東京都市大学付属中学校 2025年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

東京都市大学付属中学校 2025年度（一般第1回）算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算を行い、さらに公式の模範解答と照合して全問一致を確認しています）。問題文・図版の転載はしていませんので、問題は東京都市大学付属中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（小問集合）　答：問1 3/20（0.15）　問2 281L　問3 224ページ　問4 700秒　問5 17人　問6 5個　問7 2.28cm²　問8 作図

逆算・単位換算・還元算・速さ・整数・図形と、受験算数の基本が一通り並ぶ小問集合です。ここを落とさないことが合格ラインの土台になります。

問1（逆算）：1と1/6 ÷ ｛ 20.25 − 2×( 2.1 + □ ) ｝ = 2/27 の □ を求めます。

【📖大切な考え方】逆算は「いちばん外側の計算から順にはがす」のが定石です。1と1/6 を仮分数 7/6 に直しておくと約分が効きます。

解答：7/6 ÷ （中身） = 2/27 なので、中身 = 7/6 ÷ 2/27 = 7/6 × 27/2 = 63/4 = 15.75。
20.25 − 2×( 2.1 + □ ) = 15.75 より 2×( 2.1 + □ ) = 4.5、2.1 + □ = 2.25、□ = 0.25 − 0.1 = 0.15 = 3/20。

問2（単位換算）：0.92m³ − □L − 5900dL = 49000cm³ の □ を求めます。

【👀ここに注目】単位を L にそろえるのが近道です。1m³ = 1000L、1dL = 0.1L、1000cm³ = 1L を使います。

解答：0.92m³ = 920L、5900dL = 590L、49000cm³ = 49L。
920 − □ − 590 = 49 より □ = 920 − 590 − 49 = 281L。

問3（還元算）：全体を、1日目に全体の3/14より1ページ多く、2日目に残りの2/5より1ページ少なく、3日目に残りの1/2より3ページ多く読み、4日目に50ページを読んでちょうど読み終えたときの、全体のページ数を求めます。

【📖大切な考え方】「残りの○分の△」が続く問題は、最終日から逆に戻すのが定石です。読んだあとの残りを式で表し、4日目の50から順にさかのぼります。

解答：
3日目の読み方は「残りの1/2より3ページ多く」なので、読んだあとの残り＝（3日目開始時の残り）×1/2 − 3。これが50だから、3日目開始時の残り＝(50+3)×2 = 106ページ。
2日目は「残りの2/5より1ページ少なく」読むので、読んだあとの残り＝（2日目開始時の残り）×3/5 + 1 = 106。よって 2日目開始時の残り＝(106−1)×5/3 = 175ページ。
1日目は「全体の3/14より1ページ多く」読むので、読んだあとの残り＝全体×11/14 − 1 = 175。よって 全体×11/14 = 176、全体 = 176 × 14/11 = 224ページ。

問4（速さ・倍速）：ある動画をA君は1.75倍速、B君は1.25倍速で同時に見始めたところ、A君の方が2分40秒早く見終わりました。もとの速さで見ると何秒かかるかを求めます。

【👀ここに注目】見終わるまでの時間は速さに反比例します。方程式を立てなくても、比だけで解けます。

解答：速さの比は 1.75 : 1.25 = 7 : 5。かかる時間はその逆比で 5 : 7。差の 7 − 5 = 2 が 2分40秒 = 160秒にあたるので、1 は 80秒。A君の視聴時間＝5×80 = 400秒。もとの長さ＝400 × 1.75 = 700秒。

【✅検算】B君は 700 ÷ 1.25 = 560秒、A君は 700 ÷ 1.75 = 400秒で、差は 560 − 400 = 160秒 = 2分40秒。一致します。

問5（あまりが等しい）：何人かの子どもに、ノート60冊・消しゴム94個・えんぴつ145本を同じ数ずつ配ったところ、ノートも消しゴムもえんぴつも、残った数がすべて同じでした。人数を求めます。

【📖大切な考え方】あまりが等しいとき、配った数の「差」は人数の倍数になります。差の公約数を調べるのが定石です。

解答：94 − 60 = 34、145 − 94 = 51。人数は 34 と 51 の公約数です。34 = 2×17、51 = 3×17 なので公約数は 1 と 17。あまりが出る設定なので人数は 17人。実際、60 = 17×3 + 9、94 = 17×5 + 9、145 = 17×8 + 9 で、あまりはすべて9でそろいます。

