東京都市大学付属中学校 2024年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

東京都市大学付属中学校 2024年度（一般第1回）算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算を行い、さらに公式の模範解答と照合して全問一致を確認しています）。問題文・図版の転載はしていませんので、問題は東京都市大学付属中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（小問集合）　答：問1 6/5（1.2）　問2 788.8m　問3 3600円　問4 45分後　問5 4列目　問6 138　問7 8cm　問8 157/3（52と1/3）cm³

逆算・単位換算・比・速さ・数の並び・循環小数・図形・回転体と、受験算数の基本が幅広く並ぶ小問集合です。ここを取りこぼさないことが合格ラインの土台になります。

問1（逆算）：3 − 2と1/4 ÷ ｛ 2/5 + □ × 2/3 ｝ = 1と1/8 の □ を求めます。

【📖大切な考え方】逆算は「いちばん外側の計算から順にはがす」のが定石です。帯分数は仮分数に直しておくと約分が効きます。

解答：2と1/4 ÷ ｛…｝ = 3 − 1と1/8 = 1と7/8 = 15/8。
よって ｛…｝ = 9/4 ÷ 15/8 = 9/4 × 8/15 = 6/5。
2/5 + □ × 2/3 = 6/5 より □ × 2/3 = 6/5 − 2/5 = 4/5、□ = 4/5 × 3/2 = 6/5（＝1.2）。

問2（単位換算）：1.6km − 100000mm − 894m + 18280cm = □ m の □ を求めます。

【👀ここに注目】すべて m にそろえるのが近道です。1km＝1000m、1000mm＝1m、100cm＝1m を使います。

解答：1.6km＝1600m、100000mm＝100m、18280cm＝182.8m。
1600 − 100 − 894 + 182.8 = 788.8m。

問3（比の文章題）：A君とB君のはじめの所持金の比が5:2で、A君が1500円、B君が240円使うと残りの比が7:4になりました。A君のはじめの所持金を求めます。

【📖大切な考え方】比の①をそろえて、片方を消す（消去算）と見通しがよくなります。はじめを5:2として式に表します。

解答：はじめをA＝5、B＝2とおくと、（5−1500）:（2−240）＝7:4。
内項と外項の積が等しいので 4×（5−1500）＝7×（2−240）、20−6000＝14−1680、6＝4320、1＝720。
A君のはじめの所持金＝5×720＝3600円。

【✅検算】B＝2×720＝1440円。使った後は A＝2100円、B＝1200円で、2100:1200＝7:4。条件に一致します。

問4（速さ・追いつき）：同じ地点PからA君（歩き）、その10分後にB君（走り）、そのさらに20分後にC君（自転車）が同じ向きに一定の速さで進みます。A君が歩き始めて24分後にB君がA君に追いつき、さらに16分後にC君がA君に追いつきました。B君がC君に追いつかれるのは、A君が歩き始めてから何分後かを求めます。

【👀ここに注目】追いつく問題は「同じ道のりを、かかった時間で割る」と速さの比が出ます。3人の速さを比でそろえるのが糸口です。

解答：A君の速さを毎分①とします。
B君は10分後に出発し、A君が歩き始めて24分後（B君は14分進んだ時点）に、A君の進んだ24①に追いつくので、B君の速さ＝24①÷14分＝12/7①。
C君は30分後に出発し、40分後（C君は10分進んだ時点）に、A君の進んだ40①に追いつくので、C君の速さ＝40①÷10分＝4①。
B君とC君が同じ位置に来るのを求めます。歩き始めてt分後、B君は 12/7①×(t−10)、C君は 4①×(t−30) 進むので、
12/7×(t−10)＝4×(t−30)、両辺を7倍して 12(t−10)＝28(t−30)、12t−120＝28t−840、16t＝720、t＝45分後。

問5（数の並び）：1から順に整数を、1行目1・4・9・16…、2行目2・3・8・15…、3行目5・6・7・14…、4行目10・11・12・13…と、正方形状に並べます。104は何列目かを求めます。

