 |
| 体積比を二乗する | 体積比は三方向を掛けるため三乗する |
| 図の見た目だけで相似と判断する | 相似条件を満たす根拠を式と角で示す |
確認問題
- △ABC∽△PQRのとき、対応する頂点と辺の比を書きましょう。
- 辺の長さが3、4、5の三角形と、6、8、10の三角形は相似ですか。相似なら相似比も答えましょう。
- 二つの三角形で、ある角がともに50°、その角をはさむ二辺がそれぞれ4、6と6、9です。二つの三角形は相似ですか。
- 二つの三角形で、それぞれ55°の角と70°の角が対応しています。二つの三角形は相似ですか。
- △ABC∽△DEFで、AB＝8、DE＝6、BC＝12です。EFを求めましょう。
- 相似比が3：5の二つの図形があります。小さい図形の面積が27cm²のとき、大きい図形の面積を求めましょう。
- 相似比が2：3で、小さい図形の周の長さが24cmです。大きい図形の周の長さを求めましょう。
- 相似比が2：5の二つの立体があります。小さい立体の体積が64cm³のとき、大きい立体の体積を求めましょう。
- 2直線ACとBDが点Oで交わり、OA/OC＝OB/ODです。△AOBと△CODの相似に使う、辺以外の根拠を答えましょう。
- 辺の長さが5、7、8の三角形と、10、14、17の三角形は相似ですか。
確認問題の解答と考え方
- A↔P、B↔Q、C↔Rです。AB/PQ＝BC/QR＝CA/RPです。
- 3/6＝4/8＝5/10＝1/2なので相似です。小さい三角形：大きい三角形の相似比は1：2です。
- 4/6＝6/9＝2/3で、その間の角が50°で等しいため相似です。相似比は2：3です。
- 二組の角がそれぞれ等しいため相似です。残りの角も55°です。
- 8/6＝12/EFより、EF＝9です。
- 面積比は3²：5²＝9：25です。27×（25/9）＝75なので75cm²です。
- 周の長さの比は相似比と同じ2：3です。24×（3/2）＝36なので36cmです。
- 体積比は2³：5³＝8：125です。64×（125/8）＝1000なので1000cm³です。
- ∠AOB＝∠CODです。対頂角は等しいことを使います。
- 5/10＝7/14＝1/2ですが、8/17≠1/2です。三組の辺の比が全て等しくないため、相似ではありません。
まとめ
- 相似な図形では、対応する角が等しく、対応する辺の比が全て等しい。
- 相似の記号では、対応する頂点を同じ順に並べる。
- 三角形の相似条件は、三辺、二辺とその間の角、二角の三つ。
- 証明では、根拠を示して相似条件を明記し、対応順どおりに結論を書く。
- 相似比m：nなら、周の比はm：n、面積比はm²：n²、体積比はm³：n³。
- 図の見た目ではなく、相似条件を満たす数学的根拠で判断する。
相似を使う具体問題
学習範囲の根拠
本記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」の第3学年「図形」にある、相似な図形の性質、三角形の相似条件、相似の意味と証明、相似比と面積比・体積比の関係に沿って構成しています。
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