問6（条件整理）：1個80円・50円・30円のお菓子を買い、30円のお菓子は50円のお菓子より多く、かつ80円のお菓子の個数の3倍買い、代金の合計が1950円でした。50円のお菓子を何個買ったかを求めます（消費税は考えません）。

【👀ここに注目】30円の個数＝80円の個数の3倍、という関係を先に使うと、80円と30円をまとめて1種類のように扱えます。

解答：80円を（あ）個、50円を（い）個とすると、30円は（あ）×3個。
代金は 80×（あ） + 50×（い） + 30×（あ×3） = 170×（あ） + 50×（い） = 1950。両辺を10で割って 17×（あ） + 5×（い） = 195。
5×（い） = 195 − 17×（あ）が0以上の5の倍数になるのは（あ）が5の倍数のとき。（あ）＝5だと（い）＝22、30円＝15個で「30円＞50円」に反します。（あ）＝10だと（い）＝(195−170)÷5 = 5個、30円＝30個で30＞5を満たします。

問7（三角形と半円）：三角形とその1辺を直径とする半円を組み合わせた図で、45°と30°の角、底辺8cmが与えられ、斜線部分の面積を求めます（円周率3.14）。

【📖大切な考え方】半円の直径に対する角は必ず直角（直径に対する円周角は90°）という性質を使うのが急所です。直線が半円と交わる点で直角ができ、30°・45°の直角三角形が現れます。

解答：45°の頂点をA、その下の頂点をB（ABが直径）、30°の頂点をCとし、直線ACが半円と交わる点をMとします。
・直径ABに対する円周角なので ∠AMB = 90°、つまり BM は AC に垂直です。
・三角形BMCは∠C = 30°、∠BMC = 90°の直角三角形で、30°の向かいの辺は斜辺の半分だから BM = 8 ÷ 2 = 4cm。
・三角形ABMは∠A = 45°、∠AMB = 90°の直角二等辺三角形なので AM = BM = 4cm、直径 AB = 4×√2cm、半径 = 2×√2cm。
・弦AMに対する円周角 ∠ABM = 45° なので、中心から見た中心角は90°。斜線部分は、弦AMで切り取られる弓形（半円のうち直線ACの外側）です。
・半径×半径 = 2×√2 × 2×√2 = 8。おうぎ形（中心角90°）＝ 8 × 3.14 × 90/360 = 6.28cm²、直角二等辺三角形（直角をはさむ2辺が半径）＝ 8 ÷ 2 = 4cm²。
・弓形＝6.28 − 4 = 2.28cm²。

【💡ポイントコラム】「半円＋斜めの直線」を見たら、まず直径に対する直角を探すのが合言葉です。直角さえ作れれば、30°・45°の直角三角形の辺の比（1:2、1:1:√2）で長さが一気に決まります。

問8（円すいの展開図・作図）：母線12cm、底面の直径AB = 8cmの円すいに、Aから再びAへ、Bから再びBへ最短距離でひもをかけたときの側面の斜線部分を、展開図にかく作図問題です。

【📖大切な考え方】側面の展開図はおうぎ形になり、その中心角は「底面の円周 ÷ 母線を半径とする円周 × 360°」で求まります。ひもの最短経路は、展開図の上ではまっすぐな直線になります。

解答（考え方）：底面の半径は4cm、円周は 2×4×3.14 = 8×3.14。側面のおうぎ形は半径12cm、中心角は 360° × (8×3.14) ÷ (2×12×3.14) = 360° × 8 ÷ 24 = 120°。展開図上でAどうし・Bどうしを結ぶ直線を引くと、その2本の直線と底面側の弧で囲まれた部分が斜線部分となります。答えは解答用紙の展開図にかき込む作図です。

大問2（面積比・三角形の分割）　答：問1 2と1/7（15/7）cm²　問2 5と41/42（251/42）cm²

三角形ABPが5cm²、BCPが4cm²、CAPが3cm²で、点Pを通る3本の直線が各辺と点D（BC上）・E（CA上）・F（AB上）で交わる図です。全体の面積は 5 + 4 + 3 = 12cm²です。

