数列は、一定の規則に従って並ぶ数の列です。数学Bでは、各項を表す一般項、初項からの合計、隣り合う項の関係を表す漸化式、命題を証明する数学的帰納法を学びます。このページでは、等差・等比数列、Σ、階差数列、漸化式、数学的帰納法を例題10問で整理します。
数列・一般項・和とは
数列をa1, a2, …と表し、n番目の項anを一般項といいます。初項から第n項までの和はSnで表します。
| 数列 | 一般項 | 初項から第n項までの和 |
|---|---|---|
| 等差数列 | an＝a＋(n－1)d | Sn＝n{2a＋(n－1)d}/2 |
| 等比数列 | an＝arn－1 | Sn＝a(1－rn)/(1－r)（r≠1） |
等差数列は隣り合う項の差が一定、等比数列は隣り合う0でない項の比が一定です。等比数列でr＝1なら、和はnaです。
等差数列：例題1〜2
例題1：一般項と和
解答と解説
和は「項数×（初項＋末項）÷2」で求めます。
したがって、第10項は39、和は210です。
例題2：2つの項から一般項を決める
解答と解説
初項をa、公差をdとします。
2式の差から5d＝15、d＝3です。a＝1となるので、
です。
等比数列：例題3〜4
例題3：一般項と和
解答と解説
したがって、第6項は96、和は189です。
例題4：第何項かを求める
解答と解説
両辺を5で割ると3n－1＝81＝34です。よってn－1＝4なので、第5項です。
Σの基本公式
Σは、決められた範囲の和をまとめて表す記号です。次の3つを基本として、定数を外へ出し、和ごとに分けます。
| 和 | 公式 |
|---|---|
| Σ1 | Σk＝1n1＝n |
| Σk | Σk＝1nk＝n(n＋1)/2 |
| Σk2 | Σk＝1nk2＝n(n＋1)(2n＋1)/6 |
Σと階差数列：例題5〜7
例題5：一次式の和
解答と解説
和を分けます。
答えは145です。
例題6：積を展開してから和を求める
解答と解説
k(k＋1)＝k2＋kと展開します。
答えは440です。
例題7：階差から一般項を求める
解答と解説
n≧2のとき、初項に第1階差から第n－1階差までを足します。
n＝1でも2になるため、
です。
漸化式の基本
漸化式は、前の項を使って次の項を表す式です。最初の数項を書き出して規則を確認し、等差型・等比型・一次の線形漸化式などの型を判断します。
| 形 | 処理 |
|---|---|
| an＋1＝an＋d | 公差dの等差数列 |
| an＋1＝ran | 公比rの等比数列 |
| an＋1＝pan＋q | 定数を足し引きして等比型へ変形 |
漸化式：例題8〜9
例題8：一次の線形漸化式
解答と解説
定数解αはα＝3α＋2よりα＝－1です。両辺に1を加えると、
a1＋1＝3なので、
したがって、an＝3n－1です。
例題9：3項間漸化式
解答と解説
特性方程式r2－3r＋2＝0の解は1、2です。一般項をA＋B·2n－1とおきます。
よってA＝－1、B＝2なので、
です。n＝1、2で初期条件と一致します。
数学的帰納法：例題10
数学的帰納法では、(1)最初の値で成立すること、(2)n＝kで成立すると仮定してn＝k＋1でも成立すること、の2段階を示します。
例題10：奇数の和を証明する
解答と解説
1. n＝1のとき、左辺＝1、右辺＝1で成り立ちます。
2. n＝kで1＋3＋…＋(2k－1)＝k2が成り立つと仮定します。次の奇数2k＋1を加えると、
よってn＝k＋1でも成り立ちます。以上より、すべての自然数nで成立します。
10問の答えと判断ポイント
| 番号 | 答え | 判断ポイント |
|---|---|---|
| 1 | 39、210 | 一般項で末項を求めてから和 |
| 2 | an＝3n－2 | 2式の差で公差を求める |
| 3 | 96、189 | 指数はn－1 |
| 4 | 第5項 | 同じ底の指数へ直す |
| 5 | 145 | 和を分ける |
| 6 | 440 | 積を展開する |
| 7 | 2＋3n(n－1)/2 | 上端はn－1 |
| 8 | 3n－1 | 1を加えて等比型 |
| 9 | 2n－1 | 特性方程式の2解 |
| 10 | すべての自然数で成立 | 初期確認とk→k＋1 |
よくある誤りと直し方
| 誤り | 直し方 |
|---|---|
| 一般項と和の公式を混同する | 「第n項」か「第n項まで」かを確認する |
| 等差・等比の指数をnにする | 初項はn＝1なので指数はn－1 |
| 階差の和を第n項まで足す | 第1項から第n項までの移動はn－1回 |
| 漸化式を変形した後、初項を変えない | 新しい数列の初項を計算し直す |
| 帰納法でn＝1だけ確認する | kで成立する仮定を使い、k＋1を必ず示す |
学習順と関連ページ
- 本記事の例題1〜7で、一般項と和、Σ、階差を固めます。
- 例題8〜10で漸化式と数学的帰納法を確認します。
- 漸化式12パターン完全分類で、分数型・連立型など入試の発展パターンへ進みます。
- 数学Bの総復習15題の問題1〜6で定着を確認します。
- 無限数列・無限級数は、数学III「極限」で学びます。
よくある質問
等差数列と等比数列はどう見分けますか。
隣り合う項の差が一定なら等差数列、0でない隣り合う項の比が一定なら等比数列です。まず差を調べ、次に比を確認します。
一般項と和を区別するコツはありますか。
一般項は第n項そのもの、和は初項から第n項までの合計です。問題文の「第n項」と「第n項まで」に注目します。
漸化式は何から練習すればよいですか。
最初の数項を書き出した後、等差型、等比型、一次の線形漸化式の順で型を練習します。基本が固まったら分数型や3項間漸化式へ進みます。
数学的帰納法で仮定を使う場所が分かりません。
n＝kで成り立つと仮定した式を、k＋1の場合の左辺へ代入します。仮定を使った箇所を明示すると証明の流れが明確になります。
学習指導要領との対応
本記事は、文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」の数学B「数列」に沿い、等差・等比数列、いろいろな数列、漸化式、数学的帰納法を中心に構成しています。
数列では、まず求めるものが一般項か和かを区別します。等差は差、等比は比、Σは分解、階差は第n－1項までの和、漸化式は型の変形が中心です。答えを得たら、n＝1、2、3を代入して元の並びや漸化式と一致するか検算しましょう。
