ベクトルとは｜成分・内積・位置ベクトルの解き方10問

数強塾オリジナル 追加演習4題——座標が与えられていないとき

上の10問には共通点があります。10問とも、数が与えられていることです。成分か座標のどちらかが必ず書いてあり、あとは計算するだけになっています。ところが入試のベクトルは、座標のない図形——「三角形 \(\mathrm{OAB}\) があって、辺の上に点 \(\mathrm{P}\) があって…」——が主戦場です。

そして、その主戦場で使う道具のうち1つは、上の「よくある誤りと直し方」の表が警告しているのに、本文の例題では一度も使われていません。

平行でないベクトルでも係数比較する　→　基準ベクトルが一次独立であることを確認する

係数比較です。表の警告は正しいのですが、係数比較を使う例題が1つもないので、何を、なぜ確認するのかが分かりません。この4題で埋めます。前半2題は「成分がないまま大きさと角を出す」、後半2題は「係数比較と一次独立」です。

追加第1問　成分がないまま、大きさを出す

解答

成分は分かりませんが、内積はもう1つの表し方 \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta\) で出ます（なぜ内積にcosが現れるのか）。

\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot 3\cdot\cos 60^\circ = 3 \]

大きさは、2乗してから展開します。ここが「成分がないとき」の中心です。

\[ \left|\vec{a}+\vec{b}\right|^2 = \left|\vec{a}\right|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^2 = 4+6+9 = 19 \ \Longrightarrow\ \left|\vec{a}+\vec{b}\right| = \sqrt{19} \]
\[ \left|2\vec{a}-\vec{b}\right|^2 = 4\left|\vec{a}\right|^2-4\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^2 = 16-12+9 = 13 \ \Longrightarrow\ \left|2\vec{a}-\vec{b}\right| = \sqrt{13} \]

検算

成分を自分で置いて確かめられます。\(\vec{a} = (2,\ 0)\) とすると、なす角 \(60^\circ\)・大きさ \(3\) から \(\vec{b} = \left(\dfrac32,\ \dfrac{3\sqrt3}{2}\right)\)。

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\)。○　\(\vec{a}+\vec{b} = \left(\dfrac72,\ \dfrac{3\sqrt3}{2}\right)\) で \(\dfrac{49}{4}+\dfrac{27}{4} = 19\)。○　\(2\vec{a}-\vec{b} = \left(\dfrac52,\ -\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)\) で \(\dfrac{25}{4}+\dfrac{27}{4} = 13\)。○

成分がない問題でも、検算のためだけに成分を置いてよいのがコツです。片方を \(x\) 軸に沿わせると、もう一方は \(\left(\left|\vec{b}\right|\cos\theta,\ \left|\vec{b}\right|\sin\theta\right)\) で置けます。答案には書きませんが、手元では必ずこれで確かめてください。

追加第2問　逆に、大きさからなす角を出す

解答

追加第1問と同じ展開を、今度は逆向きに読みます。

\[ \left|\vec{a}+\vec{b}\right|^2 = \left|\vec{a}\right|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^2 \ \Longrightarrow\ 7 = 1+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+4 \]

よって \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\)。ここから角に戻します。

\[ \cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|} = \frac{1}{1\cdot 2} = \frac12 \ \Longrightarrow\ \theta = 60^\circ \]

検算

\(\vec{a} = (1,\ 0)\)、\(\vec{b} = \left(1,\ \sqrt3\right)\) と置くと \(\left|\vec{b}\right| = 2\)、なす角は \(60^\circ\)。\(\vec{a}+\vec{b} = \left(2,\ \sqrt3\right)\) で大きさの2乗は \(4+3 = 7\)。○　例題5と同じ図ですが、与えられているものと聞かれているものが入れかわっています。

もう1つ、答えの妥当さも見ておきます。\(\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right| = 3\)、\(\left|\left|\vec{b}\right|-\left|\vec{a}\right|\right| = 1\) なので、\(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\) は必ず \(1\) 以上 \(3\) 以下。\(\sqrt7 \fallingdotseq 2.65\) はその範囲にあります。○　この範囲外の値が与えられた問題は、そもそも成り立ちません。

追加第3問　係数比較で交点を求める（表が警告している技法）

解答

まず \(\mathrm{M}\) と \(\mathrm{P}\) を \(\vec{a},\ \vec{b}\) で書きます。内分は比の数字が反対側に掛かる、たすき掛けです（例題7）。

\[ \overrightarrow{\mathrm{OM}} = \frac{1\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}}{3} = \frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3},\qquad \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac34\,\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \frac{\vec{a}+2\vec{b}}{4} \]

次に、\(\mathrm{Q}\) を2通りに表します。ここが型です。

・\(\mathrm{Q}\) は辺 \(\mathrm{OB}\) 上なので、実数 \(t\) を使って \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = t\vec{b}\)。

