藤原進之介です。このページでは会津大学2013年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。
1. なぜその一手を選ぶのか
囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (8x + 7) − x2 。これは x2 − 8x − 7 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。
この形の積分は (β − α)3 / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。
2. 解答
- 交点：x2 = 8x + 7 すなわち x2 − 8x − 7 = 0 。解を α, β とすると α + β = 8 、αβ = -7 。
- (β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = 64 + 28 = 92 。よって β − α = 2√23 。
- 面積 S = 16 (β − α)3 = 16 × 92√92 。
答え： S = 92√233
3. 検算（大きさの見当をつける）
交点は x = (8 ± 2√23) / 2 、幅は 2√23 ≒ 9.59 。面積の概算は 幅3/6 ≒ 147.07 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。
この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)3 / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。
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会津大学の数学の過去問は12年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
会津大学 2013年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 指数・対数
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
この年度の出題範囲と傾向
2013年度の問題PDFでは、指数・対数、図形・三角関数、整数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。会津大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は12年度、微分・積分は11年度、関数・グラフは8年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 指数・対数、図形・三角関数、整数、微分・積分
0 /zgT3ぁ=[ィ|
ls
ti) /esmxg=[ロ |
(2 2つの放物線4z? とかゅニー1)*で囲まれた部分の面積は| ハ |
である。
3) =2/-3=[(_= | cas.
@) PBL logs(s — 5) = 2 —logs(x + 3) OMIx = | ホ | である。
© 0=*ミェにおいてsn2r一ーーsnァーcosxのときメー [A |で
ある。
(©) 5個の数字0, 1, 2, 8, 4を重復なく用いて作られる 5 HOMME HS
い順に並べる。 初めて20000以上になる整数は| ト | で, それは
[チー] #eces.
Gt OA 紀
ee M2 (529-28)
Gt 算 用 ®
ー2 一 ・ るM2(629一29)
[2] AoAB にぉいて Wo, OB ABの長きをそれぞれ2. 4, 3とする。辺
AB の中点を M とし, 頂点Aから辺 OBに下ろした垂線と線分 OM との交点を
PETS. OA =a, OB=FELT, 以下の空棚をうめよ。
Q11 4.5=| イィ |でぁぁ。
Q OMを4ると?を用いて表すと
である。
(3) APを4と?を用いて表すと
である。
計算 用 紀
ーー やM2(529一30)
Gt 算 用 紙)
ー4 一 OM2(629-31)
1 1
[3] »eammers. fim ( 」 joe. 次の手順で4" を求め
る。このとき, 以下の空机をうめよ。
1 0 2 1
0 > ( yi( )r-aewaves, «=(7_].
a b 0 2
o=[a_] ews.
201)" fey xy
@ ( ) -( 2 )enes. このとき, = | _] でぁる.
0 2 0 Xa
@ a=[_=_] cas.
Gt A 幼
= = OM2(529—32)
計算 用 ®
ー6 一 ぐM2(529一33)