【📖大切な考え方】「1つの頂点から引いた直線が対辺を分ける比＝その線で分けた2つの三角形の面積比」を使うのが定石です。辺の分け方の比が出れば、面積はその比で配分できます。

問1（三角形AFP）：Fは頂点Cから点Pを通る直線がABと交わる点です。
このとき AF : FB = 三角形CAP : 三角形CBP = 3 : 4。三角形ABP（＝5）を、AFPとFBPは高さが共通なので AF : FB = 3 : 4 に分けます。
三角形AFP = 5 × 3/(3+4) = 15/7 = 2と1/7 cm²。

問2（AFP＋BDP＋CEPの合計）：同じ考え方を3か所に使います。
・Dは頂点Aから引いた直線とBCの交点なので BD : DC = 三角形ABP : 三角形ACP = 5 : 3。三角形BCP（＝4）を分けて BDP = 4 × 5/8 = 5/2。
・Eは頂点Bから引いた直線とCAの交点なので CE : EA = 三角形CBP : 三角形ABP = 4 : 5。三角形CAP（＝3）を分けて CEP = 3 × 4/9 = 4/3。
・問1より AFP = 15/7。
合計 = 15/7 + 5/2 + 4/3 = 90/42 + 105/42 + 56/42 = 251/42 = 5と41/42 cm²。

【✅検算】3つの分割の残り（FBP、DCP、EAP）も同様に求めて全体12cm²から引くと、やはり 251/42 cm² になり一致しました。

大問3（比と消去算）　答：問1 8400g　問2 215枚

お好み焼きAは肉60g・キャベツ80g、Bは肉140g・キャベツ100gを使います。

問1：1日目にA・B合わせて210枚作り、（Aで使った肉）:（Bで使った肉）＝6:7でした。Aで使った肉の量を求めます。

【👀ここに注目】枚数の比を先に出します。Aをa枚、Bをb枚とすると、肉の量の比は 60×a : 140×b = 6 : 7。

解答：60a : 140b = 6 : 7 より 60a×7 = 140b×6、420a = 840b、a : b = 2 : 1。合わせて210枚だから a = 210 × 2/3 = 140枚。Aで使った肉＝60 × 140 = 8400g。

問2：2日目、肉はA・Bそれぞれちょうど200枚ずつ作れる分量、キャベツはそれより1300g少ない分量があり、これらを余らせず全部使ってA・Bを作りました。作ったBの枚数を求めます。

【📖大切な考え方】まず持っている肉とキャベツの重さを数値にして、2つの材料それぞれで式を作り、消去算（そろえて引く）で1つの数を消すのが定石です。

解答：肉＝200×60 + 200×140 = 40000g。キャベツ＝(200×80 + 200×100) − 1300 = 36000 − 1300 = 34700g。
Aをx枚、Bをy枚として、
肉：60x + 140y = 40000 → 両辺÷20 → 3x + 7y = 2000。
キャベツ：80x + 100y = 34700 → 両辺÷20 → 4x + 5y = 1735。
xの係数をそろえます。上の式×4 → 12x + 28y = 8000、下の式×3 → 12x + 15y = 5205。差を取ると 13y = 2795、y = 215枚。

【✅検算】y = 215 のとき x = (2000 − 7×215)/3 = (2000 − 1505)/3 = 165枚。キャベツは 80×165 + 100×215 = 13200 + 21500 = 34700g で条件に一致します。

大問4（立体図形・半正多面体）　答：問1 23倍　問2 正六角形　問3 26と2/3（80/3）cm³

【図1】は1辺2cmの正六角形4個と正三角形3個、【図2】は面積8cm²の正方形3個と正三角形4個を組み合わせた展開図で、それぞれ組み立ててふたのない容器を作ります。

問1：【図1】の容器の容積は、1辺2cmの正四面体の体積の何倍かを求めます。

【📖大切な考え方】正六角形4面＋正三角形4面の立体は「切頂四面体」（正四面体の4つの角を切り落とした形）です。図1はそのうち正三角形が3個なので、ふた1枚を開けた容器にあたり、容積は切頂四面体そのものの体積と考えられます。

解答：1辺2cmの切頂四面体は、1辺6cmの大きな正四面体から、四隅の1辺2cmの小さな正四面体4個を切り落とした形です。
相似比が 1 : 3 なので体積比は 1 : 27。大きな正四面体＝（1辺2cmの正四面体）×27、切り落とす4個＝（同）×4。
容器の容積＝(27 − 4)×（1辺2cmの正四面体）＝ 23倍。