【📖大切な考え方】1行目にはn列目にn×nがくる、という規則があります。各L字（かぎ形）のかたまりは、(n−1)×(n−1)＋1 から n×n までで、そのかたまりのはじめの数は「n行目・1列目」に置かれます。

解答：104は 10×10＝100 と 11×11＝121 の間なので、11番目のL字（101〜121）に入ります。
このかたまりは、まず11行目を1列目から101・102・103…と右へ進み、n列目（11列目）まで来たあと、その列を上へ121まで進みます。
11行目1列目＝101なので、104＝100＋4は 11行目の4列目、すなわち 4列目 にあります。

問6（循環小数）：43/135 を小数で表したとき、小数第1位から第30位までの30個の数字をすべて足した和を求めます。

【👀ここに注目】分数を割り算に直すと、あまりが繰り返す＝循環がはじまります。循環の周期を見つけて、30個ぶんをまとめて数えます。

解答：43÷135＝0.3185185185…で、小数第1位が3、そのあと「185」が繰り返します（0.3185…）。
第2位から第30位までの29個は「185」の並びです。29＝3×9＋2なので、「185」が9周期（27個）と、さらに1・8の2個が続きます。
和＝3 ＋ (1＋8＋5)×9 ＋ (1＋8)＝3 ＋ 14×9 ＋ 9＝3 ＋ 126 ＋ 9＝138。

問7（面積比と長方形）：3つの長方形ア・イ・ウを組み合わせた図で、アの上辺7cm、右側の高さ10cm、イの下辺と上側にそれぞれ14cmが与えられ、（アの面積）:（イの面積）:（ウの面積）＝3:4:6のとき、ウの左側の高さ x を求めます。

【📖大切な考え方】面積の比を、共通する辺（横はば）を手がかりに高さの比へおきかえるのが急所です。まず右側の10cmが、アの高さとイの高さの合計であることを読み取ります。

解答：アの横はばは7cm、イの横はばは14cm。図の上側の14cmから、ウの横はばは 14 − 7 ＝ 7cm と決まります。
右側の10cm＝（アの高さ）＋（イの高さ）。ア:イ＝3:4で、ア＝7×（アの高さ）、イ＝14×（イの高さ）だから、
7×（アの高さ）:14×（イの高さ）＝3:4 → （アの高さ）:（イの高さ）＝6:4＝3:2。
合計10cmを3:2に分けて アの高さ＝6cm、イの高さ＝4cm。よって ア＝42cm²、イ＝56cm²（比3:4に一致、1あたり14cm²）。
ウ＝6にあたるので 84cm²。ウの横はばは7cmなので、ウ全体の高さ＝84÷7＝12cm。
ウの上端はイの上辺とそろっているので、xはウの高さからイの高さを引いた分＝12 − 4 ＝ 8cm。

【💡ポイントコラム】面積比の問題は「面積 ＝ 横はば × 高さ」に分解し、そろっている辺を軸に比を移すのがコツです。図の中の同じ長さ（ここでは14cmや7cm）を先に整理すると、道すじが一気に見えてきます。

問8（回転体）：AB＝ACの二等辺三角形ABCを、直線ℓを軸として1回転させてできる立体の体積を求めます（円周率3.14）。図では、頂点Aから底辺BCへの高さが4cm、BからAの真下の点までが2cm、そこから1cmだけ右に軸ℓがあります。

【📖大切な考え方】回転体は「断面の半径」で考えます。軸から各点までの距離を測り、円すいの組み合わせ（大きな円すいから小さな円すいを引く）に直すのが定石です。

解答：Aの真下の点をH（AH＝4cm）とすると、二等辺三角形なのでHはBCの中点、BH＝HC＝2cm。軸ℓはHから1cm右にあります。軸からの距離は、B＝3cm、A＝1cm、C＝1cm（AとBは軸の左、Cは軸の右）です。
辺ABを軸のまわりに回すと、底の半径3cm・上の半径1cmの「円すい台」の外側の面ができます。これは、半径3cmで高さ6cmの大きな円すいから、上の半径1cm・高さ2cmの小さな円すいを取り除いた形です。
大きな円すい＝1/3×3×3×3.14×6＝56.52cm³、上の小円すい＝1/3×1×1×3.14×2＝2.0933…cm³（＝2π/3）。
さらに、辺ACの側では軸の近くに空どうの円すい（半径1cm・高さ2cm）ができ、これも取り除きます（同じく2π/3）。
体積＝18×3.14 −（2/3×3.14）−（2/3×3.14）＝（18 − 4/3）×3.14＝50/3×3.14＝157/3（＝52と1/3）cm³。

