場合の数と確率 完全攻略｜37項目のエッセンス辞典（オリジナル問題つき）

01　集合の要素の個数基本

エッセンス：「どちらでもない」を数えたくなったら、まず「どちらか」を数えて全体から引く。ベン図は、頭の中の重なりを紙の上に固定する道具。

ド・モルガンの法則 、 は、「どちらでもない＝両方でない」を式にしただけです。

落とし穴：(2) で「9と12の積108の倍数」としてしまう誤り。共通の倍数は最小公倍数の倍数であって、積の倍数ではありません。9と12は互いに素ではないので、ここが必ず割れます。

02　樹形図基本

エッセンス：公式が使えるかどうかを判断する前に、まず少しだけ書き出す。樹形図は答えを出す道具であると同時に、規則を発見する道具です。

数え上げの原則は「もれなく、重複なく」。そのためには、必ず順序を決めて枝を伸ばします。終了条件がある問題では、終わった枝はそこで止めるのが要点です。

落とし穴：「7試合分の勝敗だから 」としてしまう誤り。4勝した時点で試合は終わるので、その後の枝は存在しません。終了条件を無視した枝は、実際には起こらない場合を数えています。

03　和の法則基本

エッセンス：「AまたはB」で、AとBが同時に起こらないとき、足す。同時に起こりうるなら、足してから重なりを引く（→01）。

落とし穴：「和が4の倍数」を「どちらかの目が4の倍数」と読み違える誤り。もう一つは、和が2から12まであるのに和が12の場合を書き忘れること。上限・下限は必ず先に押さえます。

04　積の法則基本

エッセンス：「AもBも」で、Aのどの場合に対してもBの起こり方が同じ数だけあるとき、掛ける。この「どの場合に対しても」が崩れていたら掛けてはいけません。

落とし穴：「大が1のときは中が5通り、大が2のときは……」と場合分けを始めてしまうこと。大の目が何であっても中は必ず5通りだと気づけば、場合分けは不要です。逆に、この均一性が崩れる問題（例：大の目より小さい目、など）では積の法則を使えません。

05　約数の個数と総和応用

エッセンス：約数を作る行為は、素因数ごとに「何個使うか」を独立に選ぶこと。だから積の法則がそのまま効きます。

（p, q, r は異なる素数）と素因数分解できるとき

落とし穴：指数に +1 を足し忘れること。0個使う（＝その素因数を含まない）場合があるので、選択肢は 個ではなく 個です。総和の式でも先頭の 1 がこれに当たります。

06　順列 nPr基本

エッセンス：順列は「選んで、さらに並べる」。だから順序を変えたら別物として数えます。

掛ける数の個数は 個。ここを数え間違えるのが最も多いミスです。

落とし穴： と5つ掛けてしまう誤り。並べる場所の数だけ掛けると覚えます。場所が4つなら因数も4つです。

07　順列（人の並び）頻出

エッセンス：条件があるものを先に処理するのが鉄則。「隣り合う」はひとまとめ、「両端」は先に置く、「交互」は片方を先に並べて間に入れる、「少なくとも」は余事象。

落とし穴：(1) でまとまりの中の並べ替え を掛け忘れるのが最多のミス。(3) では「大人1人と子ども1人をペアにする」発想が誤り（誰と誰が組むかは決まっていません）。(4) を直接数えようとすると「2人だけ続く／3人だけ続く／…」と場合が爆発します。「少なくとも」を見たら余事象を反射にしてください。

08　順列（数字の並び）頻出

エッセンス：整数を作る問題の第一関門は「最高位に0は置けない」。第二関門は倍数判定、第三関門は「小さい順に何番目か」＝それより小さいものを数えること。

落とし穴：(1) を としてしまう誤り。これには 012 のような先頭が0のものが混ざります。(2) では下2桁に0を含むかどうかで百の位の選択肢の数が変わることに気づかず、一律に3通りとしてしまうミスが起きます。(3) は「421を含めるか」で1ずれます。「より小さいものの個数＋1」と手順を固定してください。