問2：【図2】を組み立てた容器のふち（開いた口）の形を答えます。

【👀ここに注目】正方形と正三角形が交互に並ぶ立体は「立方八面体」です。図2はその半分にあたり、切り口（ふち）は正六角形になります。答えは 正六角形。

問3：問2の容器の容積を求めます。

【📖大切な考え方】立方八面体は「立方体の8つの角を、各辺の中点で切り落とした形」として体積が出せます。正方形の面積から立方体の1辺を逆算するのが糸口です。

解答：正方形の面積が8cm²なので1辺は 2×√2cm。立方体の1辺をLとすると、角を切ったあと各面の中央にできる正方形の1辺は L ÷ √2 で、これが 2×√2 にあたるので L = 2×√2 × √2 = 4cm。
立方八面体の体積＝立方体 − 8個の角（直角をはさむ3辺が2cmの三角すい）＝ 4×4×4 − 8 ×( 2×2÷2 × 2 ÷3 ) = 64 − 8 × 4/3 = 64 − 32/3 = 160/3cm³。
容器はその半分なので 160/3 ÷ 2 = 80/3 = 26と2/3 cm³。

【💡ポイントコラム】半正多面体は「もとの正多面体の角を切る」「大きな立体から欠ける部分を引く」の2通りで体積が出せます。切頂四面体は正四面体から、立方八面体は立方体から攻めると、√を使わずに答えまでたどり着けます。

大問5（場合の数・規則）　答：問1 36通り　問2 15通り　問3 85通り

1〜8のカードを時計回りに円形に並べ、石は1に置きます。サイコロを3回投げ、1回目は右回り、2回目は前回の位置から左回り、3回目は前回の位置から右回りに、出た目だけ石を進めます。止まったカードの数を順にとり、（1回目 ＋ 3回目）÷（2回目）をAとします。

【📖大切な考え方】1回目のカードは「1 ＋ 出た目」で 2〜7 に決まります。2回目・3回目は前の位置からの進み方を、円周上で1つずつ数えるのが基本です。

問1：2回目のカードが1のとき、Aが整数になる目の出方を求めます。
2回目が1なら A＝（1回目＋3回目）÷1 で、必ず整数です。よって「2回目が1になる出方」をすべて数えればよいことになります。
1回目は 1＋（1回目の目）でカードが決まり、そこから左回りにちょうど1へ戻るには、2回目の目＝1回目の目。この組は（目が1〜6の）6通り。3回目の目は1〜6のどれでもよいので6通り。
6 × 6 = 36通り。

問2：2回目のカードが2のとき、Aが整数になる目の出方を求めます。
2回目が2なら A＝（1回目＋3回目）÷2 が整数、つまり「1回目＋3回目が偶数」＝1回目と3回目の偶奇が同じ、が条件です。
2回目が2になるのは、1回目の目が2〜6のとき（2回目の目＝1回目の目−1）で、そのとき1回目のカードは3・4・5・6・7の5通り。3回目のカードは 2＋（3回目の目）で 3〜8。
1回目が奇数（3・5・7）なら3回目も奇数（3・5・7）の3通り、1回目が偶数（4・6）なら3回目も偶数（4・6・8）の3通り。どの場合も3通りずつなので 5 × 3 = 15通り。

問3：Aが整数になる目の出方を全部で求めます。
2回目のカードごとに、（1回目＋3回目）がその数の倍数になる出方を数えて合計します。問1・問2はそのうち2回目が1・2の場合です。同じ数え方を2回目が3〜8の場合にも当てはめると、次のようになります。

合計すると 36 + 15 + 8 + 7 + 6 + 4 + 4 + 5 = 85通り。

【✅検算】6×6×6 = 216通りすべてを書き出して条件を確かめる方法（コンピュータでの全数調査）でも、Aが整数になるのは85通りで、上の表の各欄とも一致しました。

【💡ポイントコラム】場合の数は「割る数（ここでは2回目のカード）で場合分けする」と一気に整理できます。2回目が1のときは必ず整数、というように、条件がゆるくなる場合を先に押さえるのが数え上げのコツです。

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