【✅検算】断面を高さで分けて確かめると、下側（高さ2cm分）は半径3cm→2cmの円すい台で 38/3×3.14、上側（高さ2cm分）は外半径2cm→1cm・内半径0→1cmの筒状で 4×3.14。合計 (38/3＋4)×3.14＝50/3×3.14＝157/3cm³ となり一致します。

大問2（平行四辺形の面積比）　答：問1 3:7　問2 1:1　問3 7/80

平行四辺形ABCDで、辺AB上にAE:EB＝3:1となる点E、辺BC上にBF:FC＝2:3となる点Fをとります。Eを通り辺BCに平行な直線が、AF・CDと交わる点をそれぞれG・Hとし、AG・AH上に点I・Jをとって、三角形FGH・三角形GHI・三角形HIJの面積がすべて等しくなるように定めます。

【📖大切な考え方】面積の比は形をゆがめても変わらないので、平行四辺形を「たて5・よこ4の長方形」に置きかえて座標で追うと確実です（A(0,0)・B(4,0)・C(4,5)・D(0,5)）。AE:EB＝3:1よりE(3,0)、BF:FC＝2:3よりF(4,2)。EからBCに平行な直線は縦の直線 x＝3 です。

問1（EG:GH）：直線 x＝3 と、AF・CDの交点を求めます。
AFは A(0,0) から F(4,2) へ向かう直線で、x＝3 のとき y＝2×(3/4)＝1.5 なので G(3, 1.5)。
CDは y＝5 の辺なので、x＝3 との交点は H(3, 5)。E(3,0) とあわせて、EG＝1.5、GH＝5 − 1.5＝3.5。
よって EG:GH＝1.5:3.5＝3:7。

問2（AJ:JH）：三角形FGH・GHI・HIJの面積を等しくします。GHは x＝3 上の縦の線分（長さ3.5）で、これを共通の底辺とみると、面積は「GHまでの横のきょり」で決まります。
Fは x＝4 で横のきょり1、面積FGH＝1/2×3.5×1＝1.75。
GHI＝1.75になるには、Iのきょりも（3から）1、つまりI(2, …)。IはAG上（A(0,0)→G(3,1.5)）なので x＝2 のとき y＝1、I(2,1)。
HIJ＝1.75になるJを、AH上（A(0,0)→H(3,5)）でさがすと、Jが AH の真ん中 J(1.5, 2.5) のとき三角形HIJ＝1.75になります。
よって AJ:JH＝1:1。

問3（三角形AIJは平行四辺形の何倍か）：A(0,0)・I(2,1)・J(1.5,2.5) から、三角形AIJの面積＝1/2×|2×2.5 − 1.5×1|＝1/2×|5 − 1.5|＝1.75。
平行四辺形（長方形）の面積は 4×5＝20 なので、1.75 ÷ 20＝7/80（＝0.0875）倍。

【✅検算】三角形FGH・GHI・HIJ・AIJはどれも面積1.75でそろい、条件（3つの三角形が等面積）にも一致します。形をゆがめても面積の比は変わらないため、この 7/80 は元の平行四辺形でもそのまま成り立ちます。

大問3（売上と比・消去算）　答：問1 160杯　問2 2200個　問3 4336個

あるたこ焼き店では、箱Aはたこ焼き8個入りで500円、箱Bは16個入りで800円です。1箱につきジュース1杯をセットにでき、そのとき箱の値段に200円が追加されます（ジュースのみは買えません）。