09　円順列頻出

エッセンス：円順列は回転して一致するものを同じとみなす並べ方。だから「1つ固定して、残りを1列に並べる」。これが の正体です。

落とし穴：(2) で「先生を1列に並べて 」としてしまう誤り。先に並べる方も円形なので です。ここで一方だけ円順列にすることが、交互の円順列の核心です。

10　じゅず順列補足

エッセンス：ネックレスのように裏返しても同じとみなすなら、円順列をさらに2で割る。

落とし穴：円卓の座り方に2で割ってしまうこと。人は裏返らないので、座席の問題は円順列のままです。「持ち上げてひっくり返せる物か」で判断します。

11　重複順列頻出

エッセンス：同じものを何度使ってもよいなら、毎回すべての選択肢が復活する。だから 。「r個の箱それぞれにn通り」と読むのがコツです。

落とし穴：(2) で「箱の側から数える」と にたどり着けません。数えるのは玉の側（玉1個ごとに行き先を選ぶ）です。「どちらにも少なくとも1個」という条件は空箱を作る2通りを引くだけ、と即断できるようにします。

12　支払いに関する場合の数応用

エッセンス：硬貨ごとに「作れる金額の種類」を数えて掛ける。ただし金額に重複が出ないかを必ず確認し、最後に「0円（1枚も使わない）」を除く。

落とし穴：「0円を引く」を忘れるのが定番。しかしより深刻なのは重複の確認を飛ばすことです。たとえば10円硬貨が10枚以上あると、10円×10枚と100円×1枚が同じ金額になり、積の法則が成り立たなくなります。掛ける前に、下位の硬貨の合計が上位1枚に届かないかを見るのが手順です。

13　同じものを含む順列頻出

エッセンス：いったん全部を区別して と数え、区別できない分だけ割り戻す。同じものが p 個あれば、その p 個の並べ替え は全部同じ並びなので で割ります。

落とし穴：(2) や (4) で、まとめた文字の中の並べ替えを掛けてしまう誤り。同じ文字どうしは並べ替えても区別がつかないので、ここでは掛けません（07(1)の大人・子どもとは逆です）。(3) では隙間の数を4と数えるミスが多発します。4文字の並びに対して隙間は両端を含めて5か所です。

14　最短経路頻出

エッセンス：最短経路は「→」と「↑」の文字列の並べ替え。地図の問題を、同じものを含む順列に翻訳します。

途中の点を経由する場合は、区間ごとに数えて積の法則。「〜を通らない」は（全体）−（通る）。

落とし穴：「区画の数」と「格子点の数」の取り違え。数えるのは進む回数（区画数）です。また (エ) のように条件が二重になったら、まずゆるい方（Cを通る）を確定させてから、その中で引くと混乱しません。

15　組合せ nCr基本

エッセンス：組合せは「選ぶだけ、並べない」。順列を、選んだ 個の並べ替え で割ったものです。

は「使う 個を選ぶ＝使わない 個を選ぶ」という言い換えです。計算を軽くする道具でもあります。

落とし穴：(ウ) を のまま13個の積で計算しようとすること。 が の半分を超えたら に置き換えるのが定石です。(2) の後半を「女子1人＋残り3人」と数えると同じ選び方を何重にも数えることになります（→17を参照）。

16　図形と組合せ頻出

エッセンス：「一直線上にない3点を選ぶ＝三角形が1つ決まる」「2点を選ぶ＝線分が1本決まる」。図形を作る行為を、点を選ぶ行為に翻訳します。

落とし穴：[2] で「6頂点から自由に1個」として としてしまう誤り。これでは2辺を共有する三角形を2回ずつ数えています。実際 となり、ちょうど二重計上分だけ多いことが確認できます。

17　組合せと和の法則・積の法則頻出

エッセンス：「〜以上」「〜以下」が出たら場合を分けて足す。分けた各場合の中では積の法則を使い、約分は最後にまとめて行うと計算が軽くなります。

落とし穴：「中学生を1人先に確保してから、残り4人を11人から自由に選ぶ」という数え方（）。これはどの中学生を先に確保したかで同じ組を何度も数えます。「先に1人確保」は原則として誤りだと覚えてください。また、条件を満たさない場合（ここでは高校生5人）を除き忘れるミスも定番です。

18　組分けの総数最重要

エッセンス：組分けで決定的なのは「組に区別がつくかどうか」。①人数が全部違えば区別がつく。②A・B・Cと名前がつけば区別がつく。③同じ人数で名前がない組どうしは区別がつかないので、その組の個数の階乗で割る。

落とし穴：(3) で割り忘れる、(4) で で割ってしまう（区別がつかないのは2人の組2つだけなので ）。割るのは「同じ人数の、名前のない組」の個数の階乗です。判定手順を「①人数を見る → ②名前を見る → ③同じ人数で名前なしの組が何個あるか数える」と固定してください。