・\(\mathrm{Q}\) は直線 \(\mathrm{AP}\) 上なので、実数 \(s\) を使って

\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \vec{a}+s\left(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{a}\right) = \vec{a}+s\left(-\frac34\vec{a}+\frac12\vec{b}\right) = \left(1-\frac{3s}{4}\right)\vec{a}+\frac{s}{2}\,\vec{b} \]

ここで係数比較です。\(\mathrm{O},\ \mathrm{A},\ \mathrm{B}\) は三角形をなすので \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は平行でなく、一次独立。だから同じベクトルの表し方は1通りしかなく、係数どうしを比べてよい——この一言を答案に書きます。表が「確認する」と言っているのは、これです。

\(t\vec{b} = \left(1-\dfrac{3s}{4}\right)\vec{a}+\dfrac{s}{2}\vec{b}\) の係数を比べて

\[ 1-\frac{3s}{4} = 0,\qquad \frac{s}{2} = t \]

前者から \(s = \dfrac43\)、これを後者に入れて \(t = \dfrac23\)。よって

\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac23\,\vec{b} \]

検算

座標を入れます。\(\mathrm{O}(0,\,0)\)、\(\mathrm{A}(3,\,0)\)、\(\mathrm{B}(0,\,3)\) とすると \(\mathrm{M}(1,\,2)\)、\(\mathrm{P}\left(\dfrac34,\ \dfrac32\right)\)。

直線 \(\mathrm{AP}\) 上の点は \(\left(3-\dfrac94 s,\ \dfrac32 s\right)\) と書けて、\(x = 0\) となるのは \(s = \dfrac43\)。このとき \(y = 2\) なので \(\mathrm{Q}(0,\,2)\)。たしかに \(\dfrac23\vec{b} = \dfrac23(0,\,3) = (0,\,2)\)。○

ベクトルの答えは、都合のよい座標を1組入れれば必ず検算できます。直角二等辺にとると計算が軽くなります。

追加第4問　一次独立でないと、何が起きるのか

解答

(1) \(\vec{b} = 2\vec{a}\) なので、\(x\vec{a}+y\vec{b} = (x+2y)\vec{a}\)。これが \(\vec{0}\) になるのは \(x+2y = 0\) のときで、たとえば

\[ (x,\ y) = (2,\ -1) \]

(2) 同じく \(x\vec{a}+y\vec{b} = (x+2y)\vec{a}\) で、\(\vec{p} = 3\vec{a}\) ですから \(x+2y = 3\) をみたす \((x,\,y)\) すべてが答えになります。

4組とも \((3,\,6)\) になります。表し方が1通りに決まらない——だから係数比較ができません。

検算と対比

一次独立な組で同じことをしてみます。\(\vec{a} = (1,\,2)\)、\(\vec{b}’ = (2,\,1)\) なら、\(x\vec{a}+y\vec{b}’ = (x+2y,\ 2x+y) = (3,\,6)\) から

\[ x+2y = 3,\qquad 2x+y = 6 \]

この連立の解は \(x = 3,\ y = 0\) の1通りだけです。○　\(\vec{b}’\) は \(\vec{a}\) の実数倍ではないので、平行ではありません。

例題9では「\(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) だから平行、だから一直線上」と結論しました。一次独立は、その裏返しです——実数倍で書けないこと、つまり \(\mathrm{O},\ \mathrm{A},\ \mathrm{B}\) が一直線上にないこと。「三角形 \(\mathrm{OAB}\) において」と問題文にあれば、それだけで一次独立が保証されています。だから答案では「三角形をなすので \(\vec{a},\ \vec{b}\) は一次独立」と書けば足ります。

この4題で確認したこと

• 成分がないときは、2乗して展開する。\(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|^2 = \left|\vec{a}\right|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^2\) が中心（追加第1問）。
• 同じ式を逆に読めば、大きさからなす角が出る（追加第2問）。与えられるものと聞かれるものが入れかわるだけ。
• 交点は2通りに表して係数比較。1本目は「辺 \(\mathrm{OB}\) 上だから \(t\vec{b}\)」、2本目は「直線 \(\mathrm{AP}\) 上だから \(\vec{a}+s(\cdots)\)」（追加第3問）。
• 係数比較ができるのは、表し方が1通りに決まるときだけ。それが一次独立の意味です（追加第4問）。
• 「三角形 \(\mathrm{OAB}\) において」の一言が、一次独立の根拠になる。答案にはそう書く。
• 成分のない問題でも、手元では成分や座標を置いて検算してよい。答案に書かなければよいだけです。

この型をまとめて練習するなら、ベクトルの図形への応用の解法パターン全14型（交点・係数比較はここが本体です）、平面ベクトルの解法パターン全13型、手を動かす側は ベクトル（基本）の特訓道場｜成分と内積で解く20題、空間へ広げるなら 空間ベクトルの解法パターン全12型 と 空間ベクトルの特訓道場 へ。

道具の「なぜ」は、なぜ内積にcosが現れるのか、なぜ内積が0なら垂直なのか、なぜベクトルの和は平行四辺形になるのか、なぜ三角形の重心は中線を2:1に分けるのか にまとめてあります。

数学Cの続きは 二次曲線、複素数平面 へ。