問1（ジュースの数）：ある日、箱Aが80箱、箱Bが120箱売れ、売上金額の合計は168000円でした。ジュースは何杯売れたかを求めます。

【👀ここに注目】売上をまず「たこ焼きだけの分」と「ジュースの追加分」に分けます。ジュース1杯につき200円が上乗せされる点が糸口です。

解答：たこ焼きだけの売上＝500×80 ＋ 800×120＝40000 ＋ 96000＝136000円。
差の 168000 − 136000＝32000円がジュースの追加分なので、32000 ÷ 200＝160杯。

問2（たこ焼きの個数）：別の日、箱は2種類あわせて200箱売れ、たこ焼きの売上金額の合計（ジュースを除く）は122500円でした。たこ焼きは全部で何個売れたかを求めます。

【📖大切な考え方】箱Aの箱数と箱Bの箱数を、2つの式（箱数の合計・金額の合計）で表し、そろえて引く消去算で求めます。

解答：箱Aをa箱、箱Bをb箱とすると、a＋b＝200、500a＋800b＝122500。
a＝200−b を代入して 500(200−b)＋800b＝122500、100000＋300b＝122500、300b＝22500、b＝75、a＝125。
たこ焼きの個数＝8×125 ＋ 16×75＝1000 ＋ 1200＝2200個。

問3（表からの推理）：また別の日、売上を「たこ焼きのみ」と「セット」に分け、箱A・箱Bごとに数え、合計金額は255000円でした。箱Aのたこ焼きのみを（あ）、箱Aのセットを（い）、箱Bのたこ焼きのみを（う）、箱Bのセットを（え）として、①（あ）:（う）＝3:10、②（う）:（え）＝7:4、③（う）は（あ）と（い）の和より38多い、が分かっています。たこ焼きは全部で何個かを求めます。

【📖大切な考え方】比①②を1つの文字（倍数）でそろえ、金額の式にまとめてから、条件③で1つに決めるのが手順です。値段は、たこ焼きのみが500円・800円、セットが700円・1000円になります。

解答：①②より（あ）:（う）:（え）＝21:70:40（整数にそろえるため7の倍数でとる）。（あ）＝21m、（う）＝70m、（え）＝40m とおきます。
③より 70m＝21m ＋（い）＋ 38 なので（い）＝49m − 38。
金額：500×21m ＋ 700×(49m−38) ＋ 800×70m ＋ 1000×40m＝255000。
10500m ＋ 34300m − 26600 ＋ 56000m ＋ 40000m＝255000、140800m＝281600、m＝2。
よって（あ）＝42、（い）＝60、（う）＝140、（え）＝80。
たこ焼きの個数＝8×(42＋60) ＋ 16×(140＋80)＝816 ＋ 3520＝4336個。

【✅検算】金額は 500×42 ＋ 700×60 ＋ 800×140 ＋ 1000×80＝21000 ＋ 42000 ＋ 112000 ＋ 80000＝255000円。③も 140＝(42＋60)＋38 で成り立ち、条件に一致します。

大問4（円柱と円すいの容積）　答：問1 4/3（1と1/3）倍　問2 54倍

円柱の容器に満水の水を、円すいの容器（先が下）にすべて移すと満水になります。（円柱の底面の半径）:（円すいの底面の半径）＝2:3です。

問1（円すいの高さは円柱の高さの何倍か）：水の量は等しいので、円柱の体積＝円すいの体積です。

【👀ここに注目】円柱＝底面積×高さ、円すい＝底面積×高さ×1/3。半径の比2:3から、底面積の比は4:9になります。

解答：円柱の半径を2、円すいの半径を3とすると、
円柱の体積＝（2×2×円周率）×（円柱の高さ）＝4×円周率×（円柱の高さ）、
円すいの体積＝（3×3×円周率）×（円すいの高さ）×1/3＝3×円周率×（円すいの高さ）。
これらが等しいので 4×（円柱の高さ）＝3×（円すいの高さ）、（円すいの高さ）＝4/3（＝1と1/3）倍。

問2（追加した水は図3の水の何倍か）：円すいの容器（先が下）の1/4の高さまで水が入っています。そこへ円柱の棒を、容器の壁にふれるところまでまっすぐ入れると図3になりました。棒の高さは円すいの容器の高さの3/4倍です。その後、水があふれないように満水まで水を足したとき、追加した水は図3の水の何倍かを求めます。