19　重複組合せ最重要

エッセンス：同じものを繰り返し選んでよい組合せ。「○」と「仕切り｜」の並べ替えに翻訳します。n種類に分けるには仕切りは 本です。

たとえば A, B, C の3種類から6個選ぶなら、○6個と｜2本の計8個の順列。「A2個、B1個、C3個」は ○○｜○｜○○○ に対応します。

落とし穴：仕切りの本数を種類数と同じ4本にしてしまう誤り。4つの部屋を作るのに壁は3枚です。また(イ)で「先に1本ずつ確保する」のがここでは正しいことに注意してください。17では誤りでした。違いは、17では誰を確保したかで区別がつくのに対し、ここでは同じ種類の飲み物に区別がないからです。

20　重複組合せの応用（方程式の整数解）最重要

エッセンス： の整数解の個数は、N個の○を4つの箱に分ける問題そのもの。条件が「1以上」なら、置き換えて0以上に直すのが定石です。

落とし穴：(イ) で置き換えたあと、右辺を12のままにしてしまう誤り。1ずつ4個先取りしたので、残りは です。置き換えたら必ず「新しい文字での方程式」を書き直してから数えてください。

21　確率の考え方最重要

エッセンス：確率の分母は「同様に確からしい」場合の総数。そのために、確率では同じものも区別して数える（場合の数では区別しなかったものでも、です）。ここが確率最大の分岐点です。

落とし穴：「2個のさいころは区別できないから、目の組合せは21通り」として分母を21にする誤り。この21通りは同様に確からしくありません（(1,2) は (1,1) の2倍起こりやすい）。確率では必ず区別する。玉やカードも同じで、同色でも1個ずつ別物として扱います。

22　確率と順列・組合せ頻出

エッセンス：分子と分母で同じ数え方を使うこと。「並べる問題なら分母も分子も順列」「同時に取る問題なら分母も分子も組合せ」。混ぜると必ず壊れます。

落とし穴：(1) の分母を （同じものを含む順列）としてしまう誤り。場合の数を数えるときは区別しないが、確率を求めるときは区別する——これを両方の場面で切り替えられるかが分かれ目です。（別解：3枚のUが入る位置の組合せ 通りのうち、連続するのは5通りで 。同じ答えになります。）

23　確率の加法定理（排反）基本

エッセンス：2つの事象が同時に起こらない（排反）とき、確率は足せる。「〜個以下」「〜または〜」を見たら、まず排反な場合に分解します。

落とし穴：途中で約分してしまい、足すときに通分し直す手間が増えること。排反な場合の確率は、分母をそろえたまま足して、最後に一度だけ約分すると速く正確です。また「1個以下」に0個を含め忘れるミスも定番です。

24　一般の和事象の確率基本

エッセンス：排反でないときは、重なりを1回引く。集合の要素の個数（01）とまったく同じ形です。

落とし穴：2つの事象が排反かどうかを確かめずに足すこと。4の倍数と6の倍数は12で重なるので排反ではありません。「排反である」と言えるのは、同時に起こる例が1つも作れないと確認できたときだけです。

25　余事象の確率最重要

エッセンス：「少なくとも1つ」「〜でない」を見たら余事象。直接数えると場合分けが膨らむものが、たいてい1行で終わります。

落とし穴：余事象を「3本とも当たる」としてしまう誤り。「少なくとも1本当たる」の否定は「1本も当たらない」＝「全部はずれ」です。否定を作るときは「少なくとも1つある」⇔「1つもない」と機械的に反転させてください。

26　出る目の最大値頻出

エッセンス：「最大値が 以下」は全部が 以下で、掛け算1回。「最大値がちょうど 」は（ 以下）−（ 以下）。この2つを混同しないことがすべてです。

落とし穴：(イ) を「少なくとも1回は4が出る」と考えて、そこで止まってしまうこと。「少なくとも1回4が出て、かつ5と6は一度も出ない」という二重の条件です。だから から引くのではなく、 から を引きます。「最小値」の問題なら不等号の向きがすべて逆になります。

27　独立な試行の確率基本

エッセンス：互いに影響を与えない試行なら、確率はそのまま掛ける。「外れる」側の確率 を書き出すのを忘れないこと。

落とし穴：(2) で「誰が外すか」の3通りを立てず、1つの式だけで済ませてしまう誤り。3人の的中率がすべて異なるので、 倍では済みません（反復試行の公式が使えるのは確率が全部同じときだけです）。

28　反復試行の確率最重要

エッセンス：同じ試行を 回くり返し、確率 の事象がちょうど 回起こる確率。 は「どの回で起こるか」の選び方です。ここを「なんとなく掛ける係数」で終わらせないこと。