【📖大切な考え方】先が下の円すいでは、下から高さの割合がkなら、そこまでの水は「小さな円すい」で、体積は full×k×k×k になります。棒がどこで壁にふれて止まるかを、半径の関係から読み取るのが急所です。

解答：数を扱いやすくするため、円すいの高さを4、口（満水面）の半径を4として考えます。満水の体積＝1/3×(4×4)×4×円周率＝64/3×円周率。
① 図3の水：下から1/4の高さ（高さ1）までの小さな円すいです。その半径は口の半径の1/4で1なので、体積＝1/3×(1×1)×1×円周率＝1/3×円周率。
② 棒：下ろすと、棒の底の円が壁にふれる高さで止まります。棒の高さは全体の3/4（＝高さ3）で、上端を口にそろえると底は高さ1の位置。そこの円すいの半径は1なので、棒の半径も1。棒の体積＝(1×1)×3×円周率＝3×円周率。
③ 高さ1より上の部分（あとで水が入る側）＝満水 − 小円すい＝64/3×円周率 − 1/3×円周率＝63/3×円周率＝21×円周率。そのうち棒が3×円周率を占めるので、追加できる水＝21×円周率 − 3×円周率＝18×円周率。
④ 追加した水 ÷ 図3の水＝18×円周率 ÷ (1/3×円周率)＝54倍。

【✅検算】満水を192の目盛りにそろえると、図3の水（相似比1/4の小円すい）＝192×1/64＝3、下から1/4より上の部分＝192 − 3＝189、棒＝189のうち27にあたります。追加できる水＝189 − 27＝162。162 ÷ 3＝54で一致します。

【💡ポイントコラム】円すいは「高さの割合の3乗で体積が決まる」ことが最大の武器です。棒がふれて止まる高さを半径の関係から先に押さえると、残りの空間と棒の体積が同じ目盛りで比べられ、割り算1回で答えにたどり着けます。

大問5（コインのゲーム・場合の数）　答：問1 24通り　問2 ない

A君とB君が、1枚のコインを交互に1回ずつ投げます。ゲームは、どちらかが（自分の投げで）2回続けて表を出すまで続きます。表は3点、裏は1点。A君から投げ始め、2人合わせて9回投げ終わったところでゲームが終わりました。

【📖大切な考え方】まず「だれが何回投げたか」を整理します。A君は1・3・5・7・9回目（5回）、B君は2・4・6・8回目（4回）を投げます。9回目はA君の投げで、ここでゲームが終わったので、ゲームを終わらせたのはA君です。

問1（表裏の出方は何通りか）：9回目で終わったのはA君なので、A君の投げのうち「7回目と9回目が続けて表」です。
それより前で終わっていないためには、A君の5回目は裏でなければなりません（5回目・7回目が表表だと7回目の投げで終わってしまうため）。A君の1回目・3回目は、続けて表表にならなければよく、（裏裏）（裏表）（表裏）の3通り。
B君（4回）は、続けて表表を出していない（出していれば途中でB君が終わらせてしまう）並びなので、表表を含まない4回ぶんの出方＝8通り。
よって 3 × 8 ＝ 24通り。

問2（B君がA君より高得点になる可能性はあるか）：ない、が答えです。

【👀ここに注目】終わり方から、それぞれの得点の「最低」「最高」を見積もると、比べるまでもなく決着します。

理由：ゲームを終わらせたA君は、7回目・9回目が表なので、少なくとも表2回。A君は全部で5回投げるので、最も低くても「表2回・裏3回」で 3×2＋1×3＝9点以上になります。
一方B君は4回しか投げず、しかも続けて表表を出すとその時点でB君が終わらせてしまうため、表は最も多くても2回（表が続かないように置ける最大）。よってB君は最も高くても「表2回・裏2回」で 3×2＋1×2＝8点までです。
A君は9点以上、B君は8点以下なので、B君の得点がA君を超えることはありません。

【💡ポイントコラム】場合の数と勝敗の問題は「終了条件から逆に読む」のが定石です。だれが終わらせたか、その人は何回投げたかを押さえると、数え上げも大小比べも一気に整理できます。

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